諧振腔內(nèi)的高質(zhì)量圓對稱艾里光束的產(chǎn)生方法*

朱一帆 耿滔

(上海理工大學(xué)光電信息與計算機工程學(xué)院, 上海市現(xiàn)代光學(xué)系統(tǒng)重點實驗室, 教育部光學(xué)儀器與系統(tǒng)工程研究中心, 上海 200093)

本文提出一種在諧振腔內(nèi)產(chǎn)生高質(zhì)量圓對稱艾里光束的方法, 通過使用針對特定參數(shù)光束設(shè)計的衍射光學(xué)元件替代反射腔鏡, 可在腔內(nèi)獲得所需的特定參數(shù)光束.研究結(jié)果表明, 該方法產(chǎn)生的圓對稱艾里光束的參數(shù)可控; 模式能量損耗低, 接近高斯基模光束; 光束質(zhì)量高, 明顯優(yōu)于目前常用的傅里葉空間純相位全息編碼法.接著, 討論了組裝系統(tǒng)時產(chǎn)生的腔長誤差和同軸度誤差, 以及加工衍射元件時產(chǎn)生的刻蝕誤差對產(chǎn)生光束的影響.結(jié)果表明, 現(xiàn)有的機械調(diào)節(jié)技術(shù)和微納加工技術(shù), 完全能滿足系統(tǒng)誤差的精度要求, 顯示該方法對誤差有較好的容差性.

1 引 言

由于具有無衍射、自加速和自修復(fù)等特性, 艾里光束自2007年被提出以來一直是光學(xué)領(lǐng)域的研究熱點之一[1?5].為了產(chǎn)生艾里光束, 研究者通常使用傅里葉空間的立方相位調(diào)制方法[1], 近年來隨著超表面技術(shù)的發(fā)展, 越來越多的研究者開始利用表面等離子激元產(chǎn)生艾里光束[6?8], 這種方法能在微納尺度獲得艾里光束, 在納米微粒操作和光傳感等領(lǐng)域有很大的應(yīng)用前景.將一維艾里光束做徑向?qū)ΨQ處理, 可以得到圓對稱艾里光束(circular airy beam, CAB), CAB 是一種自聚焦光束, 當(dāng)其在自由空間傳播時, 在焦點前光束能保持很低的光強分布, 而到達焦點時光強會突然提升數(shù)十甚至數(shù)百倍, 因此這種光束又被稱為突然自聚焦光束(abruptly autofocusing wave)[9,10].由于 CAB 具有的這種突然自聚焦特性, 使得其在生物醫(yī)學(xué)、激光加工、光學(xué)微操作和非線性光學(xué)等領(lǐng)域有著廣闊的應(yīng)用前景, 受到了越來越多的關(guān)注[11?14].

CAB是一種特殊光束, 需要使用特定的方法來產(chǎn)生, 目前在可見光波段產(chǎn)生CAB的方法主要有兩種.一是使用具有徑向3/2次方分布的相位板或空間光調(diào)制器 (spatial light modulator, SLM)[15],使用這種方法可方便地獲得具有渦旋相位的CAB[16], 但缺點是無法針對CAB光環(huán)分布的疏密程度編碼, 即無法得到所需徑向比例系數(shù)的光束,因此使用者較少.另一種是在傅里葉空間使用經(jīng)純相位全息編碼的相位板或SLM[10], 這種方法可以獲得所需特定參數(shù)的光束, 因此是目前最常用的產(chǎn)生CAB的方法[11?14].

但上述兩種方法對光源的使用效率都很低, 例如第二種常用方法的理論衍射效率(即衍射成像的光通量與再現(xiàn)時照明光源的總光通量之比)低于3%, 經(jīng)編碼算法改進后雖有所提升, 但理論衍射效率仍低于7%[17], 嚴重阻礙了CAB的實際應(yīng)用.基于此, 本文提出了一種在諧振腔內(nèi)產(chǎn)生可控高質(zhì)量CAB光束的方法, 并對產(chǎn)生光束的質(zhì)量和能量損耗問題進行了理論探討.研究結(jié)果表明, 該方法不僅光束參數(shù)可控, 能量損耗低, 且光束質(zhì)量也明顯優(yōu)于純相位編碼方法.本文最后還討論了組裝系統(tǒng)時產(chǎn)生的對準誤差和衍射元件的加工誤差對產(chǎn)生光束的影響, 結(jié)果顯示本文提出的方法對誤差有較好的容差性.據(jù)我們所知, 目前在諧振腔內(nèi)產(chǎn)生CAB的研究還未見報道.

2 理論方法

2.1 Fox-Li方法和特性向量法

在諧振腔中, 反射鏡2的光場分布U2可由反射鏡1的光場分布U1經(jīng)衍射積分計算獲得

其中ρ為場點到源點的距離,K(θ) 為傾斜因子.由于諧振腔腔長遠遠大于反射鏡半徑, 因此取K(θ)≈ 1.同理, 光波經(jīng)反射鏡2返回反射鏡1上的光場U1_1可由U2通過(1)式的衍射積分計算獲得.如此反復(fù)地迭代計算衍射積分, 當(dāng)光波經(jīng)過n次在腔內(nèi)的往返傳播以后, 到達鏡面1的光場變?yōu)閁1_n, 當(dāng)滿足如下條件時可停止迭代.

其中δ為一趨于零的常數(shù), 視計算精度要求取值,本文取為10–3.這種數(shù)值迭代方法稱為Fox-Li方法[18].

由于任意連續(xù)函數(shù)可作離散化處理, 那么(1)式中的U1和U2可用列向量表示為

當(dāng)p,q足夠大, 即劃分的單元區(qū)域足夠的小, 由(1)式, 反射鏡2上單元n處的光場可表示為

2009年以來，煙草行業(yè)逐步在全系統(tǒng)推廣福建省煙草公司審計委派制的經(jīng)驗和做法，在全系統(tǒng)實行內(nèi)部審計委派制，即由省級公司向地市級公司派駐審計人員，建立“雙重領(lǐng)導(dǎo)，垂直管理、監(jiān)督駐地、參審異地”的內(nèi)部審計運行體系。委派制實施以來，內(nèi)部審計工作成效顯著，審計監(jiān)督的整體性和宏觀性作用得到有效發(fā)揮，為全系統(tǒng)規(guī)范健康發(fā)展提供了有力保障。但從運行情況來看，也存在著不少的問題，期待通過深化改革，進一步激活活力，發(fā)揮內(nèi)部審計的作用。

其中Wm為反射鏡1上第m單元的面積.(4)式可改寫為

其中D=BA為光場經(jīng)過一個來回的傳輸矩陣, 它僅與諧振腔的幾何尺寸有關(guān).

根據(jù)諧振腔的自再現(xiàn)理論, 光場的特征向量應(yīng)滿足:

其中γ為方程特征值, 描述了光場經(jīng)過一個來回光程的振幅衰減和相位變化.比較(6)式和(7)式可知,γ即為傳輸矩陣D的特征值, 而D包含了腔內(nèi)所有可能的光場模式分布.那么, 求解腔內(nèi)光場模式分布的問題轉(zhuǎn)換為求解特征向量U1和相應(yīng)的特征值γ的問題.這種方法稱為特性向量法[19?21], 與Fox-Li方法相比, 特性向量法的優(yōu)點在于可以一次算出一系列模式分布, 且計算不受光場初值的影響, 可適用于任何非規(guī)則形狀的腔鏡.因此本文采用了特性向量法計算腔內(nèi)的光場模式分布以及相應(yīng)的模式能量損耗.

2.2 衍射光學(xué)元件的設(shè)計方法

CAB在初始面上的光場分布可以表示為

其中C為振幅常數(shù),Ai(·) 為艾里函數(shù),r為光場的徑向坐標(biāo), 參數(shù)r0決定了主光環(huán)的半徑,w為徑向比例系數(shù), 影響光環(huán)分布的疏密程度,a為指數(shù)衰減系數(shù).圖1(a)和圖1(b)分別給出了CAB在初始面的光強和相位分布, 其中光強分布對最大值做了歸一化處理, 計算參數(shù)為r0= 1 mm,w= 0.2 mm,a= 0.15.圖1(c)給出了 CAB 的側(cè)面光強分布,從圖1(c)可以看到在焦點前光強峰值沿拋物線軌跡傳播, 并向焦點位置匯聚.聚焦前, 光軸上的光強幾乎為零, 在焦點處突然達到最大值, 顯示出突然自聚焦特性.

產(chǎn)生CAB的諧振腔示意圖如圖2所示, 為了在腔內(nèi)獲得CAB, 我們使用了具有特定表面結(jié)構(gòu)的衍射光學(xué)元件代替了其中的平面反射鏡, 用于選取所需的激光模式, 凹面反射鏡被設(shè)為光束輸出鏡.

圖1 (a) CAB 初始面的光強分布; (b) CAB 初始面的相位分布; (c) CAB 的側(cè)面光強分布Fig.1.(a) Intensity distributions of the CAB at the initial plane; (b) phase distributions of the CAB at the initial plane; (c) intensity distributions of the CAB during propagation in the r-z plane.

圖2 諧振腔示意圖Fig.2.Schematic of the laser resonator configuration for CAB generation.

其 中φ1(x1,y1) 為U1(x1,y1) 的 相 位.從 圖1(b) 可以看出, 由于 CAB 的相位呈 0 ? π 環(huán)狀分布, 能自動滿足(10)式的要求.由(9)式可知, 此時衍射光學(xué)元件為純相位調(diào)制, 避免了使用振幅調(diào)制帶來的能量損耗, 且可選擇使用反射式的SLM來代替衍射光學(xué)元件.

通過上述設(shè)計原理獲得的CAB出現(xiàn)在凹面反射鏡的凹面處, 因此如果輸出鏡為一般的平凹鏡(即凹面反射鏡外表面為平面), 當(dāng)光波經(jīng)凹面透射到圖2中的虛線位置輸出時, 光波在腔鏡內(nèi)部的傳播會產(chǎn)生一個的光程差, 其中n為反射鏡的折射率,R為凹面的曲率半徑,r為徑向坐標(biāo).在本文中凹面鏡曲率半徑遠遠大于反射鏡截面半徑, 滿足r?R, 有?≈nr2/2R, 因此以平凹鏡輸出時, 光波會附加一個相位畸變?φ≈knr2/2R, 其中k為光束的真空波數(shù).所以,在凹面鏡的外側(cè)我們使用了凸面結(jié)構(gòu)對這一相位畸變進行了修正, 如圖2 所示.在r?R和r?R′的近似條件下, 可由簡單的幾何關(guān)系得

其中R′為凸面的曲率半徑.

3 結(jié)果與討論

本文在計算中設(shè)光束波長為 6 32.8nm (氦氖激光器), 凹面鏡和衍射光學(xué)元件的截面半徑為 4 mm ,腔長L=1450mm , 凹面鏡的曲率半徑R=2000mm ,

由(11)式可得外側(cè)凸面的曲率半徑R′=666.7mm .衍射光學(xué)元件上的相位分布由(9)式可得θ(x2,y2)=?2φ2(x2,y2).仿真計算使用了柱坐標(biāo)系, 腔鏡在徑向和角向被分別劃分為100和150個單元格.由特征向量法可知, 光波在腔內(nèi)經(jīng)過一個來回后能量損耗比例為 1 ? |γ|2.換言之, 特征值的絕對值 |γ| 越大的模式, 能量損耗越小, 即越有可能在腔中被激發(fā).需要說明的是, 本文的討論雖然以氦氖激光為例,但設(shè)計方法同樣適用于其他波段的激光器, 只是需根據(jù)不同的工作波長重新設(shè)計衍射元件的相位分布.

表1 不同參數(shù)條件下的衍射光學(xué)元件上的相位分布和計算獲得的最大3個 |γ| 對應(yīng)模式的光強分布Table 1.The phase distributions of the diffractive optical elements, the three largest |γ| and the calculated intensity distributions of corresponding modes with different parameters.

表1列出了針對不同參數(shù)CAB設(shè)計的衍射光學(xué)元件上的相位分布, 以及利用這些相位分布計算出的最大3個 |γ| 所對應(yīng)模式的光強分布.從表1中可以看到, 不同參數(shù)計算所得的基模光束均為設(shè)計所需的CAB.我們利用Fox-Li方法使用相同的參數(shù)進行了驗證, 計算結(jié)果如圖3所示, 所得模式與特征向量法的結(jié)果完全吻合.腔內(nèi)基模光場的主峰位置隨著參數(shù)r0的增大逐漸外移, |γ| 隨之逐漸減小, 這表明為了獲得較大r0的CAB光束, 應(yīng)適當(dāng)增加腔鏡的半徑.如前所述, 腔內(nèi)光場模式的單程損耗比例為 1 ? |γ|2, 那么, 表1中3種情況的基模, 其單程損耗比例分別為 0.56%, 0.60%和0.80%, 均小于1%, 接近產(chǎn)生高斯基模時光波的損耗(約0.14%), 說明這種方法產(chǎn)生的CAB能量損耗極小.

為了直觀地觀察產(chǎn)生光束的質(zhì)量, 圖4給出了表1中3種情況基模輸出光束的徑向光強分布, 并與各自對應(yīng)的理想CAB和使用純相位編碼法[10]產(chǎn)生的光束進行了比較.從圖4中可以看到, 純相位編碼方法產(chǎn)生的光束光強分布與理想的CAB基本能吻合, 其中次光環(huán)的峰值明顯大于理想光束次光環(huán)的峰值, 且光環(huán)峰值不能按照從里到外的次序依次遞減, 有跳變的現(xiàn)象存在.本方法產(chǎn)生的光束,其光強分布幾乎與理想CAB完全重合, 重合度明顯優(yōu)于使用純相位編碼方法產(chǎn)生的光束.這是由于本方法產(chǎn)生的CAB由腔內(nèi)產(chǎn)生, 由于諧振腔的存在, 光波在腔內(nèi)多次反射, 使得能量損失最小的基模得以保留, 而其他的損耗較大的高階模式則加以抑制, 隨著光波在腔內(nèi)往返次數(shù)的增加, 混雜的高階模式逐漸衰減, 最終獲得了比腔外產(chǎn)生方法更純凈的CAB模式.

圖3 不同參數(shù)條件下, 使用 Fox-Li方法計算獲得的腔內(nèi)光場模式分布 (a) r0 = 1 mm, w = 0.2 mm 和 a = 0.15;(b) r0 = 1.1 mm, w = 0.22 mm 和 a = 0.17; (c) r0 = 1.2 mm,w = 0.25 mm 和 a = 0.2Fig.3.Calculation results of the intensity distributions of the modes by using Fox-Li method with different parameters: (a) r0 = 1 mm, w = 0.2 mm and a = 0.15; (b) r0 = 1.1 mm,w = 0.22 mm and a = 0.17; (c) r0 = 1.2 mm, w = 0.25 mm and a = 0.2.

為了考察產(chǎn)生光束的傳輸特性與理想CAB是否吻合, 圖5給出了表1中3種情況基模輸出光束在自由空間沿z軸傳播的光軸強度分布, 并和各自對應(yīng)的理想CAB和使用純相位編碼方法產(chǎn)生的光束進行了比較, 圖中I0為各光束在初始面的主光環(huán)峰值.從圖5中可以看到, 純相位編碼方法產(chǎn)生的光束, 其焦點處的峰值明顯大于理想光束, 這是因為相比于理想CAB, 這種光束在初始面的次光環(huán)和高階次光環(huán)獲得了更多的能量, 而已有的研究表明, CAB主光環(huán)對焦斑峰值幾乎沒有貢獻, 可以使用壓制主光環(huán)的調(diào)制方法提升光束的焦斑峰值[23,24].本方法產(chǎn)生的光束, 其光軸光強分布幾乎與理想光束完全重合, 再一次證明腔內(nèi)產(chǎn)生的光束質(zhì)量明顯優(yōu)于目前常用的純相位編碼方法產(chǎn)生的光束.

圖4 理想CAB和使用不同方法產(chǎn)生的光束的徑向光強分布 (a) r0 = 1 mm, w = 0.2 mm 和 a = 0.15; (b) r0 =1.1 mm, w = 0.22 mm 和 a = 0.17; (c) r0 = 1.2 mm, w =0.25 mm 和 a = 0.2Fig.4.Radial intensity distributions of the ideal CAB and the beams produced by different methods: (a) r0 = 1 mm,w = 0.2 mm and a = 0.15; (b) r0 = 1.1 mm, w = 0.22 mm and a = 0.17; (c) r0 = 1.2 mm, w = 0.25 mm and a = 0.2.

本文采用的方法需針對固定腔長設(shè)計衍射光學(xué)元件, 而在實際組裝諧振腔時很難做到腔長與設(shè)計長度完全吻合, 因此需要考慮腔長誤差對產(chǎn)生光束的影響.另外組裝系統(tǒng)時, 衍射元件中心和凹面鏡的中心還不可避免的會產(chǎn)生同軸度誤差.為了評價這些誤差對光束質(zhì)量的影響, 引入結(jié)構(gòu)相似性指數(shù)作為評判標(biāo)準.結(jié)構(gòu)相似性理論是一種常用的圖像質(zhì)量測量的理論, 可以用來評估失真圖像與參考圖像的相似程度.結(jié)構(gòu)相似性指數(shù)可以表示為[25]

圖5 理想CAB和使用不同方法產(chǎn)生的光束的光軸光強分布 (a) r0 = 1 mm, w = 0.2 mm 和 a = 0.15; (b) r0 =1.1 mm, w = 0.22 mm 和 a = 0.17; (c) r0 = 1.2 mm, w =0.25 mm 和 a = 0.2Fig.5.On-axis intensity contrast of the ideal CAB and the beams produced by different methods: (a) r0 = 1 mm, w =0.2 mm and a = 0.15; (b) r0 = 1.1 mm, w = 0.22 mm and a = 0.17; (c) r0 = 1.2 mm, w = 0.25 mm and a = 0.2.

其中A, B分別表示參考圖像和失真圖像,σA和σB分別表示參考圖像和失真圖像的標(biāo)準差,σAB為參考圖像和失真圖像的相關(guān)系數(shù).S(A,B) 的最大值為1, 其值越接近1說明失真圖像越接近參考圖像.

圖6(a)給出了光束參數(shù)為r0= 1 mm,w=0.2 mm 和a= 0.15 時, 基模特征值的絕對值 |γ| 以及結(jié)構(gòu)相似性指數(shù)S與腔長誤差δl的關(guān)系, 這里腔長誤差δl定義為實際腔長與設(shè)計腔長的差值.從圖6(a)中可以看到, 即使腔長誤差達到了 2 mm ,對基模光束帶來的不良影響都非常小, 基模的能量損耗仍然極小, 且光束質(zhì)量保持在較高水準, 表明這種諧振腔系統(tǒng)對腔長誤差具有極好的容差性.

圖6 光 束 參 數(shù) 為 r0=1mm , w =0.2mm 和a=0.15時, 系統(tǒng)對準誤差對產(chǎn)生光束質(zhì)量的影響 (a)基模的|γ|以及S與腔長誤差 δl 的關(guān)系; (b)基模的 | γ| 以及S與同軸度誤差 δd 的關(guān)系Fig.6.The influence of the alignment errors on formation of the fundamental mode with r0=1mm , w=0.2mm and a =0.15 : (a) |γ| and S of the fundamental mode as a function of δl ; (b) |γ| and S of the fundamental mode as a function of δd .

圖6(b)給出了光束參數(shù)相同時, 基模的 |γ| 以及S與同軸度誤差δd的關(guān)系, 這里同軸度誤差δd定義為衍射元件中心和凹面鏡中心之間的垂直距離.從圖6(b) 中可以看出, 隨著δd的增加, |γ| 下降速度較慢,S則下降速度較快.這說明能量損耗受同軸度誤差的影響較小, 而光束質(zhì)量受同軸度誤差影響較大.計算結(jié)果表明, 當(dāng)δd<7 μm 時,S值能保持在0.99以上, 即產(chǎn)生的光束質(zhì)量較高.因此建議實際組裝系統(tǒng)時, 同軸度誤差需小于 7 μm , 而這一精度要求以現(xiàn)有的機械調(diào)節(jié)技術(shù)并不難滿足.

除了系統(tǒng)組裝時產(chǎn)生的對準誤差以外, 衍射元件本身的加工誤差也會對光束質(zhì)量產(chǎn)生不利的影響.如通常使用的離子束刻蝕技術(shù)會產(chǎn)生刻蝕誤差, 即理想刻蝕深度與實際刻蝕深度之間的差值.本文使用了較苛刻的誤差分布模型-離散隨機分布來分析刻蝕誤差的影響, 即大小隨機的刻蝕誤差離散地分布在衍射元件表面, 并令其中的最大誤差值為δh, 用以表征加工精度.圖7給出了基模的 |γ| 以及S與δh的關(guān)系, 光束參數(shù)與圖6相同.從圖7中可以看到, 隨著δh的增加, |γ| 下降速度較快,S則下降速度較慢.這說明能量損耗受刻蝕誤差的影響較大, 而光束質(zhì)量受刻蝕誤差影響較小, 這一結(jié)論與同軸度誤差的影響正好相反.計算結(jié)果表明, 當(dāng)δh<0.06λ(約 3 8nm )時, |γ| 值能保持在 0.97 以上,能量損耗仍保持較低水平.因此在加工衍射元件時, 建議刻蝕誤差小于 3 8nm , 以現(xiàn)有的微納加工技術(shù)完全能滿足這一精度要求.

圖7 基模的 |γ| 以及 S 與 δh 的關(guān)系Fig.7.|γ| and S of the fundamental mode as a function of δh.

4 結(jié) 論

本文提出了一種可以在諧振腔內(nèi)產(chǎn)生CAB的方法, 且產(chǎn)生光束的參數(shù)可以通過改變衍射光學(xué)元件上的相位分布來進行調(diào)控.研究發(fā)現(xiàn), 該方法在能量損耗和光束質(zhì)量兩方面都明顯優(yōu)于目前常用的傅里葉空間的純相位全息編碼法, 且使用該方法組成的諧振腔系統(tǒng)對誤差有很好的容差性.但另一方面, 相位全息方法光路簡單, 且使用了成熟的商業(yè)光學(xué)器件, 系統(tǒng)搭建要求低.而腔內(nèi)產(chǎn)生方法由于諧振腔腔長較長, 系統(tǒng)所占空間較大, 需額外定制加工較高精度的衍射光學(xué)元件, 且諧振腔的搭建對光路校準有較高的要求, 因此實現(xiàn)難度要高于相位全息法.