時(shí)滯基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的魯棒指數(shù)穩(wěn)定性分析

王艷艷，汪忠志

(安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽馬鞍山243032)

基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)是一種復(fù)雜多變的非線性動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，通常能呈現(xiàn)出復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，Jacob 等[1]和Monod等[2]提出的調(diào)控模型一般被視為最早的基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)模型。迄今為止，關(guān)于基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)研究取得了許多成果[3-10]。Li等[3]考慮生物現(xiàn)象中的時(shí)滯問(wèn)題，給出了時(shí)滯基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)模型，并給出判定此模型漸近穩(wěn)定性的判據(jù)。此外，在基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的處理過(guò)程中，有一些不能人為控制的不確定性因素，如系統(tǒng)參數(shù)的波動(dòng)、外部因素的干擾等，這些均會(huì)導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)的不穩(wěn)定性。一個(gè)穩(wěn)定的網(wǎng)絡(luò)應(yīng)具有魯棒性，魯棒穩(wěn)定性的研究更貼合實(shí)際網(wǎng)絡(luò)，Wang等[4]研究了帶有噪音擾動(dòng)項(xiàng)的基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的冪律魯棒穩(wěn)定性；賴強(qiáng)等[5]對(duì)于一類簡(jiǎn)單基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了理論和數(shù)值分析，給出了保證該網(wǎng)絡(luò)的雙穩(wěn)定性和分叉存在的條件；Ren等[6]給出判別不確定基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)模型的魯棒穩(wěn)定性的充分條件。本文首先以矩陣方程的形式建立基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)，在網(wǎng)絡(luò)系數(shù)不確定但范數(shù)有界的條件下，分析其魯棒指數(shù)穩(wěn)定性。

1 基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)模型的建立

文獻(xiàn)[11]提出了如下基因網(wǎng)絡(luò)：

其中：Mi(t)和Pj(t)分別為信使RNA(ribonucleic acid)和蛋白質(zhì)濃度隨時(shí)間變化的函數(shù)；ai和ci分別為信使RNA和蛋白質(zhì)的降解率；di是轉(zhuǎn)錄速度；ε(t)和τ(t)分別為翻譯時(shí)滯和反饋調(diào)節(jié)時(shí)滯；Gij為第i 個(gè)基因在轉(zhuǎn)錄過(guò)程中受到第j 個(gè)蛋白質(zhì)的反饋調(diào)節(jié)作用的函數(shù)，是一種單調(diào)的s 型函數(shù)，當(dāng)轉(zhuǎn)錄因子j 是激活因子時(shí)，該函數(shù)是遞增的，當(dāng)為抑制因子時(shí)，該函數(shù)遞減。而Hill函數(shù)恰有這種性質(zhì)。

其中：Hj為Hill系數(shù)；βj是正常數(shù)；bij也是常數(shù)，并且是有界的，表示轉(zhuǎn)錄因子j 對(duì)目標(biāo)基因i 轉(zhuǎn)錄過(guò)程中的最大轉(zhuǎn)錄速率。這樣網(wǎng)絡(luò)(1)就可以寫成：

其中：

考慮到參數(shù)不確定性的實(shí)際存在，本文研究網(wǎng)絡(luò)(5)。

在式(5)中τ(t)是有界的時(shí)間延遲，滿足0 ≤τ(t)≤τ，并且有：

初始條件如下：

其中：φi(s)，ψi(s)，是[-τ,0]有界且連續(xù)的函數(shù)；i=1,2,…,n。矩陣ΔA(t)，ΔC(t)，ΔD(t)，ΔW(t)有如下形式：

引理2[13]給定合適維數(shù)的矩陣Q=QT，H，E 對(duì)于所有滿足FTF ≤I 的矩陣F，有Q+HFE+ETFTHT＜0成立等價(jià)于存在一個(gè)常數(shù)ε ＞0 使得Q+εHHT+ε-1ETE ＜0 成立。

其中

2 魯棒指數(shù)穩(wěn)定性分析

上節(jié)已將網(wǎng)絡(luò)通過(guò)矩陣方程的形式構(gòu)建起來(lái)，本節(jié)將構(gòu)造合適的Lyapunov-Krasovskii 泛函，對(duì)延時(shí)基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)(5)，應(yīng)用矩陣不等式方法，得出保證其魯棒指數(shù)穩(wěn)定性的條件。

其中k=max{k1,k2,…,kn}，網(wǎng)絡(luò)(5)是全局魯棒指數(shù)穩(wěn)定的。

證明當(dāng)線性矩陣不等式(9)與(10)成立時(shí)，對(duì)充分小的常數(shù)α ＞0 有如下的矩陣不等式成立：

當(dāng)t ≥0 考慮式(13)的Lyapunov函數(shù)

由式(6)，有不等式(15)成立。

同理可得

從而可以得到

借助V((t-τ(t)),m(t-τ(t)),p(t-τ(t)))≤β(t)=V(t,m(t),p(t)，考慮到τ 與α 都是常數(shù)，得

借助引理2和Schur補(bǔ)引理(引理3)及不等式(11)～(12)，得

同理

繼續(xù)使用Schur補(bǔ)引理(引理3)，以上兩個(gè)不等式變形為：

得到DV(t,m(t),p(t))≤0，與假設(shè)矛盾，因此β(t)是非增的。

故?t ≥0，有β(t)=β(0)由β(t)的定義，得到：

根據(jù)式(13)又得

綜上可得

式(25)即表明了所考慮的基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)時(shí)指數(shù)穩(wěn)定的。

注1：定理所給的條件保證了所考慮網(wǎng)絡(luò)是按照指數(shù)速度收斂到平衡點(diǎn)的，收斂速度是由α 決定的，而α的取值范圍可由證明過(guò)程中的式(11)～(12)估計(jì)出。

3 算例仿真

在網(wǎng)絡(luò)中按照文獻(xiàn)[3]取值如下：

使式(9)～(10)成立。

信使RNA和蛋白質(zhì)濃度即Mi(t)和Pi(t)軌跡圖如圖1。

圖1 Mi(t)和Pi(t)的軌跡圖Fig.1 Trajector of Mi(t)and Pi(t)

由圖1知所考慮網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)與平衡點(diǎn)的差皆趨向于零，即網(wǎng)絡(luò)是全局魯棒指數(shù)穩(wěn)定的，而要找的兩個(gè)正定矩陣S1，S2也通過(guò)仿真給出了具體的數(shù)值，說(shuō)明兩個(gè)正定矩陣真實(shí)存在。

3 結(jié) 論

對(duì)有范數(shù)有界的不確定性因素的延時(shí)基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的魯棒指數(shù)穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行了理論研究和數(shù)值分析。在理論研究中，用矩陣方程表示研究的網(wǎng)絡(luò)，在此基礎(chǔ)上借助李雅普諾夫(Lyapunvo)函數(shù)、Schur 補(bǔ)引理、矩陣的相關(guān)結(jié)論和線性矩陣不等式方法,得出只要兩個(gè)分塊正定矩陣存在，網(wǎng)絡(luò)的魯棒指數(shù)穩(wěn)定性就可以得到保證。在數(shù)值分析式時(shí)，利用MATLAB LINERA MATRIX INEQUALITY工具箱，找到了具體的理論分析中需要的正定矩陣。現(xiàn)階段基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的各種動(dòng)力學(xué)行為引起了許多學(xué)者的關(guān)注，探索如何在白噪聲干擾下保證基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性是后續(xù)工作的方向。