差分方程描述下的系統(tǒng)性質(zhì)判定的有效辦法

文/吳令軍 周子瑄 劉莎莎

1 系統(tǒng)性質(zhì)的定義與判別方法說明

一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)是將輸入序列x(n)變換成輸出序列y(n)的一種運(yùn)算，記為y(n)=T[x(n) ]。時(shí)域離散系統(tǒng)中主要討論系統(tǒng)的線性、時(shí)不變性、因果性和穩(wěn)定性，因此如何判斷系統(tǒng)的線性、時(shí)不變性、因果性和穩(wěn)定性就顯得十分重要。對(duì)四種系統(tǒng)特性進(jìn)行分析并給出判斷方法，并指出了每種判斷方法所適用的情況。通過靈活運(yùn)用這些方法，可以快速而準(zhǔn)確的判斷系統(tǒng)的特性。根據(jù)文獻(xiàn)給出如下定義與判定方法。

（1）線性系統(tǒng)的定義是指系統(tǒng)的輸入輸出滿足線性疊加原理，其判別公式如下。

（2）時(shí)不變系統(tǒng)的定義是輸入信號(hào)的移位會(huì)引起輸出信號(hào)的移位，其判別公式如下。

（3）因果系統(tǒng)的定義是指n時(shí)刻的輸出只取決于信號(hào)輸入系統(tǒng)前的值，而與輸入時(shí)刻后的值無關(guān)。判別方法是當(dāng)n<0時(shí)，h(n)=0，則為因果系統(tǒng)。

（4）穩(wěn)定系統(tǒng)：若系統(tǒng)對(duì)任意的有界輸入均產(chǎn)生有界的輸出，則表明為穩(wěn)定系統(tǒng)。其判別方法為用疊加性原理求系統(tǒng)的穩(wěn)定輸出，使得單位抽樣響應(yīng)滿足絕對(duì)可和條件，即滿足公式

2 傳統(tǒng)解法與主推算法

由線性時(shí)不變系統(tǒng)的差分方程并不能直接推出此系統(tǒng)是線性的，一個(gè)常系數(shù)線性差分方程，只有當(dāng)邊界條件選的合適，才相當(dāng)于一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)。因此，邊界條件很重要。以下舉個(gè)通例：

常系數(shù)線性差分方程 ，當(dāng)邊界條件 時(shí)，求該系統(tǒng)是否滿足線性時(shí)不變和因果穩(wěn)定性。

2.1 傳統(tǒng)解法：遞推法驗(yàn)證

通過求解單位抽樣響應(yīng)來證明該系統(tǒng)的線性和時(shí)不變性，而求解單位抽樣響應(yīng)采用的方法為迭代法。單位抽樣響應(yīng)的輸入為單位抽樣信號(hào)，即 ，分別用單位抽樣信號(hào)的移位序列表示為輸入，即令

具體步驟如下：

令x3(n)=x1(n)+x2(n)=σ(n)+δ(n-1)，y3(-1)=0

因此，系統(tǒng)是線性系統(tǒng)，綜上所述系統(tǒng)為線性時(shí)不變系統(tǒng)。

2.2 主推做法

先對(duì)差分方程進(jìn)行z變換，再對(duì)系統(tǒng)的線性時(shí)不變等性質(zhì)進(jìn)行判定。（同時(shí)系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)與收斂域關(guān)系也可判定）

因，對(duì)于差分方程如果輸入是 這一特定情況，響應(yīng)就是單位抽樣響應(yīng)，所以這對(duì)于判定因果穩(wěn)定性很有必要。可令 。正如前面所說邊界條件很重要，即與初始條件有關(guān)，故我們研究的是零輸入解，而不是零狀態(tài)解，而在求零輸入解時(shí)，考慮到初始條件，用單邊Z變換。

【注：?jiǎn)芜呑儞Q定義：如果x(n)的存在范圍是0 ～+∞，則為，稱單邊z變換，特別的，單邊Z變換的時(shí)移性質(zhì)：

我們對(duì)應(yīng)的取 ，此處可將δ(n)看成特殊右邊序列，有

圖1

邊界條件為 ，因此

所以是因果系統(tǒng)

（3）：

x1(n)和x2(n)為移一位關(guān)系，且y1(n)和y2(n)也對(duì)應(yīng)移一位關(guān)系，因此系統(tǒng)為時(shí)不變系統(tǒng)。

（4）：

因此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。

同樣可以證明出這個(gè)方法對(duì)于不同初始條件y(-1)=-1等都適用，同時(shí)，也具有一般性，如常見題型y(n)-0.9y(n-1)=0.05u(n)，初始條件y(-1)=-1，有興趣的讀者，自己可以嘗試做做。

3 根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布及收斂域的關(guān)系

（1）線性非移變系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域包含單位圓。

（2）線性非移變系統(tǒng)穩(wěn)定的因果條件是系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域包含∞

（3）一個(gè)因果穩(wěn)定系統(tǒng)其系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)。

（4）一個(gè)因果穩(wěn)定系統(tǒng)其系統(tǒng)函數(shù)的收斂域一定從單位圓內(nèi)到無窮大處。

4 MATLAB驗(yàn)證解法正確性

常系數(shù)線性差分方程 ，當(dāng)a=0.9，邊界條件 ，時(shí)，代碼如下所示。

%%輸入序列xn，輸出序列yn，

a = 0.9 ;ys=0; %ys表示邊界條件y(-1)=0

xn = [1,zeros(1,30)]; %假定輸入序列xn

B=1;A=[1,-a]; %差分方程系數(shù)

xi=filtic(B,A,ys);%xi為濾波器傳遞函數(shù)的分子系數(shù)和分母系數(shù)。

yn=filter(B,A,xn,xi);%yn為濾波器輸出

n=0:length(yn)-1;

subplot(2,1,1);stem(n,yn,'.') %繪制輸出波形

title('輸出波形');xlabel('n');ylabel('y(n)');

subplot(2,1,2);zplane(B,A) %繪制零極點(diǎn)圖。如圖1所示。

5 總結(jié)

傳統(tǒng)解法與推薦解法的優(yōu)缺點(diǎn)對(duì)比，對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)的線性時(shí)不變性，因果穩(wěn)定性的判定尤為重要，對(duì)于常見類型的，可以直接根據(jù)定義法判別，用差分方程表示的，可根據(jù)以上兩種方法求解，后一種可能更便捷。