探究定值結(jié)論，應(yīng)用拓展反思

蘇華春

[摘? 要] 過拋物線交點(diǎn)的直線與拋物線之間存在一些常用結(jié)論，充分論證、探究應(yīng)用、類比拓展，可充分挖掘結(jié)論的內(nèi)在價(jià)值. 其中的定值結(jié)論具有廣泛的應(yīng)用性，文章對定值結(jié)論進(jìn)行深入探究，結(jié)合實(shí)例詳細(xì)剖析，并開展教學(xué)反思，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 拋物線;焦點(diǎn);定值;類比;結(jié)論

拋物線與直線相交是高中數(shù)學(xué)重要的研究內(nèi)容，其中存在一些較為特殊的規(guī)律和結(jié)論，如交點(diǎn)弦長結(jié)論、弦長中點(diǎn)坐標(biāo)、坐標(biāo)值乘積規(guī)律等，合理利用可以快速打開解題思路，提升解題效率，下面主要研究過拋物線焦點(diǎn)直線中的兩個(gè)定值結(jié)論，并對其深入探討.

■定值結(jié)論探討

問題呈現(xiàn)：過拋物線y2=2px（p>0）焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于點(diǎn)A和B，設(shè)點(diǎn)A（x■，y■），B（x■，y■），試證明：（1）x■x■=■;（2）y■y■=-p2.

證明思路：過焦點(diǎn)F的直線與坐標(biāo)x軸的關(guān)系可分為垂直與不垂直兩種，求證上述結(jié)論需要聯(lián)立直線與拋物線的解析式，利用韋達(dá)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化論證.

方法過程：由拋物線的解析式可知焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為■，0.

①當(dāng)AB不與坐標(biāo)x軸垂直時(shí)，設(shè)其直線解析式為y=kx-■，聯(lián)立直線與拋物線的解析式，y=kx-■，y2=2px，整理可得ky2-2py-kp2=0，由韋達(dá)定理可得y■y■= -p2，x■x■=■·■=■=■;

②當(dāng)AB與坐標(biāo)x軸垂直時(shí)，其解析式可表示為x=■，則y■=p，y■=-p，所以y■y■= -p2，x■x■=■.

綜上可知，x■x■=■，y■y■=-p2成立.

方法另解：對于上述結(jié)論的證明還可以將直線解析式設(shè)為x=my+■，從而不需要討論其斜率是否存在，可直接將其代入拋物線的解析式中，可得y2-2pmy-p2=0，所以y■y■=-p2，x■x■=■·■= ■=■.

定值結(jié)論總結(jié)：根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，可將其標(biāo)準(zhǔn)方程寫為兩種形式，從而可得出如下定值結(jié)論，實(shí)際解題時(shí)可根據(jù)拋物線的形式直接選定結(jié)論解題.

結(jié)論：過拋物線y2=2px（p>0）焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于點(diǎn)A和B，如設(shè)交點(diǎn)A（x■，y■），B（x■，y■），則x■x■=■，y■y■=-p2.

結(jié)論：過拋物線x2=2py（p>0）焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于點(diǎn)A和B，如設(shè)交點(diǎn)A（x■，y■），B（x■，y■），則y■y■=■，x■x■=-p2.

■定值結(jié)論的應(yīng)用

過拋物線焦點(diǎn)直線的定值結(jié)論，實(shí)則就是由韋達(dá)定理所整理的參數(shù)與坐標(biāo)值的乘積關(guān)系，在實(shí)際解題時(shí)可以規(guī)避聯(lián)立方程，簡化解題過程.

應(yīng)用1：線段倒數(shù)之和定值論證

例1：已知過拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F的直線與其相交于點(diǎn)A（x■，y■），B（x■，y■），試證明■+■為定值.

證明：由拋物線的定義可知FA=x■+■，F(xiàn)B=x■+■，又知FA+FB=AB，所以x■+x■=AB-p. 由定值結(jié)論可知x■·x■=■，所以■+■=■=■=■，為常數(shù)，從而可證■+■為定值.

評析：上述在求證線段倒數(shù)之和為定值時(shí)，由定義出發(fā)，結(jié)合過拋物線焦點(diǎn)直線的定值結(jié)論直接將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于拋物線參數(shù)的代數(shù)問題，從而完成定值證明，實(shí)際上述所探究的定值問題也是拋物線與過焦點(diǎn)直線的一個(gè)常用定值結(jié)論.

應(yīng)用2：線段乘積定值論證

例2：已知某拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)的原點(diǎn)O處，焦點(diǎn)位于y軸的正半軸上，拋物線上點(diǎn)P（m，4）到拋物線準(zhǔn)線的距離為5，試回答下列問題.

（1）求拋物線的方程;

（2）如圖1所示，過拋物線焦點(diǎn)的直線l從左到右與拋物線和圓E：x2+（y-1）2=1相交于點(diǎn)A，C，D，B，試證明AC·BD為定值.

解析：（1）設(shè)拋物線的方程為x2=2py（p>0），由題意可得4+■=5，所以p=2，即拋物線的方程為x2=4y.

（2）解法一：傳統(tǒng)的聯(lián)立直線與拋物線方程

設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的直線方程為y=kx+1，與拋物線的交點(diǎn)為A（x■，y■），B（x■，y■），設(shè)x■<0，x■<0. 聯(lián)立直線與拋物線方程y=kx+1，x2=4y，整理可得x2-4kx-4=0，由韋達(dá)定理可得x■+x■=4k，x■·x■=-4. 所以AE=-■·x■，BE=■·x■，則AC·BD=（AE？搖-1）·（BE？搖-1）=（-■·x■-1）·（■·x■-1）= -（1+k2）x■·x■+■（x■-x■）+1=1，即AC·BD為定值1.

解法二：利用定值結(jié)論直接化簡

拋物線的焦點(diǎn)與圓心E相重合，設(shè)直線l的方程為y=kx+1，交點(diǎn)坐標(biāo)A（x■，y■），B（x■，y■）.

由定值結(jié)論可得y■y■=■=1，由拋物線的定義可知AE=y■+1，BE=y■+1，所以AC·BD=（AE？搖-1）·（BE？搖-1）=y■y■=1，即AC·BD為定值1.

評析：上述第（2）問證明線段乘積為定值時(shí)分別采用了傳統(tǒng)的方程聯(lián)立和定值結(jié)論引用兩種方法，顯然解法二可以極大地簡化運(yùn)算過程，避免出錯(cuò)，提高解題效率.

■定值結(jié)論的類比拓展

拋物線與橢圓、雙曲線中的結(jié)論具有一定的相關(guān)性，通過類比可以得到一些類似的定值結(jié)論，這些結(jié)論對于綜合性問題的解答十分有利，以橢圓為例，可類比出以下兩個(gè)常見定值結(jié)論.

類比結(jié)論1：已知橢圓方程為■+■=1（a>b>0），過焦點(diǎn)F的動(dòng)直線與橢圓相交于點(diǎn)A和B，則■+■=■為定值;

類比結(jié)論2：過橢圓■+■=1（a>b>0）的對稱軸上的定點(diǎn)A作直線，與橢圓相交于點(diǎn)M和N，設(shè)M和N兩點(diǎn)處的橢圓的切線分別為直線l■和l■，點(diǎn)G為直線l■和l■的交點(diǎn)，則點(diǎn)G的軌跡為定直線.

例3：在平面坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓■+y2=1的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與橢圓相交于點(diǎn)M和N，設(shè)點(diǎn)M和N處橢圓的切線分別為l■和l■，試求兩切線交點(diǎn)G的軌跡方程.

解：由橢圓方程可知焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（■，0），設(shè)過點(diǎn)F的直線為x=my+■，與橢圓交點(diǎn)M和N的坐標(biāo)分別為（x■，y■）和（x■，y■），則兩切線的方程分別為l■：■+y■y=1，l■：■+y■y=1，聯(lián)立整理可得■x=y■-y■①，則x■y■-x■y■=（my■+■）y■-（my■+■）y1②，由于y■≠y■，將上述②式代入①式中，化簡可得x=■，即直線l■和l■交點(diǎn)G的軌跡方程為x=■，該直線剛好為橢圓的右準(zhǔn)線.

評析：上述例題實(shí)則是基于過橢圓交點(diǎn)直線而構(gòu)建的綜合型問題，問題解析以切線方程為突破口，通過聯(lián)立方程，整合處理直接消去了方程中的參數(shù)，確定了交點(diǎn)的軌跡. 上述所求證的結(jié)論具有一般性，在實(shí)際解題時(shí)可以充分利用其特性來簡化運(yùn)算過程.

■結(jié)論探究的教學(xué)反思

欲善其事，先利其器，開展定值結(jié)論的探討，其目標(biāo)還是為了簡化解析幾何的計(jì)算過程，提升解題效率. 上述由過拋物線焦點(diǎn)直線的定值結(jié)論為探究點(diǎn)，設(shè)計(jì)了結(jié)論證明、實(shí)例應(yīng)用、類比拓展等環(huán)節(jié)，可有效幫助學(xué)生深刻理解結(jié)論，掌握數(shù)學(xué)結(jié)論探究的方法，下面提出幾點(diǎn)教學(xué)建議.

1. 重視教材例題，深入探究拓展

上述所探究的拋物線定值結(jié)論，實(shí)際上來源于教材的典型例題，是由例題所衍生的一般性結(jié)論. 課堂教學(xué)應(yīng)重視教材例題，引導(dǎo)學(xué)生深入挖掘例題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、解法思路，特別是例題背后所隱含的規(guī)律. 教學(xué)中可適度對例題進(jìn)行拓展，將其上升到一般性問題，引導(dǎo)學(xué)生探索是否可以其為基礎(chǔ)總結(jié)出相應(yīng)的結(jié)論. 另外，對例題的拓展探究要重視過程講解，不能只追求最終的結(jié)論，而忽視了問題的解析證明過程. 結(jié)論固然重要，但問題的通性通法對于學(xué)習(xí)同等重要，不能過度重視結(jié)論總結(jié)而使學(xué)生喪失解析能力.

2. 深刻理解結(jié)論，形成解題策略

利用數(shù)學(xué)結(jié)論解題是提升效率的重要方式，如利用上述拋物線的定值結(jié)論可規(guī)避煩瑣的聯(lián)立方程，直接構(gòu)建曲線特征參數(shù)與坐標(biāo)之間的關(guān)聯(lián). 但引用結(jié)論需要建立在深刻理解的基礎(chǔ)上，故教學(xué)探究過程中需要挖掘結(jié)論本質(zhì)，包括結(jié)論的適用范圍、適用方法、拓展方向等. 如上述拋物線的定值結(jié)論適用于過拋物線焦點(diǎn)的直線問題，如若所過點(diǎn)具有一般性，則無法直接引用. 總結(jié)結(jié)論的目標(biāo)是提升解題效率，故教學(xué)中應(yīng)注重講解結(jié)論的引用方法，辨析關(guān)鍵點(diǎn)等，使學(xué)生真正掌握結(jié)論，形成相應(yīng)的解題策略.