巧助多元表征，豐富計(jì)算認(rèn)知

楊露

摘? 要：為了巧助多元表征，豐富計(jì)算認(rèn)知，在此背景下，文章以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)《兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位不能整除）》一課為例，巧助符號(hào)表征，將文字轉(zhuǎn)化為符號(hào);巧助動(dòng)作表征，在操作中理解算理;巧助語(yǔ)言表征，在練習(xí)中算法遷移;巧助表征轉(zhuǎn)化，在練習(xí)中算法遷移。

關(guān)鍵詞：蘇教版;計(jì)算;多元表征

多元表征是相對(duì)單一表征而言的，是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，結(jié)合了動(dòng)作、聽覺和視覺等感覺器官，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知不僅僅停留在記憶層面，而是要進(jìn)入深度學(xué)習(xí)中。蘇教版三年級(jí)上冊(cè)第四單元的《兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位不能整除）》是在學(xué)生學(xué)習(xí)了平均分、表內(nèi)乘除法、整十整百數(shù)除以一位數(shù)的基礎(chǔ)上的深入學(xué)習(xí)，這節(jié)課教師帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位不能整除）除法平均分的過(guò)程，熟練掌握除法的算理和算法，能正確計(jì)算出除法豎式。

■一、巧助符號(hào)表征，將文字轉(zhuǎn)化為符號(hào)

心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)為符號(hào)表征是認(rèn)知發(fā)展的核心，將表征本質(zhì)隨年齡所發(fā)生的變化看作是區(qū)分發(fā)展階段的主要特征。從根本上看，符號(hào)表征是指?jìng)€(gè)體用來(lái)代表其他事物的東西。小學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)閱讀或數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)要把復(fù)雜的一段文字轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)潔的算式或者符號(hào)，并且能正確進(jìn)行語(yǔ)言文字和符號(hào)之間的轉(zhuǎn)化。

如在教學(xué)《兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位不能整除）》一課時(shí)，我先出示了一道例題，讓學(xué)生在讀題過(guò)程中學(xué)會(huì)提煉文字信息，將這些文字與已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)建立關(guān)系。

師：（出示情境圖）同學(xué)們，我們一起來(lái)看這幅圖。你能編一道應(yīng)用題嗎？

生：有53個(gè)羽毛球，平均分給2個(gè)班，每個(gè)班能分到多少個(gè)？

師：（出示題目）同學(xué)們，我們先一起來(lái)讀一讀題目，邊讀邊想題目告訴我們什么，要我們求什么。

生：題目告訴我們有53個(gè)羽毛球，平均分給2個(gè)班，要我們計(jì)算每個(gè)班能分到多少個(gè)。

師：我們知道了題目中的條件和問題，試著寫出算式吧！

生：53÷2，因?yàn)橐覀冇?jì)算每個(gè)班能分到多少個(gè)，就是求每份數(shù)是多少，要用除法計(jì)算。

在這個(gè)教學(xué)片段中，教師拋出了一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)際問題，學(xué)生借助已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)分析和提煉這道題目中的文字轉(zhuǎn)化為數(shù)字和符號(hào)等的數(shù)學(xué)算式，并且能用簡(jiǎn)潔的文字解釋自己的數(shù)學(xué)思考過(guò)程，讓數(shù)學(xué)表達(dá)變得既專業(yè)又具有簡(jiǎn)潔美。

■二、巧助動(dòng)作表征，在操作中理解算理

心理學(xué)家布魯納認(rèn)為兒童最初的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是動(dòng)作表現(xiàn)，大約5歲以前的兒童都處于這個(gè)動(dòng)作表征階段，他們的認(rèn)知多數(shù)是通過(guò)行動(dòng)而產(chǎn)生的。三年級(jí)的學(xué)生經(jīng)歷了動(dòng)作表征、圖像表征和符號(hào)表征這三個(gè)階段，他們能把一些復(fù)雜的圖像和符號(hào)表現(xiàn)為直觀的動(dòng)作，再利用直觀的動(dòng)作得出一些共性結(jié)論。

如在教學(xué)《兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位不能整除）》一課時(shí)，當(dāng)學(xué)生寫出除法算式后，我為每個(gè)小組的學(xué)生準(zhǔn)備了小棒、畫有點(diǎn)子圖的學(xué)習(xí)單，引導(dǎo)他們?cè)跀[一擺和圈一圈中探索兩位數(shù)除以一位數(shù)除法的算理和算法。

師：同學(xué)們，你們會(huì)計(jì)算53÷2是多少嗎？老師為每個(gè)小組都準(zhǔn)備了一些小棒，你可以按照算式的要求分一分;也為每個(gè)同學(xué)準(zhǔn)備了一張畫有點(diǎn)子圖的學(xué)習(xí)單，你可以圈一圈，計(jì)算出答案。

生1：我是擺小棒的，2根2根地放在一起，一共要放26次，還多了1根小棒。

生2：我是圈點(diǎn)子圖的，2個(gè)點(diǎn)子2個(gè)點(diǎn)子這樣圈，要畫26個(gè)圈，還多出來(lái)1個(gè)點(diǎn)子。

師：大家是不是都像生1和生2那樣兩個(gè)兩個(gè)在分或兩個(gè)兩個(gè)在圈，還有其他不同的分法，也能得到結(jié)果是26還多1的嗎？

生3：我是先分5捆小棒的，想5個(gè)十里面有幾個(gè)2，那么每份先分到2個(gè)十、余下1個(gè)十和3個(gè)一;再把余下的1個(gè)十和3個(gè)一合起來(lái)就是13，然后想13里面有幾個(gè)2，每份有6根，還多1根小棒。所以2個(gè)十加6個(gè)一就是26，還多1。

生4：我沒有用小棒和點(diǎn)子圖，我覺得用豎式計(jì)算很方便。先算十位上50除以2等于2個(gè)十，在商的十位上寫2;20乘2等于40，53減去40等于13，13除以2，在商的個(gè)位上寫6，二六12，余數(shù)是13減去12等于1。

在這個(gè)教學(xué)片段中，學(xué)生為了計(jì)算出兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位不能整除）的答案，充分利用教師提供的小棒和點(diǎn)子圖，在動(dòng)手和動(dòng)腦中計(jì)算出答案。同時(shí)，教師根據(jù)學(xué)生的回答不斷引導(dǎo)，讓他們的計(jì)算方法從復(fù)雜變得簡(jiǎn)單，從動(dòng)作操作向抽象豎式過(guò)渡。

■三、巧助語(yǔ)言表征，在練習(xí)中鞏固算法

俗話說(shuō)：語(yǔ)言是思維的工具。當(dāng)學(xué)生探究出兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位不能整除）的豎式后，我又為學(xué)生提供了幾道練習(xí)題，獨(dú)立完成后讓他們說(shuō)一說(shuō)豎式計(jì)算過(guò)程，在說(shuō)算理和算法的過(guò)程中既有利于學(xué)生牢記解題思路，又有助于教師真正了解學(xué)生的掌握程度。

師：（豎式計(jì)算：78÷2和80÷5）同學(xué)們，請(qǐng)你試著用豎式計(jì)算這兩道題目，做好后和同桌說(shuō)一說(shuō)你是怎么計(jì)算的。

生：第1題，78除以2，先算7個(gè)十除以2，商是3個(gè)十，在商的十位上寫3;再算20×3=60，78-60=18，然后18除以2，商是9，在商的個(gè)位上寫9，2×9=18，18-18=0，所以余數(shù)是0。

師：大家能看懂這個(gè)豎式的計(jì)算過(guò)程嗎？你們知道豎式中的6和18分別是怎么來(lái)的嗎？

生：這里的“6”表示20×3=60，雖然寫著6，但是表示60;這里的“18”表示2×9=18。

師：我們?cè)倏纯吹?題豎式計(jì)算怎么算。

生：第2題，80除以5，先算8個(gè)十除以5，商是1個(gè)十，在商的十位上寫1;再算10×5=50，80-50=30，然后30除以5，商是6，在商的個(gè)位上寫6，5×6=30，30-30=0，所以余數(shù)是0。

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)豎式中的50和30又是什么意思？

生：這里的“50”表示10×5=50，雖然寫了5，但表示5個(gè)十，0省略了;這里的“30”是5×6=30。

在這個(gè)教學(xué)片段中，教師利用兩道兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位不能整除）的豎式計(jì)算，在列豎式計(jì)算和說(shuō)計(jì)算過(guò)程中通過(guò)語(yǔ)言表征幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位不能整除）的豎式計(jì)算方法，特別是讓學(xué)生理解豎式中每一個(gè)數(shù)的由來(lái)和意義。同時(shí)，學(xué)生在豎式計(jì)算過(guò)程中，也讓他們發(fā)現(xiàn)無(wú)論是否有余數(shù)，兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位不能整除）的豎式計(jì)算方法和計(jì)算算理都是相同的，兩者的差異只在于最后一步是否有余數(shù)。

■四、巧助表征轉(zhuǎn)化，在練習(xí)中算法遷移

數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中的多元表征包括實(shí)物情境、教具模型、圖形圖表、言語(yǔ)、書寫符號(hào)等，這五種多元表征有機(jī)結(jié)合和相互轉(zhuǎn)化，幫助學(xué)生掌握了兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位不能整除）的計(jì)算方法和計(jì)算算理。當(dāng)然，在課末教師也可以進(jìn)行適當(dāng)提升，讓學(xué)有余力的學(xué)生去挑戰(zhàn)難題，體會(huì)成功的快樂，學(xué)會(huì)計(jì)算方法之間的遷移。

師：同學(xué)們，剛才我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位不能整除）的豎式計(jì)算。（出示題目：738÷2）老師這里有一道三位數(shù)除以一位數(shù)的題目，請(qǐng)你試著用除法算一算。

師：有同學(xué)做好了嗎？

生：738除以2，先算7個(gè)百除以2，商是3個(gè)百，在商的百位上寫3;300×2=600，738-600=138，再算13個(gè)十除以2，商是6個(gè)十，在商的十位上寫6;60×2=120，138-120=18，最后算18除以2，商是9，在商的個(gè)位上寫9。所以738÷2=369。

師：同學(xué)們，他做對(duì)了嗎？（對(duì)了。）請(qǐng)你比較一開始做的這幾題和剛剛做的這道題目，你發(fā)現(xiàn)它們有什么共同點(diǎn)？

生1：一開始做的題目是兩位數(shù)除以一位數(shù)的除法，剛剛做的這道題目是三位數(shù)除以一位數(shù)的除法。

生2：有的除法豎式有余數(shù)，有的除法豎式?jīng)]有余數(shù)。

生3：我發(fā)現(xiàn)我們今天做的除法豎式都是首位不能整除的。

師：是的，我們今天都在學(xué)習(xí)首位不能整除的除法。明天我們繼續(xù)學(xué)習(xí)三位數(shù)除以一位數(shù)（首位不能整除）的除法！

在這個(gè)教學(xué)片段中，教師巧妙地利用上一階段學(xué)生積累的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，調(diào)用他們的語(yǔ)言、圖像、動(dòng)作等多種不同的表征方式，帶領(lǐng)他們?nèi)ソ鉀Q更加復(fù)雜又具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)，讓部分學(xué)有余力的學(xué)生在新舊知識(shí)之間找到連接點(diǎn)，學(xué)會(huì)把新問題轉(zhuǎn)變?yōu)榕f知識(shí)，用舊知識(shí)去解決新問題，探索發(fā)現(xiàn)三位數(shù)除以一位數(shù)（首位不能整除）的計(jì)算方法和算理。

總之，小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)是循序漸進(jìn)的，當(dāng)學(xué)生在學(xué)習(xí)《兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位不能整除）》一課時(shí)，教師在數(shù)學(xué)課堂上巧妙利用學(xué)生的多元表征，讓學(xué)生在具體的點(diǎn)子圖或擺小棒過(guò)程中發(fā)現(xiàn)兩位數(shù)除以一位數(shù)的計(jì)算方法，并用抽象的豎式表達(dá)出來(lái)，再建立實(shí)物表征與豎式表征之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，最后實(shí)現(xiàn)兩、三位數(shù)除以一位數(shù)除法豎式的遷移。