高階Ablowitz-Ladik方程的局域波解及穩(wěn)定性分析*

聞小永 王昊天

(北京信息科技大學(xué)理學(xué)院, 北京 100192)

本文構(gòu)造了一類高階Ablowitz-Ladik方程的廣義 ( M,N?M) -波Darboux變換, 借助符號計(jì)算從不同背景出發(fā)研究了該模型豐富的局域波解, 并利用數(shù)值模擬研究了這些解的動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性.

專題：非線性物理

1 引 言

1955年, Fermi, Pasta 和 Ulam 領(lǐng)導(dǎo)的科學(xué)家小組用數(shù)值方法計(jì)算了用非線性彈簧聯(lián)結(jié)的64個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的諧振子的振動(dòng), 其目的是從數(shù)值實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證統(tǒng)計(jì)力學(xué)中的能量均分定理, 這在后來被人們稱為著名的 FPU 實(shí)驗(yàn)[1].1967年, Toda[2]考慮晶體的非線性振動(dòng), 提出了著名的Toda晶格方程近似模擬這種情況, 并得到了該模型的孤子解, 從而使FPU試驗(yàn)問題得到合理的解釋和正確解答[1].Toda晶格方程作為一類可積的半離散的非線性微分差分方程可以描述一些物理學(xué)中的非線性波的傳播現(xiàn)象, 該方程的提出引起了人們對可積的離散孤子方程研究的熱潮.可積系統(tǒng)中的非線性微分差分方程(又稱離散的孤子方程)是一類重要的半離散的非線性偏微分方程, 近年來國際上對這類模型的研究有著極大的興趣, 這些方程與元胞自動(dòng)機(jī)、DNA的研究、辛算法有密切的關(guān)系, 在電學(xué)、光學(xué)、磁性流體、超導(dǎo)、生物和等離子體中有著廣泛的應(yīng)用, 有十分廣闊的應(yīng)用前景, 目前離散問題的研究是國際上研究熱點(diǎn)之一[3].日本科學(xué)家Hirota[4]指出連續(xù)的孤子方程可以被離散化, 并且不遠(yuǎn)的將來將會(huì)是差分方程的時(shí)代, 這里所說的差分方程就是離散的孤子方程.

近年來, 孤子方程的局域波解受到了數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的廣泛關(guān)注, 按傳播特性, 局域波主要包括孤子、呼吸子、怪波等[5?18], 廣泛存在于非線性光學(xué)、玻色斯坦凝聚、等離子物理等各種非線性物理系統(tǒng)[5?16].孤子又稱孤立波, 是一種在傳播過程中形狀、幅度和速度都維持不變的脈沖狀行波, 并且孤子與其他同類孤子相遇后, 能維持其幅度、形狀和速度不變[5,6].呼吸子是一種特殊的局域周期振蕩孤子, 按傳播方向有空間周期的Akhmediev呼吸子和時(shí)間周期的Kuznetsov-Ma呼吸子[5,6],從光學(xué)和流體力學(xué)到玻色-愛因斯坦凝聚體和等離子體等各種物理情況下都能廣泛地觀察到呼吸子的傳播現(xiàn)象, 關(guān)于呼吸子碰撞特性的研究最近取得一系列有趣的結(jié)果, 包括棋盤干涉時(shí)空結(jié)構(gòu)[7], 具有不同傳播特征的super-regular呼吸子作用現(xiàn)象[8?11]等.怪波最初是用來描述海洋中出現(xiàn)的大振幅波, 突然出現(xiàn)然后又很快消失得無影無蹤, 怪波也被稱為畸形波, 是一種短時(shí)間內(nèi)存在的大振幅的局域波動(dòng)[5,6,14?18].怪波發(fā)生物理機(jī)理的研究是怪波研究的重點(diǎn), 調(diào)制不穩(wěn)定性通常被認(rèn)為是呼吸子和怪波發(fā)生的主要機(jī)制, 并且一些文獻(xiàn)認(rèn)為它可能是形成怪波和呼吸子的必要條件[10,11].目前不同類型的局域波作用解是國際上研究的熱點(diǎn)問題, 然而大部分問題和方法僅限于連續(xù)的孤子方程的局域波及其作用[5?24].例如文獻(xiàn)[5,6]研究了高維非線性模型的局域波作用解包括呼吸子和怪波以及Lump解之間的相互作用解; 文獻(xiàn)[14]研究了非線性光纖中呼吸子和怪波的相互作用現(xiàn)象.這些局域波作用對于理解新的物理現(xiàn)象具有重要的理論意義.然而對于離散孤子方程的局域波的研究, 由于研究的困難性, 據(jù)我們所知, 研究還不充分, 不系統(tǒng)[25,26], 因此本文將研究離散的非線性微分差分方程豐富的局域波解.作為例子, 研究下面的非線性微分差分方程

其 中rn=r(n,t),rn,t=drn/dt, 星 號 ? 表 示 共 軛 ,i是虛數(shù)單位,σ=±1 , 這里加號和減號分別表示聚焦和散焦情況.方程(1)可以通過AKNS方法得到[3], 這里為節(jié)省篇幅不給出具體推導(dǎo)過程.由于方程 (1)和 Ablowitz-Ladik 方程[3,27](即irn,t=rn?1+rn+1?2rn?σ|rn|2(rn?1+rn+1))屬于同一個(gè)梯隊(duì), 是這個(gè)梯隊(duì)的第二個(gè)方程, 我們稱方程(1)為高階的 Ablowitz-Ladik方程.正如五階 KdV方程可以像KdV方程能描述淺水波的運(yùn)動(dòng)一樣[3],我們有理由相信方程(1)也可能像它對應(yīng)的低階Ablowitz-Ladik方程一樣可以描述光纖中光孤子的傳播, 因此研究方程(1)具有重要的理論和物理意義.雖然對離散的Ablowitz-Ladik方程的局域波已經(jīng)有了一定的研究結(jié)果, 特別是應(yīng)用雙線性方法得到了它的怪波[28?30], 然而對于離散的孤子方程(1)還沒有系統(tǒng)的方法進(jìn)行研究, 特別是仍然沒有通過我們提出的廣義 (M,N?M) 波Darboux變換進(jìn)行系統(tǒng)的研究.因此本文將應(yīng)用廣義(M,N–M)波Darboux變換從研究方程(1)的精確解出發(fā), 尋找其新奇的局域波結(jié)構(gòu), 特別是不同類型的局域波相互作用的新奇局域波結(jié)構(gòu).

本文的主要結(jié)構(gòu)安排如下: 第二節(jié)構(gòu)造出方程(1)的Lax對和廣義 (M,N?M) 波Darboux變換; 第三節(jié)將應(yīng)用廣義 (M,N?M) -波Darboux變換給出方程(1)不同類型的局域波解, 并通過數(shù)值模擬研究其傳播穩(wěn)定性; 最后是本文的結(jié)論.

2 Lax對和廣義(M,N–M)-波Darboux變換

由AKNS方法[3], 可以構(gòu)造方程(1)的Lax對如下

這里φn=(?n,ψn)T表示 Lax 對 (2)式的解, T 表示轉(zhuǎn)置.借助符號計(jì)算 Maple, 容易驗(yàn)證方程(2)的相容性條件Un,t=Vn+1Un?UnVn等價(jià)于方程(1).接下來基于Lax對(2)式, 構(gòu)造方程(1)的廣義 (M,N?M) - 波 Darboux 變換, 然后通過它構(gòu)造方程(1)的局域波解.為此考慮下面的規(guī)范變換

其中是Tn是 2 ×2 的矩陣, 根據(jù) Darboux 變換的知識,必須滿足

為此, 我們構(gòu)造一個(gè)特殊的Darboux陣如下

這里N是正整數(shù),是n,t的未知函數(shù).當(dāng)選擇N個(gè)合 適 的λk(k=1,2,...,N) ,可以通過解下面的方程組得到:

通過上面的分析并根據(jù)文獻(xiàn)[710]中的步驟,若φ(λk)=(?(λk),ψ(λk))T,(k=1,2,...,M) 是Lax對的M個(gè)解, 且rn是方程(1)的種子解, 則可以得到關(guān)于方程(1)如下的廣義 (M,N?M) -波Darboux變換定理:

定理1當(dāng)方程(1)的新解和舊解rn的變換如下

其中

3 方程(1)的局域波解及其動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性

在這一節(jié)將討論如何應(yīng)用定理1中的(M,N?M)-波Darboux變換得到方程(1)豐富的局域波解.下面考慮兩類種子解情形下的Lax對的解.

情形1把種子解rn=0 代入(2)式中得到Lax對 的 解 為φn=(?n,ψn)T=(λ2neξ,e?ξ)T, 這 里

情形2把種子解rn=cei(c2+1)(?6c2+2)t代入(2)中得到Lax對的解為

這里eω,dω是任意的實(shí)常數(shù).為了得到怪波解, 需要對情形 2的解進(jìn)行泰勒展開, 為此令在ε=0處對情形2的解進(jìn)行泰勒展開, 有φ(ε2)=這里略去的展開式, 僅列出φ(0)=(?(0),ψ(0))T,這里下面將討論三種特殊情況的Darboux變換得到不同的局域波解.

3.1 應(yīng)用N-波Darboux變換得到多孤子和多呼吸子解

根據(jù)定理 1, 當(dāng)M=N, 廣義 (M,N?M) -波Darboux變換可以約化為通常的N-波Darboux變換, 當(dāng)N=1 , 使用情形 1 中 Lax 對的解, 一孤子解可以整理為

圖1 (a1)?(c1) 取參數(shù) λ1= ?1+2i 時(shí)的一孤子解; (a2)?(c2) 取參數(shù) λ1=3+i,λ2=1+2i 時(shí)的二孤子解.左列: 精確解;中列: 數(shù)值解; 右列: 加 2 % 小噪聲的數(shù)值解.圈中的數(shù)字 1 和 2 分別表示參數(shù) λ1 和 λ2 對應(yīng)的孤子Fig.1.(a1)?(c1) One-soliton solution with parameter λ1= ?1+2i ; (a2)?(c2) two-soliton solution with parameters λ1=3+i,λ2=1+2i.Left column: Exact solutions; Middle column: Numerical solutions without noise; Right column: Numerical solutions with 2 % small noise.

圖2 (a1)?(c1) 取參數(shù) λ1=11/4 時(shí)的一呼吸子解; (a2)?(c2) 取參數(shù) λ1=2,λ2=3 時(shí)的二呼吸子解.左列: 精確解; 中列: 數(shù)值解; 右列: 加 2 % 小噪聲的數(shù)值解.圈中的數(shù)字1和2分別表示參數(shù) λ1 和 λ2 對應(yīng)的呼吸子Fig.2.(a1)?(c1) One-breather solution with parameter λ1=11/4 ; (a2)?(c2) two-breather solution with parameters λ1=2,λ2=3 .Left column: Exact solutions; Middle column: Numerical solutions without noise; Right column: Numerical solutions with 2 % small noise.

當(dāng)N=2 , 由定理 1中 (8)式, 我們能夠得到二孤子解, 這里為節(jié)省篇幅, 不列出具體表達(dá)式,通過漸近分析, 可以知道二孤子之間的碰撞是彈性作用.圖1(a2)顯示了二孤子的彈性作用結(jié)構(gòu), 兩孤子在碰撞前后, 形狀振幅速度沒有發(fā)生改變.圖1(b2)顯示了二孤子沒有加入噪聲時(shí)的數(shù)值演化, 圖1(c2)顯示了二孤子加入 2 % 小噪聲時(shí)的數(shù)值演化.類似于一孤子, 在較短的時(shí)間內(nèi)小噪聲對二孤子的碰撞作用影響很小.

下面利用N-波Darboux變換和情形2時(shí)的Lax對的解研究方程(1)的呼吸子解.這里取參數(shù)C1= ?C2=c=1,δ(ε)=0.當(dāng)N=1,2 , 由 (8)式可以得到一呼吸子和二呼吸子解.圖2(a1)–圖2(c1)和圖(a2)–圖2(c2)分別顯示了一和二呼吸子的精確解、數(shù)值解以及加 2 % 小噪聲的數(shù)值解.在較短的時(shí)間內(nèi), 一、二呼吸子都有較好的數(shù)值穩(wěn)定性, 隨著時(shí)間的增加, 不論是否有噪聲, 數(shù)值演化都顯示出較大的振動(dòng), 表現(xiàn)出不穩(wěn)定.

3.2 應(yīng)用(1,N–1)-波Darboux變換得到怪波解

根據(jù)定理 1, 當(dāng)M=1 時(shí), 我們僅使用一個(gè)譜參數(shù), 利用 ( 1,N?1) -波 Darboux變換和情形 2時(shí)Lax對的解結(jié)合泰勒展開式可以得到方程(1)的怪波解.這里取參數(shù)C1= ?C2=1/ε,c=3/4 ,當(dāng)N=1,2 , 由(8)式可以得到一階和二階怪波解.

當(dāng)N=1 時(shí), 由 ( 1,0) -波 Darboux 變換可以得到一階怪波解通過整理為

該解是非奇性的, 并且在時(shí)間和空間上都是局域的.圖3(a1)—圖3(c1)顯示了一階怪波(10)式的精確解、數(shù)值解以及加 2 % 小噪聲的數(shù)值解.在較短的時(shí)間內(nèi), 一階怪波解具有較好的數(shù)值穩(wěn)定性.

由定理 1 中 (8)式, 當(dāng)N=2 時(shí), 由 ( 1,1) -波Darboux變換可以得到二階怪波解, 這里為節(jié)省篇幅, 不列出具體表達(dá)式.圖3(a2)—圖3(c2)和圖(a3)—圖3(c3)分別顯示了具有強(qiáng)作用和弱作用的二階怪波解的精確解、數(shù)值解以及加 2 % 小噪聲的數(shù)值解.在較短的時(shí)間內(nèi), 二階怪波具有較好的數(shù)值穩(wěn)定性.隨著時(shí)間的增加, 不論是否有噪聲,數(shù)值演化都表現(xiàn)出較強(qiáng)的振動(dòng)和不穩(wěn)定.

3.3 應(yīng)用(2,N–2)-波Darboux變換得到怪波與呼吸子的混合作用解

根據(jù)定理 1, 當(dāng)M=2 時(shí), 我們將使用兩個(gè)譜參數(shù), 利用 ( 2,N?2) -波 Darboux變換和情形 2時(shí)Lax對的解結(jié)合泰勒展開式, 可以得到方程(1)的怪波與呼吸子的混合作用解.由(8)式, 當(dāng)N=2時(shí), 需要說明的是, 對于兩個(gè)譜參數(shù), 一個(gè)譜參數(shù)使用情形2時(shí)Lax對的解結(jié)合泰勒展開式, 參數(shù)選取與3.2小節(jié)中求怪波的參數(shù)相同, 對另一個(gè)譜參數(shù)仍使用情形2時(shí)Lax對的解但不使用泰勒展開, 參數(shù)C1= ?C2=1,c=3/4,δ(ε)=0 .由 ( 2,0) -波Darboux變換可以得到一階怪波和一呼吸子的混合作用解, 這里不列出具體表達(dá)式.如果在泰勒展開式中對變量n做一定的平移變換, 就可以控制怪波的位置.圖4(a1)—圖4(c1)和圖4(a2)—圖4(c2)分別顯示了一階怪波和一呼吸子的強(qiáng)作用和弱作用情況下的精確解、數(shù)值解以及加 2 % 小噪聲的數(shù)值解.兩行圖的區(qū)別是弱作用時(shí), 對怪波沿n軸正半軸平移了10個(gè)單位, 實(shí)現(xiàn)了怪波和呼吸子的分離.數(shù)值模擬顯示了這些混合解的正確性, 在較短時(shí)間內(nèi), 不論是否有噪聲, 混合作用解均具有較好的數(shù)值穩(wěn)定性.

圖3 (a1)—(c1)一 階怪波解; (a2)—(c2)取參數(shù) e1=d1=0 時(shí)具有強(qiáng)作用的二階怪波解; (a3)—(c3)取 參 數(shù)e1=100,d1=0時(shí)具有弱作用的二階怪波解.左列: 精確解; 中列: 數(shù)值解; 右列: 加 2 % 小噪聲的數(shù)值解Fig.3.(a1)?(c1) First-order rogue wave solution; (a2)?(c2) strong interaction second-order rogue wave solution with e1=d1=0 ;(a3)?(c3) weak interaction second-order rogue wave solution with e1=100,d1=0 .Left column: Exact solutions; Middle column:Numerical solutions without noise; Right column: Numerical solutions with 2 % small noise.

圖4 (a1)—(c1) 一呼吸子和一階怪波的混合強(qiáng)作用; (a2)—(c2) 一呼吸子和一階怪波的混合弱作用.左列: 精確解; 中列: 數(shù)值解; 右列: 加 2 % 小噪聲的數(shù)值解.圈中的數(shù)字 1 表示呼吸子, 數(shù)字 2 表示怪波Fig.4.(a1)?(c1) Mixed strong interaction between one-breather and first-order rogue wave; (a2)?(c2) mixed weak interaction between one-breather and first-order rogue wave.Left column: Exact solutions; Middle column: Numerical solutions without noise;Right column: Numerical solutions with 2 % small noise.

4 結(jié) 論

本文構(gòu)造了高階Ablowitz-Ladik方程的廣義(M,N?M)-波Darboux變換, 借助符號計(jì)算和數(shù)值計(jì)算, 通過不同特殊情形的Darboux變換, 得到了該模型多孤子解、多呼吸子解、高階怪波解以及怪波與呼吸子的相互作用解, 并且應(yīng)用數(shù)值模擬研究了它們的穩(wěn)定性.需要說明的是當(dāng)3MN?1, 利用廣義 (M,N?M) -波 Darboux 變換,也可以得到更豐富的局域波作用結(jié)構(gòu), 本文不做討論.本文給出的廣義 (M,N?M) -波Darboux變換方法為研究Lax可積模型豐富的局域波提供了很好的解決思路, 得到的結(jié)果更為全面, 比通常的Darboux變換更具有普遍性, 關(guān)于方程(1)的局域波結(jié)構(gòu)的研究豐富了非線性微分差分方程的已知結(jié)果, 將為實(shí)際應(yīng)用提供可靠的理論支持, 希望本文得到的結(jié)果為解釋實(shí)際的物理現(xiàn)象提供理論依據(jù).

感謝北京信息科技大學(xué)理學(xué)院孤子與可積系統(tǒng)討論班成員的討論.