基于改進(jìn)卡爾曼濾波算法的路面構(gòu)造深度計(jì)算方法

婁月新 陳圣迪 陸 鍵 郎 洪

(1同濟(jì)大學(xué)道路與交通工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 上海 201804)(2上海海事大學(xué)交通運(yùn)輸學(xué)院, 上海 201306)

道路表面的構(gòu)造深度是評(píng)定路面粗糙度和抗滑性的重要指標(biāo)[1].隨著道路使用和自然環(huán)境的影響，較小的路面構(gòu)造深度會(huì)大大降低道路的安全性，提升交通事故發(fā)生的概率.因此，對(duì)路面構(gòu)造深度的準(zhǔn)確測(cè)量和計(jì)算是判斷道路安全性的重要手段之一，為道路安全性能的改善提供理論依據(jù).

目前，對(duì)路面構(gòu)造深度的檢測(cè)方法主要分為接觸式檢測(cè)法和非接觸式檢測(cè)法[2-3].接觸式檢測(cè)法通過測(cè)量設(shè)備直接測(cè)得路面的平均構(gòu)造深度(mean texture depth, MTD)，主要以鋪砂法為主，其中又包括手工鋪砂法和電動(dòng)鋪砂法，該類方法目前仍作為我國(guó)檢測(cè)和校準(zhǔn)構(gòu)造深度的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量方法[4].非接觸式檢測(cè)法則是通過自動(dòng)化測(cè)量設(shè)備獲得路面的平均剖面深度(mean profile depth，MPD)或傳感器測(cè)量構(gòu)造深度(sensor mean texture depth，SMTD)，該類方法以車載激光檢測(cè)儀為主.美國(guó)材料與試驗(yàn)協(xié)會(huì)[5](American society for testing materials, ASTM)和澳大利亞道路研究局[6](Australian road research board, ARRB)分別給出了MPD和SMTD的測(cè)量和計(jì)算方法，我國(guó)的標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范[7]也對(duì)2個(gè)指標(biāo)的測(cè)量和計(jì)算方法進(jìn)行了詳細(xì)的定義，建立了較合理的計(jì)算過程.然而，路面環(huán)境中的多種噪聲干擾和傳感器的系統(tǒng)測(cè)量誤差會(huì)很大程度上影響最終的構(gòu)造深度計(jì)算結(jié)果[8]，因此非接觸式檢測(cè)法計(jì)算的MPD和SMTD結(jié)果通常需要經(jīng)過與鋪砂法計(jì)算值進(jìn)行相關(guān)分析，并建立對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行轉(zhuǎn)換后方能使用，ASTM在標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定了MPD與MTD為線性轉(zhuǎn)換模型，表征為DMTD=0.2+0.8DMPD，其中DMTD為鋪砂法MTD計(jì)算值，DMPD為MPD計(jì)算值；ARRB依照ASTM標(biāo)準(zhǔn)也規(guī)定了SMTD和MTD的轉(zhuǎn)換模型.但由于路面及檢測(cè)方法的差異性，對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)換模型也會(huì)存在差異，大量的試驗(yàn)結(jié)果[9-13]表明線性轉(zhuǎn)換模型的斜率通常在0.5～1.2范圍內(nèi)，截距在-0.3～1.0之間.因此，對(duì)于不同的測(cè)量設(shè)備和路面材料特性，模型的建立也需要對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)來進(jìn)行檢驗(yàn)和修正，從而進(jìn)一步提升測(cè)量結(jié)果的精度.

綜上，路面構(gòu)造深度的檢測(cè)方法主要以鋪砂法和激光檢測(cè)法為主.但鋪砂法需要大量的人力和時(shí)間，檢測(cè)效率低；激光檢測(cè)法彌補(bǔ)了鋪砂法的缺點(diǎn)，但在實(shí)際檢測(cè)中由于激光傳感器測(cè)量誤差及環(huán)境中各類噪聲的影響，需要研究合理的算法對(duì)激光測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波和計(jì)算才能確保測(cè)量的準(zhǔn)確性.目前較為普遍采用的是滑動(dòng)濾波算法，該算法采用均值方法對(duì)給定滑動(dòng)長(zhǎng)度區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)中心點(diǎn)進(jìn)行修正[4]，但該算法去噪結(jié)果較為粗糙，不能保留路面縱斷面更多的細(xì)節(jié).此外，不同的路面材料具有不同的構(gòu)造深度特性，其轉(zhuǎn)換模型也隨之不同，需要進(jìn)一步進(jìn)行研究.基于以上不足，本文提出基于改進(jìn)卡爾曼濾波(Kalman filter, KF)算法的路面構(gòu)造深度計(jì)算方法，該方法對(duì)獲取的激光測(cè)量高程數(shù)據(jù)進(jìn)行初步篩選及插值修正，建立改進(jìn)KF算法進(jìn)行濾波去噪，進(jìn)而通過MPD計(jì)算模型獲得路面MPD值，并依據(jù)AC-13和SMA-13兩種瀝青混凝土路面材料試驗(yàn)樣本的標(biāo)準(zhǔn)鋪砂法計(jì)算結(jié)果建立了MPD與MTD線性轉(zhuǎn)換模型，最后通過與滑動(dòng)濾波算法的對(duì)比試驗(yàn)驗(yàn)證了該方法具有更高的測(cè)量精度.計(jì)算結(jié)果具有較高的重復(fù)性和相關(guān)性，在檢測(cè)方法研究和實(shí)際檢測(cè)應(yīng)用中有一定的價(jià)值.

1 路面MPD計(jì)算模型

1.1 異常值篩選及修正

在激光檢測(cè)法中，通常采用激光距離傳感器來獲得路面的縱斷面高程值.但在實(shí)際檢測(cè)中由于路面的復(fù)雜性、傳感器測(cè)量誤差、檢測(cè)系統(tǒng)的機(jī)械震動(dòng)和測(cè)量過程中人為等因素，通過激光測(cè)得的路面高程值會(huì)存在大量的噪聲及一些與大部分測(cè)量值偏差極大的異常點(diǎn)[14]，因此需要對(duì)高程點(diǎn)的檢測(cè)值進(jìn)行預(yù)處理.本文通過對(duì)采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)，激光測(cè)量的路面縱斷面高程值呈高斯分布，如圖1所示.因此，對(duì)于測(cè)量的樣本數(shù)據(jù)建立t檢驗(yàn)進(jìn)行異常值識(shí)別篩選[15].

圖1 高程值概率分布

采集的一組高程值樣本矩陣X={X1,X2,…,Xn}服從高斯分布，其中n為高程值個(gè)數(shù)，對(duì)Xi(i=1,2,…,n)構(gòu)建原始假設(shè)H0：Xi(i=1,2,…,n)屬于異常點(diǎn)；備擇假設(shè)H1：Xi(i=1,2,…,n)不屬于異常點(diǎn).建立檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T為

(1)

(2)

(3)

式中，Oi為篩選出的異常值；Oi-1為異常值的左鄰正常值；Oi+1為異常值的右鄰正常值.

1.2 改進(jìn)KF算法

數(shù)據(jù)預(yù)修正后需對(duì)修正后的數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波去噪，目前采用的滑動(dòng)濾波算法[16]的缺點(diǎn)在于進(jìn)行第1次濾波時(shí)，濾波窗口內(nèi)的采樣點(diǎn)均為未濾波的原始采樣點(diǎn)，即包含了采樣噪聲，因此在之后的濾波過程中仍然包含了部分噪聲，不能達(dá)到良好的去噪效果.KF算法是時(shí)域?yàn)V波中最優(yōu)化自回歸數(shù)據(jù)處理算法，是將信號(hào)的變化規(guī)律用線性數(shù)學(xué)模型進(jìn)行表征，采用遞歸的方式實(shí)時(shí)計(jì)算預(yù)測(cè)值和觀測(cè)值之間的最小均方誤差來對(duì)觀測(cè)的數(shù)據(jù)進(jìn)行更新，從而實(shí)現(xiàn)去噪并獲得測(cè)量點(diǎn)的最優(yōu)估計(jì)[17-20].對(duì)于本文研究對(duì)象而言，道路表面的縱斷面由于集料等因素的影響并非完全的線性變化，因此傳統(tǒng)KF算法受到了限制.本文通過大量的試驗(yàn)分析和計(jì)算發(fā)現(xiàn)，由于檢測(cè)過程中路面構(gòu)造深度測(cè)量系統(tǒng)的采樣間隔極小(1 mm)，路面的高程變化在極短間距L(本文中L取50 mm，即采樣點(diǎn)數(shù)量N為50)內(nèi)具有線性變化趨勢(shì)，其可用線性模型y=ax+b進(jìn)行擬合表征，其中a和b為線性模型參數(shù)變量，如圖2所示.因此，本文對(duì)傳統(tǒng)KF算法進(jìn)行改進(jìn)，在預(yù)測(cè)過程中利用最小二乘法[21]建立動(dòng)態(tài)線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，并在更新過程中采用限制增益法來抑制濾波過程的發(fā)散，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確濾波去噪.其算法過程分為如下2步.

圖2 路面縱斷面剖面

1) 將縱斷面采樣距離以間距L劃分為若干個(gè)分析單元，則對(duì)于每個(gè)分析單元中的高程值xp(p=1,2,…,N-1)和xq(q=2,3,…,N)，其線性回歸模型可表征為

xq=β0+β1xp

(4)

式中，回歸系數(shù)β0和β1計(jì)算公式為

(5)

2) KF算法的系統(tǒng)模型包含狀態(tài)方程和觀測(cè)方程，即

xk=Fkxk-1+Bkuk+wk

(6)

zk=Hkxk+vk

(7)

式中，xk為k時(shí)刻系統(tǒng)所在狀態(tài)矩陣；Fk為系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Bk為控制變量轉(zhuǎn)移矩陣；uk為控制變量；wk為系統(tǒng)預(yù)測(cè)噪聲，服從高斯分布常用其協(xié)方差矩陣Q表征；zk為系統(tǒng)觀測(cè)矩陣；Hk為觀測(cè)轉(zhuǎn)移矩陣；vk為系統(tǒng)測(cè)量噪聲，服從高斯分布常用其協(xié)方差矩陣R表征.

① 進(jìn)行初始化定義：初始狀態(tài)值xk-1=zk-1，初始均方誤差為Pk-1=1.

1.3 MPD計(jì)算模型

MPD是指在特定長(zhǎng)度區(qū)間內(nèi)的斷面深度的平均值，與MTD有著良好的相關(guān)關(guān)系，通過對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)換模型能夠間接地獲得MTD值，是非接觸式檢測(cè)法中計(jì)算的指標(biāo)之一.其計(jì)算原理如圖3所示.

圖3 MPD計(jì)算原理圖(單位：mm)

MPD計(jì)算模型的主要過程是將測(cè)量路段以100 mm為單位劃分為M個(gè)計(jì)算單元，每個(gè)計(jì)算單元前50 mm和后50 mm兩個(gè)斷面高程峰值的平均值與該100 mm計(jì)算單元高程平均值之差為該計(jì)算單元MPD值，則各計(jì)算單元MPD值的均值為整個(gè)路段的MPD值.本文基于ASTM和我國(guó)JTG E60—2008規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)[3-4]，利用處理和濾波后的路面高程值來計(jì)算MPD，即

(8)

2 試驗(yàn)方案

2.1 試驗(yàn)樣本

不同的路面材料結(jié)構(gòu)具有不同的路面紋理構(gòu)造，為了減小由于單一樣本造成的誤差，本文選取SMA-13和AC-13兩種瀝青混凝土路面作為試驗(yàn)樣本，每種路面類型選擇5條，每條長(zhǎng)度50 m.試驗(yàn)樣本地理位置信息如表1所示，樣本表面形態(tài)如圖4所示.

表1 試驗(yàn)樣本路段地理信息

(a) 1#樣本

(b) 2#樣本

(c) 3#樣本

(d) 4#樣本

(e) 5#樣本

(f) 6#樣本

(g) 7#樣本

(h) 8#樣本

(i) 9#樣本

(j) 10#樣本

2.2 數(shù)據(jù)獲取

采用手推式激光路面縱斷面剖面儀和鋪砂法分別對(duì)樣本路段進(jìn)行數(shù)據(jù)采集.手推式激光路面縱斷面剖面儀是一種基于無線藍(lán)牙傳輸和高精度激光距離傳感器的路面縱斷面高程測(cè)量系統(tǒng)，通過高精度激光距離傳感器可每隔1 mm獲得一個(gè)路面縱斷面高程值.在手推式激光測(cè)量?jī)x采集數(shù)據(jù)后，以5 m作為采樣間距沿路面縱斷面相同的位置參照ASTM E965-15標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范[23]中的相關(guān)要求進(jìn)行鋪砂法測(cè)量，現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)如圖5所示.

3 試驗(yàn)結(jié)果及分析

3.1 試驗(yàn)結(jié)果

對(duì)鋪砂法及改進(jìn)KF算法、滑動(dòng)濾波算法計(jì)算得出的MTD和MPD值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如表2所示.可以看出，由于路面受到不同程度的磨損，因此同一種路面類型具有不同的構(gòu)造深度，表現(xiàn)為AC-13瀝青混凝土樣本的計(jì)算結(jié)果在0.729～1.103 mm之間，SMA-13瀝青混凝土樣本的計(jì)算結(jié)果在0.934～1.424 mm之間.此外，由于不同計(jì)算方法的差異性，滑動(dòng)濾波算法的計(jì)算結(jié)果均高于鋪砂法計(jì)算結(jié)果，而改進(jìn)KF算法的計(jì)算結(jié)果除5#和10#兩個(gè)樣本之外，其余均高于鋪砂法計(jì)算結(jié)果.

(a) 手推式激光縱斷面剖面儀測(cè)量

(b) 鋪砂法測(cè)量

表2 改進(jìn)KF算法、滑動(dòng)濾波算法及鋪砂法計(jì)算結(jié)果

進(jìn)一步選取1#、2#、6#和7#四個(gè)樣本，分別用手推式激光縱斷面剖面儀和鋪砂法進(jìn)行了10次重復(fù)性數(shù)據(jù)采集，并分別計(jì)算10次的DMTD、DKF-MPD和DSF-MPD值，計(jì)算結(jié)果如表3所示.

表3 1#、2#、6#和7#四個(gè)樣本的重復(fù)性計(jì)算結(jié)果

3.2 濾波算法試驗(yàn)結(jié)果分析

由于空間限制，以1#和6#樣本為例，將本文提出的改進(jìn)KF算法與傳統(tǒng)的滑動(dòng)濾波算法進(jìn)行比較分析，兩者的濾波結(jié)果如圖6所示.

由圖6可以看出，改進(jìn)KF算法與滑動(dòng)濾波算法對(duì)傳感器采集的測(cè)量值均達(dá)到了濾波效果，其中滑動(dòng)濾波算法使得路面縱斷面剖面曲線更加的平滑，而改進(jìn)KF算法在去除噪聲的同時(shí)，更多地保留了道路表面的細(xì)節(jié)，相比滑動(dòng)濾波算法的結(jié)果更符合實(shí)際道路表面狀況.為了進(jìn)一步驗(yàn)證改進(jìn)KF算法計(jì)算結(jié)果，選擇均方誤差(mean square error, MSE)和平均絕對(duì)百分比誤差(mean absolute percent error, MAPE)兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量來進(jìn)行誤差分析，其中MSE是檢驗(yàn)測(cè)量值與真實(shí)值之間的偏差，而MAPE則是對(duì)測(cè)量方法精度的一種度量[24]，其模型為

(a) 1#樣本

(b) 6#樣本

(9)

式中，VMSE為MSE值；VMAPE為MAPE值；Ac為第c個(gè)樣本真實(shí)值，本文中為鋪砂法計(jì)算結(jié)果；Fc為第c個(gè)樣本測(cè)量值，本文中為改進(jìn)KF算法或滑動(dòng)濾波算法計(jì)算結(jié)果；B為測(cè)量的樣本數(shù)，本文中B=5.以鋪砂法的測(cè)量結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算改進(jìn)KF算法和滑動(dòng)濾波算法的MSE及MAPE值，結(jié)果如表4所示.

表4 改進(jìn)KF算法和滑動(dòng)濾波算法的對(duì)比分析

由表4可以看出，對(duì)于AC-13和SMA-13兩種路面類型樣本，改進(jìn)KF算法的MSE計(jì)算結(jié)果分別為0.001 3和0.002 0，MAPE值計(jì)算結(jié)果分別為2.92%和3.85%，均小于滑動(dòng)濾波算法，表明改進(jìn)KF算法計(jì)算得出的剖面深度值與鋪砂法計(jì)算結(jié)果之間的偏差更小，精度更高，相比滑動(dòng)濾波算法的計(jì)算結(jié)果更接近于標(biāo)準(zhǔn)的鋪砂檢測(cè)法.

3.3 重復(fù)性試驗(yàn)結(jié)果分析

對(duì)表3數(shù)據(jù)進(jìn)行定量分析，選擇標(biāo)準(zhǔn)偏差(standard deviation, Std)和變異系數(shù)[25](coefficient of variation, CV)兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果的穩(wěn)定性和變化強(qiáng)度，二者都是衡量一組數(shù)據(jù)分布離散程度的標(biāo)準(zhǔn)，其中變異系數(shù)是無量綱指標(biāo)，能夠消除測(cè)量尺度和量綱對(duì)分析的影響，從而更客觀地反映數(shù)據(jù)的離散程度.指標(biāo)計(jì)算公式如下：

(10)

表5 重復(fù)性計(jì)算結(jié)果分析

由表5可以看出，鋪砂法的VStd和VCV值最大，表明鋪砂法存在大量的誤差及不穩(wěn)定性，其重復(fù)性較低；而改進(jìn)KF算法相比滑動(dòng)濾波算法具有更低的VStd和VCV.特別地，對(duì)于AC-13樣本類型，改進(jìn)KF算法與滑動(dòng)濾波算法的VStd和VCV差異較大，而對(duì)于SMA-13樣本類型差異較小，表明改進(jìn)KF算法對(duì)AC-13樣本類型的計(jì)算穩(wěn)定性具有更大的優(yōu)勢(shì).同時(shí)，改進(jìn)KF算法的VStd分別為0.016 4、0.018 0、0.034 3、0.023 4，VCV分別為1.87%、2.44%、2.93%、2.33%，均符合我國(guó)JTG/T E61—2014標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范[7]中的要求(<5%)，算法具有較強(qiáng)的穩(wěn)定性.

3.4 相關(guān)性試驗(yàn)結(jié)果分析

為了進(jìn)一步分析改進(jìn)KF算法與滑動(dòng)濾波算法的差異性，并建立不同路面材料結(jié)構(gòu)的構(gòu)造深度轉(zhuǎn)化模型，對(duì)2種濾波算法的計(jì)算結(jié)果和鋪砂法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行t檢驗(yàn)分析[26]，結(jié)果如表6所示.

由表6可知，對(duì)于AC-13和SMA-13兩種路面類型，改進(jìn)KF算法的測(cè)量結(jié)果具有極低的p值，分別為0.005和0，意味著對(duì)于t檢驗(yàn)將在顯著性水平0.01上拒絕原始假設(shè)(0.005、0<0.01)，即改進(jìn)KF算法計(jì)算結(jié)果與鋪砂法測(cè)量結(jié)果沒有差異，具有相關(guān)性.同時(shí)，對(duì)于AC-13和SMA-13兩種路面類型鋪砂法和改進(jìn)KF算法的相關(guān)系數(shù)(correlation coefficient)R分別為0.975和0.995，均符合我國(guó)JTG/T E61—2014標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范[7]中的要求(>0.95)，證明本文改進(jìn)KF算法與鋪砂法具有強(qiáng)相關(guān)性.而對(duì)于AC-13和SMA-13兩種路面類型滑動(dòng)濾波算法與鋪砂法的t檢驗(yàn)p值分別為0.021和0.014，均高于改進(jìn)KF算法結(jié)果，且在顯著性水平0.05上具有相關(guān)性，R分別為0.932和0.949.因此，改進(jìn)KF算法計(jì)算結(jié)果更優(yōu)于滑動(dòng)濾波算法.進(jìn)而將改進(jìn)KF算法和鋪砂法計(jì)算結(jié)果利用SPSS軟件進(jìn)行線性回歸分析建模，模型擬合結(jié)果如圖7所示.

表6 2種濾波算法計(jì)算結(jié)果與鋪砂法計(jì)算結(jié)果的t檢驗(yàn)分析

(a) AC-13樣本

(b) SMA-13樣本

由圖7可知，對(duì)于AC-13和SMA-13兩種路面類型樣本改進(jìn)KF算法與鋪砂法的決定系數(shù)(coefficient of determination)R2分別為0.950 5和0.989 3，其中SMA-13樣本類型的R2更高，表明所建立的回歸模型具有較高的擬合優(yōu)度.此外，AC-13類型樣本的線性轉(zhuǎn)換模型的斜率和截距分別為0.841 5和0.113 2，SMA-13樣本類型的線性轉(zhuǎn)換模型的斜率和截距分別為1.185 1和-0.255 0，與美國(guó)ASTM標(biāo)準(zhǔn)中模型相比，斜率均高于0.8且截距均低于0.2，結(jié)果表明不同路面類型樣本具有不同的轉(zhuǎn)換模型.

4 結(jié)論

1) 針對(duì)目前構(gòu)造深度計(jì)算模型精度不高、濾波方法較粗糙的問題，本文提出了基于改進(jìn)KF算法的數(shù)據(jù)濾波方法，與傳統(tǒng)滑動(dòng)濾波算法相比，該方法綜合考慮了系統(tǒng)狀態(tài)噪聲和傳感器測(cè)量噪聲，在去除噪聲的同時(shí)能夠更多地保留路面縱斷面剖面的細(xì)節(jié)，獲得更精確的去噪結(jié)果.

2) 選取AC-13瀝青混凝土和SMA-13瀝青混凝土2種路面類型作為試驗(yàn)樣本，對(duì)本文所提改進(jìn)KF算法與鋪砂法和滑動(dòng)濾波算法進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證，并建立了2種路面類型的構(gòu)造深度轉(zhuǎn)換模型.試驗(yàn)結(jié)果表明：對(duì)于AC-13和SMA-13兩種路面類型本文改進(jìn)KF算法的VMSE值分別為0.001 3和0.002 0，VMAPE值分別為2.29%和3.85%，重復(fù)性標(biāo)準(zhǔn)偏差及變異系數(shù)均小于5%，與鋪砂法相關(guān)性系數(shù)大于0.95，說明該方法測(cè)量精度更高，穩(wěn)定性更強(qiáng).

3) 本文仍存在一些不足及局限性，針對(duì)我國(guó)其他路面類型，如水泥混凝土路面需要進(jìn)一步進(jìn)行驗(yàn)證.同時(shí)，在采用KF算法進(jìn)行計(jì)算時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)噪聲還有待根據(jù)實(shí)際路面情況進(jìn)行深入分析，能夠更精確地計(jì)算出狀態(tài)預(yù)測(cè)噪聲，從而獲得更精確的去噪結(jié)果是今后研究中的主要工作.