多元函數(shù)極值的充分條件教學(xué)過(guò)程

陳俊霞，王振緯，姚曉閨

(陸軍炮兵防空兵學(xué)院 基礎(chǔ)部數(shù)學(xué)教研室，合肥 230031)

1 引言

在大多數(shù)《高等數(shù)學(xué)》教材中，證明多元函數(shù)極值的充分條件的理論依據(jù)都是二元函數(shù)的泰勒公式[1]。但二元函數(shù)泰勒公式是選學(xué)內(nèi)容，在課堂教學(xué)中，教師往往選擇不證明，直接給出結(jié)論。這就導(dǎo)致學(xué)生往往對(duì)充分條件一知半解，只會(huì)死記硬背、套用公式，缺乏學(xué)習(xí)興趣。為此，筆者查閱了相關(guān)資料[2-3],并結(jié)合自己多年在實(shí)踐教學(xué)中的體會(huì)，整理出一種相對(duì)簡(jiǎn)單的證明方法，并在實(shí)際課堂教學(xué)中堅(jiān)持啟發(fā)式原則，逐步分析定理所需的條件，引導(dǎo)學(xué)生共同分析討論，取得了良好的教學(xué)效果。

2 教學(xué)過(guò)程

首先要向?qū)W生說(shuō)明，要證(x0,y0)為極值點(diǎn)，就要找到(x0,y0)的某一個(gè)空心領(lǐng)域，使得這個(gè)空心領(lǐng)域當(dāng)中的任何一點(diǎn)(x,y)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都大于或小于f(x0,y0)。這里的(x,y)也可以用極坐標(biāo)來(lái)表示：

令

x=x0+rcosθ,y=y0+rsinθ，θ∈[0,2π]

f(x,y)=f(x0+rcosθ,y0+rsinθ)h(r,θ)，

則對(duì)于任意給定的θ∈[0,2π],h(0,θ)=f(x0,y0)。

因此，有非常重要的結(jié)論：

對(duì)于任意給定的θ∈[0,2π]、h(r,θ)、h(r,θ)-h(0,θ)均為r的一元函數(shù)。

接下來(lái)，由一元函數(shù)的泰勒公式，設(shè)h(r,θ)在r=0的某一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，那么有：

(1)

根據(jù)假設(shè)，由于(x0,y0)為駐點(diǎn)，則有：

hr(0,θ)=fx(x0,y0)cosθ+fy(x0,y0)sinθ=0，且o(r2)為無(wú)窮小量，所以對(duì)于(1)式，h(r,θ)-h(0,θ)的符號(hào)取決于hrr(0,θ)的符號(hào)。

當(dāng)hrr(0,θ)恒大于0時(shí)，(x0,y0)是極小值點(diǎn)；當(dāng)hrr(0,θ)恒小于0時(shí)，(x0,y0)是極大值點(diǎn)。但對(duì)于不同的θ,hrr(0,θ)，可能存在有時(shí)大于0、有時(shí)小于0的情況，那么對(duì)應(yīng)的(x0,y0)就不是極值點(diǎn)。

接下來(lái)著重討論hrr(0,θ)的符號(hào)。再次利用復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t：

hrr(0,θ)=fxx(x0,y0)cos2θ+fxy(x0,y0)cosθsinθ

+fyx(x0,y0)cosθsinθ+fyy(x0,y0)sin2θ

(2)

引導(dǎo)學(xué)生觀察(2)式的特點(diǎn)，若z=f(x,y)在相應(yīng)的點(diǎn)(x0,y0)的一個(gè)領(lǐng)域具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，則有：

fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0)所以(2)式可以寫成如下形式：

(3)

(3)式是以cosθ,sinθ為變量的二次型，

令

結(jié)合二次型的性質(zhì)，H正定時(shí)，(x0,y0)為極小值點(diǎn)；H負(fù)定時(shí)，(x0,y0)為極大值點(diǎn)。事實(shí)上，對(duì)于一元函數(shù)，如果在駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)大于0，那么在該點(diǎn)處取得極小值。如果在駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)小于0，那么在該點(diǎn)處取得極大值。

這里可以與一元函數(shù)的極值結(jié)論作對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)統(tǒng)一的美感。海塞矩陣在多元函數(shù)極值中的地位，就相當(dāng)于二階導(dǎo)數(shù)在一元函數(shù)極值中的地位。

那么，怎樣判斷一個(gè)實(shí)對(duì)稱陣是否正定呢？為了方便，記：

fxx(x0,y0)=A，fxy(x0,y0)=B，fyy(x0,y0)=C。

當(dāng)A>0,AC-B2>0時(shí)具有極小值；當(dāng)A<0，AC-B2>0時(shí)有極大值；當(dāng)AC-B2<0時(shí)無(wú)極值。

這樣就完成了多元函數(shù)極值的充分條件的證明。

綜合以上證明過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出極值的充分條件與結(jié)論，即：

若z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的一個(gè)領(lǐng)域具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且(x0,y0)為駐點(diǎn)，令fxx(x0,y0)=A，fxy(x0,y0)=B，fyy(x0,y0)=C，則有：

當(dāng)A>0，AC-B2>0時(shí)具有極小值；當(dāng)A<0，AC-B2>0時(shí)有極大值；當(dāng)AC-B2<0時(shí)無(wú)極值。

3 結(jié)語(yǔ)

本研究圍繞如何提高多元函數(shù)極值充分條件教學(xué)的有效性和趣味性展開探討，簡(jiǎn)化了多元函數(shù)的充分條件的證明過(guò)程。通過(guò)極坐標(biāo)變換，把二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為特定的一元函數(shù)，把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。始終堅(jiān)持啟發(fā)式原則，逐步分析定理所需的條件，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)從駐點(diǎn)過(guò)渡到極值點(diǎn)的條件。綜合利用二次型正定、負(fù)定的相關(guān)結(jié)論，注重與學(xué)生共同分析討論，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造充分性的相關(guān)條件與結(jié)論。使學(xué)生能夠積極思考，真正參與教學(xué)活動(dòng)，體現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位，而不是僅僅會(huì)套用公式，提高了課堂的學(xué)習(xí)效率，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。