顧客等待和需求轉(zhuǎn)移的連鎖零售商EOQ模型

羅 兵，鄧 瓊

（1.重慶大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與工商管理學(xué)院，重慶 400030；2.重慶大學(xué) 現(xiàn)代物流重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400030）

1 引言

在連鎖零售商的銷售實(shí)踐中，因商品是新上市或限量供應(yīng)，使得商品可能出現(xiàn)缺貨現(xiàn)象。2019年2月星巴克“櫻花杯”開售，一款“貓爪”造型水杯吸引了消費(fèi)者目光，該商品一上市就遭到“瘋搶”，消費(fèi)者輾轉(zhuǎn)線下各門店排隊(duì)購買，水杯暢銷使商品供應(yīng)不足，消費(fèi)者“一杯難求”，甚至不惜為此大打出手。寶潔公司調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：在缺貨時(shí)，顧客轉(zhuǎn)移到其他門店購買的比例約占31%，延遲購買的占13%。連鎖零售商品缺貨時(shí)，大部分消費(fèi)者要么選擇等待購買，要么轉(zhuǎn)向其它渠道購買，但缺貨不可避免會(huì)帶來利潤(rùn)損失。因此，學(xué)術(shù)界和實(shí)業(yè)界一直非常重視缺貨時(shí)顧客等待和轉(zhuǎn)移購買行為的研究。缺貨時(shí)顧客的轉(zhuǎn)移購買屬于庫存驅(qū)動(dòng)的需求轉(zhuǎn)移，Gavan等[1]較早研究了顧客在缺貨時(shí)的等待和轉(zhuǎn)移購買行為，分析了缺貨時(shí)顧客對(duì)于轉(zhuǎn)移購買的積極和消極反應(yīng)；Dandan等[2]研究了缺貨時(shí)顧客轉(zhuǎn)移購買的線上和線下雙渠道供應(yīng)鏈庫存模型，分析了固定需求轉(zhuǎn)移率對(duì)最優(yōu)庫存策略的影響；Li等[3]從多渠道競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境中分析了需求轉(zhuǎn)移對(duì)零售商定價(jià)和庫存決策的影響；王滔等[4]建立了一對(duì)一的二級(jí)供應(yīng)鏈雙渠道議價(jià)模型，其中考慮退貨時(shí)顧客的轉(zhuǎn)移購買行為；文獻(xiàn)[2-4]研究了多渠道競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下顧客的轉(zhuǎn)移購買行為，但基本未研究缺貨時(shí)顧客的等待購買行為；趙秋紅等[5]考慮了部分顧客轉(zhuǎn)移購買情況，提出了實(shí)施庫存轉(zhuǎn)運(yùn)和不實(shí)施庫存轉(zhuǎn)運(yùn)兩種情況下的雙分銷渠道訂貨策略，文中考慮缺貨量但未涉及短缺量滯后供給率是時(shí)變的情形；Kumar等[6]進(jìn)一步考慮顧客等待受線性時(shí)變的影響；蘇雪玲等[7]則認(rèn)為等待的指數(shù)時(shí)變函數(shù)更適合某些實(shí)際情況，研究了預(yù)售模式下生鮮產(chǎn)品庫存決策問題；羅兵等[8]構(gòu)造了受價(jià)格和等待時(shí)間共同影響的短缺量滯后供給分?jǐn)?shù)，建立了顧客等待意愿不相同的EOQ模型[9]；文獻(xiàn)[6-9]僅考慮缺貨時(shí)顧客等待意愿是時(shí)間的變量，但實(shí)際上，商品缺貨時(shí)經(jīng)常存在顧客等待和轉(zhuǎn)移購買兩種消費(fèi)者行為。

本文參考文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[9]，考慮緊俏新上市商品的客戶吸引力和品牌特性，一般不能在其它銷售渠道購買，消費(fèi)者對(duì)緊俏新上市商品的等待和購買意愿比一般商品強(qiáng)。因此，本文考慮滯后供給分?jǐn)?shù)是指數(shù)時(shí)變的情況，缺貨時(shí)緊俏新上市商品丟單量少，以連鎖零售商為研究對(duì)象，建立一個(gè)短缺量滯后供給和需求轉(zhuǎn)移的EOQ模型，分析連鎖零售商的訂貨策略和利潤(rùn)變化規(guī)律，為連鎖經(jīng)營(yíng)決策提供參考。

2 連鎖零售商的EOQ模型

2.1 符號(hào)和條件假設(shè)

本文研究連鎖零售商固定需求下銷售緊俏新上市商品的庫存決策問題，假設(shè)總連鎖零售商在特定區(qū)域內(nèi)僅有兩家連鎖零售商1和2，單周期問題，零售商會(huì)出現(xiàn)缺貨，缺貨時(shí)部分顧客選擇等待購買，其余顧客轉(zhuǎn)向另一個(gè)零售商購買。

采用o和s表示連鎖零售商1和連鎖零售商2，具體假設(shè)和符號(hào)定義如下：

Io、Is分別為連鎖零售商1、連鎖零售商2期初庫存水平，Io(t)、Is(t)分別為零售商1、零售商2在t時(shí)刻的庫存水平；Qo、Qs、Q分別為零售商1、零售商2訂貨量及總訂貨量；ps為商品銷售價(jià)格，D(ps)、Do(ps)、Ds(ps)為市場(chǎng)總需求及零售商1、零售商2的獨(dú)立需求，且D(ps)=a-bps、Do(ps)=εD(ps)、其中，a為市場(chǎng)初始需求，b為需求價(jià)格彈性，ε為零售商1需求占比率，且a＞0，b＞0，0＜ε＜1；Ao、As為零售商1、零售商2商品補(bǔ)貨啟動(dòng)費(fèi)用，pb為零售商1、零售商2商品單位購買價(jià)格，h為零售商1、零售商2商品單位時(shí)間持貨成本，c1、c2為零售商1商品單位時(shí)間內(nèi)滯后供給成本和丟單成本，且c1＜c2，此時(shí)零售商愿意缺貨回補(bǔ)；t1、t2為商品有現(xiàn)貨和缺貨時(shí)間，T為單周期長(zhǎng)度，ρτ=kτe-k1τ為短缺量滯后供給率，kτ為等待時(shí)間的短缺量滯后供給敏感因子，k1為等待時(shí)間敏感因子，且kτ＞0，k1＞0；B為零售商1最大滯后供給量，L為零售商1最大丟單量，π(t1,t2)為總連鎖零售商單周期內(nèi)的平均利潤(rùn)。

2.2 建立數(shù)學(xué)模型

單周期內(nèi)各連鎖零售商庫存水平情況如圖1所示。

圖1 單周期內(nèi)連鎖零售商庫存水平變化圖

對(duì)于連鎖零售商1的商品，單周期內(nèi)t時(shí)刻的庫存水平需滿足：

由此可計(jì)算最大滯后供給量：

零售商1商品單周期內(nèi)訂貨量：

計(jì)算零售商1商品單周期內(nèi)的銷售收入和成本如下：

補(bǔ)貨成本：

滯后供給成本：

丟單成本：

對(duì)于連鎖零售商2的商品，單周期內(nèi)t時(shí)刻的庫存水平需滿足：

由邊界條件Is(t1+t2)=0可得：

故零售商2商品單周期內(nèi)的訂貨量：

計(jì)算零售商2商品單周期內(nèi)的銷售收入和成本如下：

銷售收入：

補(bǔ)貨成本：

持貨成本：

最后，計(jì)算單周期內(nèi)總連鎖零售商的平均利潤(rùn)如下：

由此可建立總連鎖零售商庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型：

3 模型的最優(yōu)解分析和管理啟示

分別對(duì)t1和t2求偏導(dǎo)數(shù)可得：

聯(lián)立式（10）和式（11），可得：

則式（13）等價(jià)于：

根據(jù)式（14）可求t2關(guān)于t1的表達(dá)式：

對(duì)式（15）關(guān)于t2求導(dǎo)，可得：

對(duì)式（14）左邊關(guān)于t2求導(dǎo)，可得：

最后聯(lián)立式（9）和式（11），可得：

令式（18）左邊等于F(t2)，則可根據(jù)F(t2)的性質(zhì)分析總連鎖零售商的庫存問題。

證明 由式（18）可得F(t2)表達(dá)式，結(jié)合式（15）和式（13），可得F(t2)關(guān)于t2的導(dǎo)數(shù)：

當(dāng)t2趨近于0時(shí)，若kτ-1＞0且則成立，又因?yàn)閯t存在唯一使得成立，將代入式（15）即可得唯一

定理2 當(dāng)kτ-1＞0且時(shí)，存在唯一關(guān)于t1和t2的一階導(dǎo)為零同時(shí)成立，且使得總連鎖零售商平均利潤(rùn)函數(shù)取得唯一最大值。

由定理1和定理2可知，連鎖零售商1需求占比和時(shí)間短缺量滯后供給因子應(yīng)滿足一定條件，只有當(dāng)連鎖零售商1需求占比大于時(shí)，總連鎖零售商存在最優(yōu)有現(xiàn)貨時(shí)間和缺貨時(shí)間，此時(shí)總連鎖零售商平均利潤(rùn)函數(shù)取得唯一最大值。由式（3）和式（7）可知，在其它條件不變時(shí)，當(dāng)連鎖零售商1需求占比和時(shí)間短缺量滯后供給因子增大時(shí)，零售商1應(yīng)增加商品訂貨量，零售商2應(yīng)減少商品訂貨量。

定理3 當(dāng)kτ＞1且εkτ＞1時(shí)，最優(yōu)缺貨時(shí)間和有現(xiàn)貨時(shí)間取值范圍為：時(shí)，最優(yōu)缺貨時(shí)間和有現(xiàn)貨時(shí)間取值范圍為：

由定理3可知，商品最優(yōu)缺貨時(shí)間和有現(xiàn)貨時(shí)間有兩種取值范圍。當(dāng)連鎖零售商1需求占比大于時(shí)，有現(xiàn)貨時(shí)間受單位時(shí)間丟單成本、時(shí)間短缺量滯后供給因子和單位時(shí)間持貨成本影響，當(dāng)單位時(shí)間持貨成本和時(shí)間短缺量滯后供給因子減少，單位時(shí)間丟單成本增加時(shí)，連鎖零售商應(yīng)增加商品有現(xiàn)貨時(shí)間；當(dāng)連鎖零售商1需求占比大于時(shí)，有現(xiàn)貨時(shí)間受單位時(shí)間內(nèi)滯后供給成本、單位時(shí)間持貨成本、時(shí)間敏感因子、單位丟單成本、時(shí)間短缺量滯后供給因子影響，當(dāng)單位時(shí)間持貨成本和時(shí)間敏感因子減少，單位時(shí)間滯后供給成本、丟單成本、時(shí)間短缺量滯后供給因子、零售商1需求占比增加時(shí)，連鎖零售商應(yīng)增加商品有現(xiàn)貨時(shí)間和缺貨時(shí)間。

4 仿真分析

4.1 數(shù)值算例

參考羅兵等[8]設(shè)定連鎖零售商庫存系統(tǒng)參數(shù)如下：a=15.8，b=0.6，ps=10.9，pb=5.8，ε=0.75，kτ=1.5，k1=0.5，h=1，c1=0.8，c2=1，As=50，Ao=40。

利用Maple2017進(jìn)行數(shù)值仿真計(jì)算，可得如下結(jié)果（保留5位小數(shù)）：π*=15.186 24。

4.2 主要參數(shù)的靈敏性分析

以下對(duì)ε、kτ、k1、ps等參數(shù)進(jìn)行靈敏性分析，具體見表1-表4。

表1 零售商1需求占比ε 靈敏度分析

隨著ε增大，商品有現(xiàn)貨時(shí)間和缺貨時(shí)間先增加后縮短，零售商1訂貨量增加、零售商2訂貨量減少，總訂貨量先增加后減少，總連鎖零售商平均利潤(rùn)增加。這是因?yàn)榱闶凵?需求市場(chǎng)變大從而帶來平均利潤(rùn)增加，當(dāng)該零售商需求占比達(dá)一定程度時(shí)，會(huì)產(chǎn)生羊群效應(yīng)，大批客戶將吸引更多的人流，導(dǎo)致另一零售商客戶流驟減，使得總訂貨量減少，此時(shí)連鎖零售商應(yīng)減少商品有現(xiàn)貨時(shí)間和缺貨時(shí)間，降低持貨和丟單成本，以避免分銷渠道競(jìng)爭(zhēng)帶來利潤(rùn)損失。

隨著kτ增大，商品有現(xiàn)貨時(shí)間縮短，缺貨時(shí)間增加，需求轉(zhuǎn)移率變小，零售商1訂貨量增加，零售商2訂貨量減少，總訂貨量增加，總連鎖零售商平均利潤(rùn)增加。這是因?yàn)闀r(shí)間短缺量滯后供給因子越大時(shí)顧客越愿意等待，消費(fèi)者對(duì)等待時(shí)間不敏感，其更愿意等待購買而不是更換零售商購買，顧客對(duì)于缺貨反應(yīng)是積極的，而對(duì)于轉(zhuǎn)移購買是消極的，此時(shí)連鎖零售商應(yīng)采用饑餓營(yíng)銷策略，縮短商品有現(xiàn)貨時(shí)間，延長(zhǎng)缺貨時(shí)間，限量供應(yīng)。

表2 時(shí)間短缺量滯后供給因子kτ 靈敏度分析

表3 時(shí)間敏感因子k1 靈敏度分析

隨著k1增大，商品有現(xiàn)貨時(shí)間增加，缺貨時(shí)間縮短，需求轉(zhuǎn)移率變大，零售商1訂貨量減少，零售商2訂貨量小幅度增加，總訂貨量減少，總連鎖零售商平均利潤(rùn)減少。這是因?yàn)闀r(shí)間敏感因子越大，消費(fèi)者更愿意更換零售商購買而不是等待缺貨回補(bǔ)，顧客對(duì)于缺貨反應(yīng)是消極的，而對(duì)于轉(zhuǎn)移購買是積極的，從而導(dǎo)致零售商1客戶流失，因零售商1占有較大市場(chǎng)需求，客戶流失導(dǎo)致消費(fèi)者忠誠度和滿意度降低，即使消費(fèi)者向其他連鎖零售商轉(zhuǎn)移購買也無法彌補(bǔ)利潤(rùn)損失，此時(shí)連鎖零售商應(yīng)盡量滿足消費(fèi)者需求，保證現(xiàn)貨供應(yīng)，避免商品缺貨。

表4 銷售價(jià)ps 靈敏度分析

隨著ps提高，商品有現(xiàn)貨時(shí)間和缺貨時(shí)間均增加，各零售商訂貨量和總訂貨量均減少，總連鎖零售商平均利潤(rùn)增加。這是因?yàn)樯唐肥蹆r(jià)增加時(shí)，需求減少，訂貨量減少，但此時(shí)商品售價(jià)提高帶來的利潤(rùn)增加大于訂貨量減少帶來的利潤(rùn)損失。因此，當(dāng)銷售價(jià)提高時(shí)，連鎖零售商應(yīng)增加商品有現(xiàn)貨時(shí)間和缺貨時(shí)間。

5 結(jié)論

本文考慮商品缺貨時(shí)顧客的等待和轉(zhuǎn)移購買行為，建立了缺貨時(shí)發(fā)生短缺量滯后供給和需求轉(zhuǎn)移的連鎖零售商EOQ 模型，分析了模型唯一最優(yōu)解的存在條件以及商品有現(xiàn)貨時(shí)間和缺貨時(shí)間的合理取值范圍，采用仿真工具求解，得出以下研究結(jié)論：當(dāng)時(shí)間短缺量滯后供給因子和連鎖零售商需求占比滿足一定條件時(shí)，商品有現(xiàn)貨時(shí)間和缺貨時(shí)間存在合理的取值范圍；當(dāng)顧客對(duì)缺貨反應(yīng)積極而對(duì)轉(zhuǎn)移購買消極時(shí)，連鎖零售商應(yīng)采用饑餓營(yíng)銷策略，縮短商品有現(xiàn)貨時(shí)間，延長(zhǎng)缺貨時(shí)間，限量供應(yīng)；當(dāng)顧客對(duì)于缺貨反應(yīng)消極而對(duì)轉(zhuǎn)移購買積極時(shí)，連鎖零售商應(yīng)盡量滿足消費(fèi)者需求，保證商品現(xiàn)貨供應(yīng)，以避免商品缺貨；當(dāng)各連鎖零售商需求占比失衡時(shí)，應(yīng)減少商品有現(xiàn)貨時(shí)間和缺貨時(shí)間，降低訂貨量和提高售價(jià)可使總連鎖零售商減少利潤(rùn)損失。