高中數(shù)學(xué)解題中化歸思想的有效運(yùn)用

吳陽(yáng)鋒

[摘? 要] 思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓所在，隨著學(xué)生核心素養(yǎng)的落地，我們?cè)跀?shù)學(xué)解題教學(xué)過(guò)程中，如何將思想與解題相融合，將真正落實(shí)素養(yǎng)與能力的并駕齊驅(qū). 為此，筆者借此拙文，以解題中的化歸思想為例，談?wù)勅绾芜_(dá)成解題與思想的融合.

[關(guān)鍵詞] 思想;解題;高中數(shù)學(xué);素養(yǎng)

化歸思想是轉(zhuǎn)化與歸結(jié)的簡(jiǎn)稱，指的是將一個(gè)問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn)，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單的過(guò)程，既是一種關(guān)鍵的解題思想，又是一種常規(guī)的思維策略，更是一種特殊的數(shù)學(xué)解題方式. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，隨著知識(shí)難度與深度的提升，解題也是越來(lái)越困難，教師可指導(dǎo)學(xué)生在解題中有效運(yùn)用化歸思想，使其把具體問(wèn)題作精細(xì)化處理，增強(qiáng)個(gè)人邏輯思維能力.

■多元問(wèn)題少元化

在高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，解題是一大難點(diǎn)，究其原因主要在于初、高中數(shù)學(xué)知識(shí)之間跨度較大，部分學(xué)生的思維與認(rèn)知難以跟上正常的教學(xué)進(jìn)度，導(dǎo)致他們?cè)诮忸}中困難重重. 其中高中生在處理數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通常會(huì)遇到含有多個(gè)未知數(shù)的問(wèn)題，即多元化，他們通常不知所措，這時(shí)教師可以引領(lǐng)學(xué)生采用化歸思想，將多元問(wèn)題少元化，降低解題難度.

例1：如果a>0，x，y，z∈R，x+y+z=a，x2+y2+z2=a2，那么x，y，z的取值范圍分別是什么？

解析：題目中存在三個(gè)變量x，y，z，給出的條件是兩個(gè)方程，左邊是有關(guān)x，y，z的對(duì)稱式，把兩個(gè)式子結(jié)合在一起能夠消元. 例如，可以消去變量z，得到x2+y2+（a-x-y）2=a2，將一個(gè)三元方程轉(zhuǎn)化成二元方程.

解答：教師提示學(xué)生把這個(gè)函數(shù)關(guān)系式中的變量x當(dāng)成常量來(lái)看待，就會(huì)得到一個(gè)關(guān)于y的方程式，即y2+（x-a）y+（x2-ax）=0，這個(gè)方程存在實(shí)根，所以Δ=（x-a）2-4（x2-ax）≥0，化簡(jiǎn)后得到3x2-2ax-a2≤0;再把x看成變量，這個(gè)式子就成了一個(gè)關(guān)于x的不等式，解之得-■≤x≤a. 采用同樣的方法可以得到-■≤y≤a，-■≤z≤a.

上述案例，學(xué)生通過(guò)對(duì)化歸思想的有效運(yùn)用，將“三元”順利變化成“二元”，達(dá)到多元問(wèn)題少元化、煩瑣問(wèn)題簡(jiǎn)易化的目的，使其靈活轉(zhuǎn)變審題角度，最終解決掉難題.

■代數(shù)問(wèn)題圖形化

代數(shù)問(wèn)題圖形化其實(shí)就是數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)研究對(duì)象可分為數(shù)與形兩大部分，兩者密切聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，方程與函數(shù)之間有著緊密聯(lián)系，能夠相互轉(zhuǎn)化，函數(shù)和圖像又密切相連，教師可以指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用化歸思想，將方程等代數(shù)轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖像的方式進(jìn)行研究，達(dá)到以數(shù)輔形、以形助數(shù)的目的，使其靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題.

例2：已知方程cos2x+4asinx+a-2=0在區(qū)間[0，π]上存在兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：把cos2x變成sinx的形式，原方程就成為一個(gè)關(guān)于sinx與a兩者之間的函數(shù)表達(dá)式.

解答：把原式變成2sin2x-4asinx-a+1=0，設(shè)sinx=t，當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，t∈[0，1]，原方程變成2t2-4at-a+1=0. 根據(jù)函數(shù)y=t與y=sinx的圖像得知，（0，1）內(nèi)的一個(gè)t值對(duì)應(yīng)于（0，π）內(nèi)的兩個(gè)x值. 結(jié)合題意得關(guān)于t的方程f（t）=2t2-4at-a+1=0在（0，1）上有唯一解或t=0. 然后分類討論：若f（0）f（1）=（1-a）（3-5a）<0，則■

在上述案例中，有效運(yùn)用化歸思想把一個(gè)方程問(wèn)題變成函數(shù)問(wèn)題，再利用函數(shù)圖像來(lái)分析和解題，顯得更為直觀與方便，體現(xiàn)出了數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生的思路變得更加清晰.

■一般問(wèn)題特殊化

高中生在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通常以特殊狀態(tài)為切入點(diǎn)，探索知識(shí)的一般規(guī)律，再結(jié)合一般規(guī)律研究特殊情況，由于特殊問(wèn)題顯得更為直觀與簡(jiǎn)單，有利于他們理解與接受. 解答高中數(shù)學(xué)題目比較注重靈活性，假如一直采用循規(guī)蹈矩的方法分析和運(yùn)算，將會(huì)耗費(fèi)更多精力與時(shí)間，教師可指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用化歸思想，將一般問(wèn)題變得特殊化，提高他們的解題效率.

例3：已知a■=n-4，n≤6;a■=2n-5，n≥7，求所有的正整數(shù)m讓等式a■+a■+a■=a■·a■·a■成立.

解答：教師提示學(xué)生列出數(shù)列{a■}的前幾項(xiàng)：-3，-2，-1，0，1，2，4，8，…. 他們通過(guò)觀察輕松發(fā)現(xiàn)從第5項(xiàng)開(kāi)始，連續(xù)3項(xiàng)的和同積相比，和均會(huì)小很多，那么讓等式a■+a■+a■=a■·a■·a■成立的m值只能是整數(shù)1，2，3，4，經(jīng)過(guò)計(jì)算得到m=1或m=3. 接下來(lái)需證明當(dāng)m≥5時(shí)，a■+a■+a■

針對(duì)上述案例，通過(guò)有效運(yùn)用化歸思想分析題目，即對(duì)一般問(wèn)題的特殊化處理，使學(xué)生選擇一個(gè)恰當(dāng)角度通過(guò)一般情況研究問(wèn)題的特殊情況，讓他們獲得事半功倍的學(xué)習(xí)效果.

■抽象問(wèn)題具體化

大部分高中數(shù)學(xué)問(wèn)題都比較抽象，對(duì)學(xué)生的思維能力與認(rèn)知水平要求較高，他們難以透徹理解題目意思，不利于接下來(lái)的正常解題，還容易出錯(cuò). 對(duì)此，高中數(shù)學(xué)教師在日常解題教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生有效運(yùn)用化歸思想，將抽象問(wèn)題處理得具體化和直觀化，降低理解難度，使學(xué)生快速掌握題目中的條件及相互關(guān)系，幫助他們優(yōu)化解題思路，提高正確率.

例4：已知定義域在R上的函數(shù)f（x）對(duì)任意x，y∈R均有f（x+y）=f（x）+f（y），當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>0，那么函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上有（? ）

A. 最小值f（a）

B. 最大值f（a）

C. 最大值f■

D. 最小值f（b）

解析：不少學(xué)生面對(duì)這一抽象的函數(shù)問(wèn)題時(shí)往往無(wú)法解題，其實(shí)本道題目主要考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性. 由于題型是選擇題，無(wú)需詳細(xì)的求解過(guò)程，可以使用具體的函數(shù)來(lái)快速解題，巧妙規(guī)避使用定義法求證抽象函數(shù)單調(diào)性的煩瑣過(guò)程，即將抽象問(wèn)題具體化.

解答：將滿足條件的函數(shù)模型設(shè)成正比例函數(shù)f（x）=kx（k>0），由此可見(jiàn)該函數(shù)在區(qū)間[a，b]上呈單調(diào)遞增性，所以存在最小值f（a），故正確答案是A.

如此，學(xué)生在解決這類抽象性極強(qiáng)的函數(shù)類問(wèn)題時(shí)，假如是選擇題，可以結(jié)合函數(shù)的某些性質(zhì)猜測(cè)出該函數(shù)的具體模型，再結(jié)合具體模型的性質(zhì)處理題目，有效提高他們的解題速度.

■正向思維反向化

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不少題目都較為復(fù)雜，運(yùn)用化歸思想的主要目的就是把復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化，從整體層面降低解題難度. 不過(guò)部分?jǐn)?shù)學(xué)題目運(yùn)用正向思維很難解決，這時(shí)可以考慮從反向思維出發(fā)，找到突破口. 高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用化歸思想，使其根據(jù)實(shí)際情況轉(zhuǎn)化思維方式，通過(guò)反向思維尋找解題思路，輔助他們順利解題，增強(qiáng)學(xué)習(xí)自信.

例5：已知a■，a■，a■，a■都是正數(shù)，而且它們是一組公差是d的等差數(shù)列，其中d≠0，問(wèn)：是否存在a■和d，可以讓a■，a■，a■，a■構(gòu)成等比數(shù)列？

解析：學(xué)生在分析這道題目時(shí)，發(fā)現(xiàn)信息較少，一時(shí)之間無(wú)從下手，假如他們循規(guī)蹈矩地從正向思維展開(kāi)思考更是沒(méi)有辦法，很難順利找到解題的切入點(diǎn). 此時(shí)，教師可以提醒學(xué)生采用化歸思想，轉(zhuǎn)化思維角度，從反向思維來(lái)分析：先假設(shè)存在一組a■和d能夠讓a■，a■，a■，a■構(gòu)成等比數(shù)列，再反過(guò)來(lái)推理和求證，研究這組數(shù)是否具有等比數(shù)列的性質(zhì). 他們通過(guò)驗(yàn)證能輕松發(fā)現(xiàn)假設(shè)與題設(shè)存在著矛盾點(diǎn)，即假設(shè)不成立. 如果假設(shè)不成立的話，那么結(jié)論將會(huì)被推翻，這就表明這種情況不存在，即沒(méi)有一組a■和d會(huì)讓a■，a■，a■，a■成為等比數(shù)列.

對(duì)于上述案例，教師提示學(xué)生運(yùn)用化歸思想轉(zhuǎn)變思考角度，由常規(guī)的正向思維變化成反向思維，把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，促使他們?cè)诤罄m(xù)解題中遇到瓶頸時(shí)學(xué)會(huì)從反向視角切入.

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師需深刻意識(shí)到化歸思想的重要性和價(jià)值，指導(dǎo)學(xué)生依據(jù)具體題目靈活自如地運(yùn)用化歸思想分析和處理題目，使其掌握更多的解題竅門與技巧，對(duì)數(shù)學(xué)不再存在懼怕心理，逐步提高他們的解題能力與思維水平.