單軸晶體中雜化偏振矢量渦旋光場的傳輸特性

練 萌 顧 兵

(1 東南大學移動通信國家重點實驗室，南京 210096)(2 東南大學先進光子學中心，南京 210096)

單軸晶體具有各向異性，在光學器件設計、非線性光學現象以及柱對稱矢量光場生成等方面有廣泛應用[1-3].特別是光束在單軸晶體中的傳輸特性研究，已經引起了越來越多的關注.光束在單軸晶體中的傳輸可以分為傍軸傳輸和非傍軸傳輸，對于這2種傳輸方式產生的傳輸規(guī)律人們已經建立了比較完善的理論[4-5].

近年來，矢量光場由于其具有非均勻分布的偏振態(tài)而受到人們的重視.眾所周知，偏振作為光場固有的基本屬性，在光與物質相互作用的過程中起到了不可或缺的作用.對光場的偏振態(tài)進行調控，使得光場與物質和微納結構相互作用的過程中產生了很多新穎的現象和效應[6-8].同時，光學渦旋是具有螺旋波前結構和相位奇點的特殊光場，具有確定的光子軌道角動量，在光學微操縱、光學信息傳輸、非線性光學、生物醫(yī)學等領域應用廣泛.目前，關于矢量光場在單軸晶體中的傳輸特性研究已經有了很多報道[9-14]，但是尚未有研究討論雜化偏振矢量渦旋光場在單軸晶體中的傳輸特性.本文基于傍軸矢量模型，計算得出雜化偏振矢量渦旋光場在單軸晶體中傳輸的解析表達式.基于該表達式，研究了不同參數下單軸晶體對雜化偏振矢量渦旋光場的傳輸特性的影響.

1 光在單軸晶體中的矢量傳輸模型

如圖1所示，在笛卡爾坐標系中，假設光束在單軸晶體中沿著z軸方向傳輸，與晶體的光軸垂直.已知，單軸晶體的介電張量ε的表達式為

(1)

式中，no和ne分別為尋常光o光和非尋常光e光的折射率[15].根據Ciattoni等[5,16]的研究，光束在單軸晶體中垂直于光軸傳輸時的電場表達式為

E(r,t)=Re[E(r)exp(-iωt)]

(2)

式中，E(r,t)為電場，其中r=xex+yey為橫截面上的位置矢量，ex和ey為笛卡爾坐標系Oxy的基矢，t為傳輸時間；E(r)為電場復振幅；ω為光束頻率.

E(r)=Eo(r)+Ee(r)

(3)

式中，Eo(r)和Ee(r)分別為o光和e光的電場復振幅，其電場分別表示為

圖1 光場在單軸晶體中垂直于光軸傳輸的示意圖

(4)

(5)

(6)

式(3)～(6)給出了在單軸晶體中光束垂直于光軸傳輸的表達式，可以看出單軸晶體中的傳輸場可以表示為o光和e光的線性疊加，兩者彼此獨立傳輸.根據這個傍軸矢量傳輸模型，可以求得任意光場在單軸晶體中的表達式，從而研究光場的傳輸特性.

2 雜化偏振矢量渦旋光場在單軸晶體中的傳輸理論

在笛卡爾坐標系中，雜化偏振矢量渦旋光場入射至單軸晶體中，沿著垂直于光軸的方向傳輸.在入射平面z=0上，初始雜化偏振矢量渦旋光場可以表示為[17]

E(r,φ,0)=A(r)[exp(iφ)ex+exp(-iφ)ey]·

exp(-imφ)

(7)

(8)

(9)

將式(8)、(9)代入式(6)，計算得到雜化偏振矢量渦旋光場x、y分量的二維傅里葉變換表達式為

(10)

(kx-iky)2

(11)

在傍軸近似下，將式(8)～(11)代入式(4)、(5)，經過計算化簡之后，可以得到雜化偏振矢量渦旋光場在單軸晶體中垂直于光軸方向傳輸時其x、y分量的表達式為

(12)

(13)

由式(12)、(13)可以看出，單軸晶體中傳輸場的x分量僅和e光有關，而y分量僅和o光相關，且這2種平面波分別沿著x方向和y方向偏振.由此可見，光束入射至單軸晶體中會分解成o光和e光，傳輸場可以表示為o光和e光的線性疊加.其中，o光在晶體中的傳輸是各向同性的，而e光在晶體中的傳輸是各向異性的，同時光場在傳輸過程中發(fā)生衍射，致使整個傳輸場的光場分布失去原有的對稱性.與此同時，雜化偏振矢量渦旋光場的相位分布也發(fā)生了變化.式(8)、(9)說明了初始雜化偏振矢量渦旋光場的x分量相位為零，y分量的相位分布和x、y坐標有關.進入單軸晶體后，雜化偏振矢量渦旋光場的x分量有了相位，并且相位分布僅僅和傳輸距離z有關，和坐標x、y無關；而y分量不僅和傳輸距離z有關，還和坐標x、y有關.

3 數值結果與分析

根據光場傳輸表達式(12)、(13)，對雜化偏振矢量渦旋光場在單軸晶體中垂直于光軸的傳輸進行數值計算，選取固定的參數λ=532 nm和no=2.

圖2給出了雜化偏振矢量渦旋光場在單軸晶體中傳輸不同距離時的光強分布，其中I為歸一化光強值，計算參數選取ne/no=1.5和ω0=20 μm.由圖可知，隨著傳輸距離的增加，光場逐漸失去原有的對稱性.由于受到單軸晶體各向異性的作用，渦旋光場的暗中心消失，光束由最初的圓環(huán)形狀慢慢變成包裹著一個橢圓對稱的實心核的橢圓對稱的環(huán).當光束繼續(xù)傳輸，中心的光強越來越強，外圍橢圓環(huán)在y=0平面的光強減弱直至為零，最后變成一個不完整的橢圓環(huán).

圖2 雜化偏振矢量渦旋光場在單軸晶體中傳輸不同距離時的光強分布

圖3給出了不同初始光束半徑的雜化偏振矢量渦旋光場在單軸晶體中傳輸相同距離時的光強分布，計算參數選取ne/no=1.5和z=5 mm.由圖可知，在同一觀察平面上，初始光束半徑不同，傳輸光場分布也不相同，這說明單軸晶體對于不同尺寸的雜化偏振矢量渦旋光場的影響各不相同.當ω0=40 μm時，傳輸光場的形狀非常接近入射前的初始光場，而當ω0越小，傳輸光場受到單軸晶體各向異性的影響越大，光場分布的變化越大.

圖3 不同初始半徑的雜化偏振矢量渦旋光場在單軸晶體中傳輸相同距離時的光強分布

圖4給出了雜化偏振矢量渦旋光場在不同的單軸晶體中傳輸相同距離時的光場分布，計算參數選取ω0=20 μm和z=5 mm.在同一觀察平面上，雜化偏振矢量渦旋光場在ne/no不同的單軸晶體中垂直于光軸傳輸時，傳輸光場的光強分布發(fā)生了不同的變化.當ne/no=1時，光場分布保持初始圓對稱；當ne/no<1，即在負單軸晶體中傳輸時，光場沿y方向延伸，且在x=0平面上外環(huán)光強減弱；相反，當ne/no>1，即在正單軸晶體中傳輸時，光場沿x方向延伸，且在y=0平面上外環(huán)光強減弱.這說明單軸晶體的ne/no不同，各向異性強度不同，對雜化偏振矢量渦旋光場的傳輸特性的影響也不同.

圖4 雜化偏振矢量渦旋光場在不同的單軸晶體中傳輸相同距離時的光強分布

圖5～圖7分別展示了傳輸距離、初始光束半徑和單軸晶體的ne/no等參數對于雜化偏振矢量渦旋光場在單軸晶體中的偏振態(tài)分布、自旋角動量分布以及相位分布等的影響，圖中S為自旋角動量，φx和φy分別表示雜化偏振矢量渦旋光場在單軸晶體中傳輸時x分量和y分量Ex和Ey的相位分布.為了清晰地表現出光場的偏振態(tài)分布，在采用單一色的光強分布圖上用線圈標注各點的偏振態(tài)，紅色表示左旋偏振，白色表示右旋偏振.

(a) 光場偏振態(tài)分布

(b) 自旋角動量分布

(c) Ex的相位分布

(d) Ey的相位分布

圖5雜化偏振矢量渦旋光場在單軸晶體中傳輸不同距離時的各參量分布

從圖5可以看出，雜化偏振矢量渦旋光場各點的偏振態(tài)隨著傳輸距離的增加而發(fā)生改變，傳輸過程中光場的偏振態(tài)還是雜化偏振，而各個點的偏振態(tài)不斷地變化成線偏振、橢圓偏振和圓偏振.特別地，雖然光束的暗中心受到單軸晶體各向異性的影響而消失，但是在光場中心的偏振態(tài)依然是不確定的.從圖5(b)來看，隨著雜化偏振矢量渦旋光場在單軸晶體中的傳輸，自旋角動量分布發(fā)生了旋轉，形狀也產生了扭曲型的畸變.圖5(c)和(d)描繪了雜化偏振矢量渦旋光場在單軸晶體中傳輸時x分量和y分量相位分布的變化.在入射面，x分量是相位為零的標量場，傳輸一段距離后，產生相位且呈環(huán)形分布；y分量的初始等相位線是從坐標原點發(fā)出的射線，且在橫截面上的周期數為2，進入單軸晶體后，相位分布呈現中心對稱的非均勻的渦旋狀，方向為逆時針環(huán)繞.由此可知，單軸晶體對雜化偏振矢量渦旋光場的相位分布也有一定的調控作用.

圖6給出了不同初始半徑的雜化偏振矢量渦旋光場在單軸晶體中傳輸相同距離時的光場偏振態(tài)分布、自旋角動量分布以及Ex和Ey的相位分布.從圖6(a)可以看出，在同一觀察平面，不同初始光束半徑的雜化偏振矢量渦旋光場各點的偏振態(tài)不同.同時，與偏振態(tài)相關的自旋角動量分布也不同.ω0越小，光場所受到的單軸晶體的影響越大，自旋角動量的畸變越嚴重.觀察相位分布圖，雜化偏振矢量渦旋光場在單軸晶體中傳輸時x分量和y分量相位分布的變化與初始光束半徑有密切的關系，光束半徑越小，相位分布變化越大.由此可知單軸晶體對小尺寸的雜化偏振矢量渦旋光場的相位分布有著更強的調控作用.

(a) 光場偏振態(tài)分布

(b) 自旋角動量分布

(c) Ex的相位分布

(d) Ey的相位分布

圖6不同初始半徑的雜化偏振矢量渦旋光場在單軸晶體中傳輸相同距離時的各參量分布

(a) 光場偏振態(tài)分布

(b) 自旋角動量分布

(c) Ex的相位分布

(d) Ey的相位分布

圖7雜化偏振矢量渦旋光場在不同的單軸晶體中傳輸相同距離時的各參量分布

圖7給出了雜化偏振矢量渦旋光場在不同ne/no的單軸晶體中傳輸相同距離時的光場偏振態(tài)分布、自旋角動量分布以及Ex和Ey的相位分布.同樣地，從圖7(a)看出，不同ne/no的單軸晶體作用于初始光束半徑相同的雜化偏振矢量渦旋光場，各點的偏振態(tài)會發(fā)生不同的變化.自旋角動量偏轉的角度以及產生的形變也不同.觀察相位分布圖，雜化偏振矢量渦旋光場在單軸晶體中傳輸時x分量的相位分布受到ne/no的影響，當ne/no>1時，相位分布沿y方向延伸；當ne/no<1時，相位分布沿x方向延伸.而y分量的相位不隨著單軸晶體ne/no的變化而變化.

4 結論

1) 基于傍軸矢量傳輸理論，推導出了雜化偏振矢量渦旋光場在單軸晶體中垂直于光軸傳輸的解析表達式.由表達式可知，單軸晶體中傳輸場的x分量僅和e光有關，y分量僅和o光相關，傳輸場可以表示為o光和e光的線性疊加.

2) 基于傳輸場的表達式，通過數值模擬研究發(fā)現，雜化偏振矢量渦旋光場在單軸晶體中的光場分布、偏振態(tài)分布、自旋角動量分布以及渦旋相位分布和光場的初始光束尺寸、在單軸晶體中的傳輸距離以及單軸晶體e光和o光折射率比值有密切的關系.

3) 本文利用單軸晶體的各向異性對既含有復雜偏振特性又含有光學渦旋的雜化偏振矢量渦旋光場進行了調控，為光學捕獲、微粒操控、量子信息等領域提供了新的技術手段.