低信噪比下LFM-BPSK復(fù)合調(diào)制信號(hào)參數(shù)估計(jì)

孫富禮, 蔣張濤, 沈 軍, 朱嘉穎

(上海無(wú)線電設(shè)備研究所,上海201109)

0 引言

在現(xiàn)代電子戰(zhàn)中,低截獲概率(Low Probability of Intercept,LPI)雷達(dá)由于采用了大時(shí)寬大帶寬的復(fù)雜調(diào)制信號(hào)以及進(jìn)行功率管理等一系列技術(shù)手段,有效提高了雷達(dá)的戰(zhàn)場(chǎng)生存能力,近年來(lái)得到了廣泛應(yīng)用。電子偵察接收機(jī)需要在沒(méi)有先驗(yàn)信息的復(fù)雜電磁環(huán)境中截獲敵方輻射源的信號(hào),并對(duì)其進(jìn)行特征分析、檢測(cè)識(shí)別及參數(shù)估計(jì),為后續(xù)的電子干擾和攻擊等對(duì)抗措施提供基礎(chǔ)。LFM-BPSK復(fù)合調(diào)制信號(hào)不僅具有LFM信號(hào)測(cè)距精度高和多普勒不敏感的特性,還具有BPSK信號(hào)多普勒分辨率及測(cè)速精度高的優(yōu)點(diǎn)。已經(jīng)廣泛應(yīng)用于多種雷達(dá)中[1]。因此,對(duì)LFMBPSK復(fù)合調(diào)制信號(hào)參數(shù)估計(jì)算法的研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

在已有的LFM-BPSK復(fù)合調(diào)制信號(hào)參數(shù)估計(jì)方法中,文獻(xiàn)[2]首先利用時(shí)頻曲線擬合法對(duì)LFM-BPSK信號(hào)進(jìn)行識(shí)別,然后利用離散多項(xiàng)式相位變換法和多尺度小波變換法基于信號(hào)重構(gòu)技術(shù)對(duì)LFM-BPSK復(fù)合調(diào)制信號(hào)進(jìn)行參數(shù)估計(jì);文獻(xiàn)[3]提出了基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換和ZAM分布聯(lián)合估計(jì)的參數(shù)估計(jì)算法,首先估計(jì)信號(hào)的起始頻率和調(diào)頻斜率,然后對(duì)解線調(diào)之后的信號(hào)提取ZAM分布在起始頻率截面的負(fù)峰值估計(jì)碼元寬度;文獻(xiàn)[4]提出了在高斯噪聲下偽碼一線性調(diào)頻復(fù)合信號(hào)參數(shù)估計(jì)的方法。文獻(xiàn)[5]則對(duì)復(fù)合信號(hào)參數(shù)估計(jì)理論的性能進(jìn)行了分析。但是這些方法都是在高信噪比下才能準(zhǔn)確估計(jì)出LFMBPSK復(fù)合信號(hào)的參數(shù)。本文首先對(duì)LFMBPSK復(fù)合調(diào)制信號(hào)進(jìn)行平方運(yùn)算去除相位編碼,將信號(hào)變換為L(zhǎng)FM信號(hào),為兼顧估計(jì)精度和信噪比門限,分段濾波后采用迭代插值分?jǐn)?shù)階傅里葉變換方法估計(jì)該LFM信號(hào)的起始頻率和調(diào)頻系數(shù)。在此基礎(chǔ)上重構(gòu)線性調(diào)頻信號(hào),并與復(fù)合信號(hào)共軛相乘得到基帶BPSK信號(hào),然后采用循環(huán)譜相關(guān)技術(shù)提取碼速率。該方法能夠有效提高低信噪比下信號(hào)參數(shù)估計(jì)的精確度和穩(wěn)定性。

1 信號(hào)模型

LFM-BPSK信號(hào)可以表示為

式中:q(t)=1;t∈[0,T0];f0為信號(hào)初始頻率;B為信號(hào)帶寬;k=B/T為調(diào)頻斜率;T=NT0為信號(hào)時(shí)寬;q(t)為矩形信號(hào);T0為碼元時(shí)寬;φ0為二元序列,取0或π。

為直觀地分析LFM-BPSK復(fù)合調(diào)制信號(hào)的特征,選取如下仿真參數(shù):采樣頻率為fs=200 MHz,初始頻率f0=5 MHz,碼元寬度為τc=0.5μs,碼元序列采用Barker碼:101001110。此復(fù)合調(diào)制信號(hào)的時(shí)域波形圖及頻譜圖如圖1所示。

圖1 LFM-BPSK復(fù)合調(diào)制信號(hào)的時(shí)域波形圖及頻譜圖

由LFM-BPSK復(fù)合調(diào)制雷達(dá)信號(hào)的時(shí)域波形圖和頻譜圖可以看到,其波形更加復(fù)雜,頻譜的分布與線性調(diào)頻信號(hào)類似但更加動(dòng)蕩。復(fù)合調(diào)制雷達(dá)信號(hào)是通過(guò)組合多種調(diào)制方式而形成的,能夠融合多種信號(hào)的優(yōu)點(diǎn),彌補(bǔ)其各自不足之處。與單一調(diào)制類型信號(hào)相比,復(fù)合調(diào)制信號(hào)能夠獲得更大的時(shí)寬帶寬積,具有更好的距離分辨率和速度分辨率,同時(shí)提升了低截獲性能,加大了敵方偵察接收機(jī)截獲和檢測(cè)識(shí)別的難度,對(duì)傳統(tǒng)雷達(dá)偵察接收機(jī)造成了嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。

2 參數(shù)估計(jì)

2.1 插值優(yōu)化FRFT原理

FRFT是一種廣義的傅立葉變換,其可以看作是信號(hào)在時(shí)頻平面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)一定角度后在分?jǐn)?shù)階域的投影[6]。

信號(hào)x(t)的FRFT定義式為

式中:p為FRFT的階數(shù);α=pπ/2表示旋轉(zhuǎn)角度;Fp[·]為 FRFT 的算子符號(hào),其核函數(shù)Kα(t,u)定義為

式中:Aα=為整數(shù)。

在實(shí)際應(yīng)用中,文獻(xiàn)[7]提出了一種分解型快速算法,該快速算法需要進(jìn)行量綱歸一化處理,將時(shí)域t轉(zhuǎn)換為無(wú)量綱的域t/λ,將頻域f轉(zhuǎn)換為無(wú)量綱的域fλ,其中λ=。

量綱歸一化使信號(hào)在時(shí)域和頻域具有相同的長(zhǎng)度L=。將式(2)改為如下形式:

式中:ts=t/λ,分解型離散FRFT可以表示為

式中:M(m,a)=Aα/2L·exp(j·πε1m2)/(2L)2,N(n,a)=exp(j·πε1n2)/(2L)2。 其中:對(duì)信號(hào)進(jìn)行了2倍內(nèi)插,因此需要對(duì)最后結(jié)果Xα(m/2L)進(jìn)行1/2倍抽取以得到離散采樣X(jué)α(m/L)。

由FRFT的定義可知,LFM信號(hào)將在分?jǐn)?shù)階域形成能量聚集譜,而高斯白噪聲的能量將均勻分布在整個(gè)分?jǐn)?shù)階域。因此,線性調(diào)頻信號(hào)的參數(shù)估計(jì)的基本思想是在(α,u)二維平面內(nèi)搜索線性調(diào)頻信號(hào)的能量聚集峰值點(diǎn),得到峰值坐標(biāo)(^α0,^u0),其中m為正整數(shù)。各參數(shù)估計(jì)結(jié)果為

式中:fs為采樣頻率;angle[·]為取幅角。

線性調(diào)頻信號(hào)的參數(shù)估計(jì)就是在離散化(α,u)二維平面上進(jìn)行峰值搜索。由于噪聲和離散(α,u)平面的分辨率造成了搜索到的峰值點(diǎn)與真實(shí)峰值點(diǎn)之間的偏差,稱搜索得到的峰值點(diǎn)為準(zhǔn)峰值點(diǎn)。

分?jǐn)?shù)階u域離散化造成的有限分辨率使得搜索得到的準(zhǔn)峰值點(diǎn)與真實(shí)峰值點(diǎn)的偏差較大,進(jìn)而影響到信號(hào)參數(shù)估計(jì)的精確度。而在α域可以通過(guò)設(shè)置更小的Δα來(lái)降低離散化處理帶來(lái)的偏差,但是計(jì)算量會(huì)大大增加。因此,可以考慮通過(guò)提高u域離散化處理后的分辨率,解決α域分辨率與運(yùn)算量之間的矛盾來(lái)提高參數(shù)估計(jì)的精度。

準(zhǔn)峰值點(diǎn)的FRFT為

準(zhǔn)峰值點(diǎn)在u域的取值為=uk=kΔl/N,由于u域離散化,真實(shí)峰值點(diǎn)u0的坐標(biāo)應(yīng)該在[(k-1)Δl/N,(k+1)Δl/N]內(nèi)?；谏鲜龇治?利用階分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的函數(shù)表達(dá)式對(duì)u進(jìn)行插值補(bǔ)償,以得到更精確的坐標(biāo)。

則有ψ1=ψ0+πcscα'0,ψ2=ψ0-πcscα'0。由之前分析知 (u0-uk)πΔl≤π/2。因此,ψ0∈[-π/2,0],ψ1∈ [π/2,π],ψ2∈ [-3π/2,-π]。根據(jù)上述求解得

綜上所述,插值補(bǔ)償后得到的更加精確的峰值點(diǎn)在u域的坐標(biāo)為

利用插值補(bǔ)償后的^u0進(jìn)行參數(shù)估計(jì),可以有效提高線性調(diào)頻信號(hào)的幅度、初始頻率和初始頻率的估計(jì)精度,由于離散化處理及環(huán)境噪聲的影響,對(duì)信號(hào)相位信息的估計(jì)偏差較大。在現(xiàn)代雷達(dá)中,雷達(dá)信號(hào)頻率較高,帶寬較大,通常我們只關(guān)注信號(hào)的初始頻率和調(diào)頻斜率信息。偏差分析可知,當(dāng)α的搜索步長(zhǎng)Δα縮小到10-4時(shí),由α域離散化造成的影響可忽略不計(jì),但是這樣會(huì)造成計(jì)算量的急劇增加,因此,可以考慮在適當(dāng)?shù)乃阉鞑介L(zhǎng)下,對(duì)旋轉(zhuǎn)角度α也進(jìn)行插值補(bǔ)償以降低峰值搜索準(zhǔn)峰值點(diǎn)與真實(shí)峰值點(diǎn)的偏差,提高信號(hào)參數(shù)估計(jì)的精確度。

理論上,若α域的分辨率Δα取值足夠小,那么搜索的準(zhǔn)峰值點(diǎn)坐標(biāo)就可以無(wú)限接近真實(shí)值,但是會(huì)產(chǎn)生巨大的運(yùn)算量。若保證線性調(diào)頻信號(hào)能夠在u域產(chǎn)生突出譜線的條件下,可以設(shè)置較大的搜索步長(zhǎng),對(duì)旋轉(zhuǎn)角度α也進(jìn)行插值補(bǔ)償?shù)姆椒?得到的α0的精確估計(jì)^α0,可以有效降低運(yùn)算量。

其 中:X1=,ρ'=1-0.005ρ,ρ″=0.015ρ2-2ρ。

因此,通過(guò)插值補(bǔ)償法可以由準(zhǔn)峰值點(diǎn)αγ和鄰近準(zhǔn)峰值點(diǎn)αγ±1得到峰值點(diǎn)α0的精確估計(jì)值。將其代入式(6)可得到精確估計(jì)的信號(hào)各參數(shù)。

2.2 循環(huán)譜相關(guān)

假設(shè)x(t)為循環(huán)平穩(wěn)信號(hào),則其相關(guān)函數(shù)可以表示為

則有

現(xiàn)實(shí)中,只能通過(guò)在一定的時(shí)間內(nèi)采集有限的數(shù)據(jù),通常用離散時(shí)域或頻域平滑周期圖法來(lái)計(jì)算信號(hào)的循環(huán)譜相關(guān)密度函數(shù)。由于雷達(dá)信號(hào)通常頻率較高,在時(shí)域進(jìn)行分析誤差較大,因此本文采用離散頻域平滑方法,其表達(dá)式為

式中:Δf=MFs為頻域平滑窗函數(shù);Fs=1/(NTs)是頻域采樣寬度;Ts是時(shí)域采樣寬度;aΔt為時(shí)間窗函數(shù);Δt=(N-1)/Ts是數(shù)據(jù)總長(zhǎng)度;N是Δt時(shí)間內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)。

BPSK信號(hào)可以表示為

式中:{an}為獨(dú)立同分布序列,等概率取1和-1。

因此BPSK信號(hào)的循環(huán)自相關(guān)函數(shù)為

式中:k為整數(shù);Q(f)為q(t)的傅里葉變換,BPSK信號(hào)s(t)的循環(huán)譜密度函數(shù)為

式中:Q(f)是BPSK信號(hào)q(t)的傅里葉變換;Td=1/fd為碼元時(shí)寬;fc為信號(hào)載波頻率;k為整數(shù),為便于進(jìn)行分析可令f=0,得出調(diào)制信號(hào)特征譜(0),可知其絕對(duì)值:

由式(26)可以看出,BPSK信號(hào)的載波頻率、碼速率和幅度決定了循環(huán)譜相關(guān)的絕對(duì)值。分析Q(f)可知,f=0時(shí)取最大值,f＞0和f＜0時(shí)逐漸減小。信號(hào)特征譜的模值在k=0,α=±2fc時(shí)取最大值,在k=0,α=±2fc+1/Td時(shí),取次大值。而且信號(hào)循環(huán)譜相關(guān)的對(duì)稱性,可以通過(guò)搜索在α＞0時(shí)特征譜的模值的峰值對(duì)應(yīng)的頻率來(lái)估計(jì)二相編碼信號(hào)的載波頻率,二相編碼信號(hào)的碼元速率的估計(jì)則可以根據(jù)峰值與相鄰的幅度次峰所對(duì)應(yīng)的頻差來(lái)實(shí)現(xiàn)。

2.3 參數(shù)估計(jì)步驟

為了提高LFM-BPSK復(fù)合調(diào)制信號(hào)參數(shù)估計(jì)算法的精度,需要先對(duì)信號(hào)進(jìn)行分段濾波,相位編碼信號(hào)對(duì)載波的相位進(jìn)行了調(diào)制,在載波相位的跳變位置,信號(hào)瞬時(shí)頻率會(huì)產(chǎn)生突變,如果直接對(duì)信號(hào)進(jìn)行分段濾波處理,可能會(huì)丟失信號(hào)的部分信息,需要對(duì)信號(hào)做預(yù)處理。

首先通過(guò)平方倍頻去除LFM-BPSK復(fù)合調(diào)制信號(hào)的相位編碼信息,轉(zhuǎn)化成帶有噪聲的線性調(diào)頻信號(hào),此時(shí),信號(hào)的初始頻率與調(diào)頻斜率為原信號(hào)的2倍。平方倍頻后的信號(hào)為

式中:N(t)=2A·exp[j·(2πf0t+πkt2)]·n(t)+n2(t)為L(zhǎng)FM-BPSK復(fù)合調(diào)制信號(hào)平方后的等效噪聲。

對(duì)原復(fù)合調(diào)制信號(hào)的平方處理導(dǎo)致輸出信噪比降低,將對(duì)信號(hào)參數(shù)估計(jì)的精度產(chǎn)生影響。為提高參數(shù)估計(jì)的精度,采用文獻(xiàn)[9]提出的改進(jìn)算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行分段濾波處理。然后采用優(yōu)化FRFT算法估計(jì)平方倍頻后的LFM信號(hào)的初始頻率和調(diào)頻斜率。具體步驟如下:

a)步驟1:對(duì)LFM-BPSK復(fù)合調(diào)制信號(hào)進(jìn)行平方處理,得到倍頻的LFM信號(hào);

b)步驟2:對(duì)倍頻后的LFM信號(hào)采用優(yōu)化的分段濾波算法進(jìn)行降噪處理;

c)步驟3:利用優(yōu)化FRFT算法依次進(jìn)行粗估計(jì)和精確估計(jì)得到初始頻率和調(diào)頻斜率的估計(jì)結(jié)果為2^f0、2^k;

d)步驟4:由于對(duì)原LFM-BPSK復(fù)合信號(hào)進(jìn)

假設(shè)信號(hào)初始頻率及調(diào)頻斜率具有較高的估計(jì)精度,則Δf→0,Δk→0,則sB(t)信號(hào)的表達(dá)式為

信號(hào)sB(t)為帶噪聲的BPSK信號(hào),因此可利用循環(huán)譜相關(guān)法估計(jì)信號(hào)碼速率Rb。具體流程如下:

a)步驟1:計(jì)算信號(hào)sB(t)的循環(huán)譜相關(guān)函數(shù)(f),得到|(f)|;

b)步驟2:在(α,f)二維平面上搜索α=0,特征譜模值|(f)|對(duì)應(yīng)的頻率fmax,則相位編碼信號(hào)的載波頻率的估計(jì)值為fc=fmax;

c)步驟3:由步驟2得到信號(hào)載頻fc,在頻率f=fc的平面上,在循環(huán)頻率α=0的附近求特征譜模值|(f)|的次峰值,其對(duì)應(yīng)的循環(huán)頻率分別為α1、α2,則信號(hào)的碼元速率的估計(jì)值為fd=(|α1|+|α2|)/2。行了平方倍頻處理,因此由步驟3的估計(jì)結(jié)果除以2便可得原信號(hào)的估計(jì)值初始頻率^f0和調(diào)頻斜率^k。

得到初始頻率^f0和調(diào)頻斜率^k的估計(jì)值后,對(duì)線性調(diào)頻信號(hào)進(jìn)行重構(gòu):

將重構(gòu)信號(hào)與LFM-BPSK復(fù)合調(diào)制信號(hào)共軛相乘,得到信號(hào)sB(n)為

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證上述參數(shù)估計(jì)算法的有效性,構(gòu)造LFM-BPSK復(fù)合調(diào)制信號(hào)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),設(shè)置信號(hào)參數(shù):初始頻率f0=30 Hz,調(diào)頻斜率k=200 Hz/s,相位調(diào)制碼元寬度為0.1μs,碼元個(gè)數(shù)為n=1 000,采樣頻率為fs=800 MHz。在信噪比為SNR=5 d B的條件下,分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的初始估計(jì)及精確估計(jì)的三維仿真圖及重構(gòu)的BPSK信號(hào)循環(huán)譜相關(guān)圖如圖2和圖3所示。

圖2 LFM信號(hào)的FRFT粗估計(jì)及精確估計(jì)三維圖

圖3 重構(gòu)的BPSK信號(hào)循環(huán)譜相關(guān)圖

圖4 不同算法參數(shù)估計(jì)的NRMSE曲線

圖5 不同信號(hào)參數(shù)估計(jì)的NRMSE曲線

在信噪比SNR=[-10 dB,10 dB]的區(qū)間內(nèi),每次間隔1 dB,進(jìn)行蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)200次,分別對(duì)本文算法和小波復(fù)合算法的參數(shù)估計(jì)性能進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn),仿真實(shí)驗(yàn)得到的不同信噪比條件下兩種方法對(duì)LFM-BPSK復(fù)合調(diào)制信號(hào)的參數(shù)估計(jì)的歸一化均方根誤差(NRMSE)如圖4所示。

由圖4所示的仿真結(jié)果可以看出,針對(duì)LFM-BPSK復(fù)合調(diào)制信號(hào)的參數(shù)估計(jì),在相同條件下對(duì)信號(hào)碼元速率的估計(jì)精度均低于信號(hào)調(diào)頻斜率以及初始頻率的估計(jì)精度。小波復(fù)合算法和本文采用的算法在信噪比較高時(shí),參數(shù)估計(jì)的效果都很好,但當(dāng)信噪比較低時(shí),本文算法對(duì)信號(hào)各參數(shù)估計(jì)精度要好于小波復(fù)合算法。整體而言,針對(duì)LFM-BPSK復(fù)合調(diào)制信號(hào)不同參數(shù)的估計(jì)精度,本文采用的算法的性能略優(yōu)。但是,由于優(yōu)化的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換進(jìn)行了插值補(bǔ)償?shù)膬?yōu)化,計(jì)算量比其他算法有所增加,采用在分?jǐn)?shù)階域先大步進(jìn)粗搜索再縮小范圍進(jìn)行小步進(jìn)精確搜索的方法,可以有效提高參數(shù)估計(jì)的效率。

為驗(yàn)證參數(shù)估計(jì)算法的有效性,重新構(gòu)造一個(gè)LFM-BPSK復(fù)合信號(hào)參數(shù):初始頻率f0=50 MHz,調(diào)頻斜率k=300 MHz/s,相位調(diào)制碼元寬度為0.1μs,采樣頻率為fs=800 MHz。對(duì)兩個(gè)信號(hào)在相同條件下進(jìn)行參數(shù)估計(jì)對(duì)比實(shí)驗(yàn),仿真結(jié)果如圖5所示?？梢钥闯?初始頻率和調(diào)頻斜率較大的信號(hào)2比信號(hào)1在信噪比較低時(shí)的參數(shù)估計(jì)誤差略高,且對(duì)碼速率的估計(jì)誤差要大于對(duì)初始頻率和調(diào)頻斜率的估計(jì)誤差,但兩個(gè)信號(hào)的參數(shù)估計(jì)整體效果接近,充分說(shuō)明本文采用的參數(shù)估計(jì)算法的穩(wěn)定性。

4 結(jié)論

本文針對(duì)LFM-BPSK復(fù)合調(diào)制信號(hào)的特點(diǎn)提出一種FRFT和循環(huán)譜相關(guān)聯(lián)合參數(shù)估計(jì)方法。對(duì)LFM-BPSK復(fù)合信號(hào)的起始頻率、調(diào)頻斜率和碼元速率進(jìn)行了估計(jì)。該方法具有較好的抗噪性和估計(jì)精度,在沒(méi)有任何先驗(yàn)知識(shí)的條件下即可在低信噪比下精確估計(jì)復(fù)合信號(hào)的參數(shù)。

通過(guò)對(duì)不同信號(hào)的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文方法具有良好的穩(wěn)定性。但是由于需要在分?jǐn)?shù)階域的二維平面進(jìn)行峰值搜索,所以運(yùn)算量較大。