高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合的解題技巧與方法

吳德發(fā)

【摘要】一直以來，數(shù)學(xué)都是高中課程中的重點(diǎn)學(xué)科，通過數(shù)學(xué)教學(xué)可以對(duì)高中生的邏輯思維以及抽象思維進(jìn)行培養(yǎng)，使其掌握數(shù)學(xué)思想與方法，這對(duì)學(xué)生未來的學(xué)習(xí)以及發(fā)展都十分重要.而在數(shù)學(xué)思想之中，數(shù)形結(jié)合屬于一種重要思想，更是高中生解題的重要法寶.本文旨在對(duì)數(shù)形結(jié)合這種解題技巧以及解題方法加以探究，希望能給廣大高中數(shù)學(xué)教師實(shí)際教學(xué)提供相應(yīng)參考.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;解題技巧

前言：在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合屬于一種重要的數(shù)學(xué)思想，高中生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)用到數(shù)形結(jié)合這種思想，其在高中階段的數(shù)學(xué)方法當(dāng)中占據(jù)重要地位.一般來說，數(shù)形結(jié)合是按照問題出現(xiàn)的根本原因，借助數(shù)字與圖形或者圖系方式對(duì)問題加以解析.因?yàn)閿?shù)形結(jié)合這種方法具有非常強(qiáng)的實(shí)用性，學(xué)生在解題時(shí)經(jīng)常用到數(shù)形結(jié)合，因此，數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)形結(jié)合這種解題技巧以及方法應(yīng)該加以重視.

一、一般方程中數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用

求f（x）-g（x）=0型方程的解的情況，可以化為函數(shù)y=f（x）與y=g（x）圖像的交點(diǎn)情況來討論，這樣一來可以將代數(shù)上看不清楚的問題化為幾何圖像問題.

例如，方程ln x=cos x解的個(gè)數(shù)為.

分析：如圖1所示，觀察題中等式兩邊的兩個(gè)函數(shù)y=ln x和y=cos x的圖像，由兩圖像只有1個(gè)交點(diǎn)，可得方程ln x=cos x解的個(gè)數(shù)為1.故填1.

二、不等式中數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用

例如，已知不等式16-x2+8x-x2>4，求該不等式的解集.

分析：可對(duì)原不等式16-x2+8x-x2>4加以變形，這樣就可以得到以下形式：16-x2>4-8x-x2，

變形之后獲得的不等式等價(jià)于原不等式，

之后令y1=16-x2，y2=4-8x-x2，可把上面兩個(gè)不等式實(shí)施二次變形，進(jìn)而可以得到等式：x2+y21=16（y1≥0），（x-4）2+（y2-4）2=16（y2≤4）.

通過觀察，能夠看出上述兩式全都為半圓.這樣一來，學(xué)生可在一個(gè)坐標(biāo)系中把相應(yīng)圖形畫出來，如圖2所示.

這樣便可十分直觀地得到兩個(gè)半圓之間的交集實(shí)際上就是所求不等式的解集，即x|0≤x≤4.

再如，假設(shè)變量x與y滿足下面的約束條件：x+2y-5≤0，x-y-2≤0，x≥0，則函數(shù)z=2x+3y+1的最大值是（? ）.

A.11??? B.10??? C.9??? D.8.5

分析：如圖3所示，根據(jù)題設(shè)條件可以畫出陰影部分這個(gè)可行域.

之后聯(lián)系圖形便可得到，函數(shù)z=2x+3y+1在直線x+2y-5=0和x-y-2=0的交點(diǎn)處可取得最大值.

根據(jù)x+2y-5=0，x-y-2=0可得x=3，y=1，因此交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）.此時(shí)z=2×3+3×1+1=10，因此答案為B.

三、解析幾何中數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用

例如，現(xiàn)已知曲線y=1+4-x2與直線y=k（x-2）+4存在相異的兩個(gè)交點(diǎn)，求k的取值范圍.

分析：把曲線y=1+4-x2加以適當(dāng)變形，這樣能得到x2+（y-1）2=4（1≤y≤3），由此能夠知道曲線y=1+4-x2是以定點(diǎn)A（0，1）為圓心，以2為半徑的圓，但是題設(shè)當(dāng)中隱含1≤y≤3這個(gè)條件，因此是上半圓.（如圖4所示）

而直線y=k（x-2）+4是過定點(diǎn)B（2，4）的，當(dāng)直線y=k（x-2）+4繞著點(diǎn)B按順時(shí)針方向進(jìn)行旋轉(zhuǎn)時(shí)，直線與圓相交的點(diǎn)保持在弧線MT（不包括T點(diǎn)）上即可滿足題設(shè)要求.

又交點(diǎn)M位于直線y=1上，因此可以得到M的坐標(biāo)為（-2，1）.

直線BM可以通過點(diǎn)斜式這個(gè)計(jì)算方法加以求解，kMB=34，而點(diǎn)T到點(diǎn)A的距離和圓的半徑是相等的，設(shè)直線BT的斜率為k，能夠列出等式|1+2k-4|1+k2=2，進(jìn)而解出k=512.因此，最后可得k512

四、復(fù)數(shù)問題中數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用

借助復(fù)平面上兩點(diǎn)間的距離公式和直線、圓、圓錐曲線等知識(shí)，再利用復(fù)數(shù)的意義求解問題，比單純利用代數(shù)計(jì)算優(yōu)越得多.

例如，如果復(fù)數(shù)z滿足z+i+z-i=2，那么|z+i+1|的最小值是（? ）.

A.1??? B.2??? C.2??? D.5

分析：如圖5所示，復(fù)平面內(nèi)滿足|z+i|+|z-i|=2的點(diǎn)的集合是線段AB，而|z+i+1|表示線段AB上的點(diǎn)到點(diǎn)P（-1，-1）的距離，

由圖知|z+i+1|的最小值是1，故選A.

五、最值問題中數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用

例如，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩個(gè)不同動(dòng)點(diǎn)A，B滿足AO⊥BO，如圖6所示.

（1）求△AOB的重心G（即三角形三條中線的交點(diǎn)）的軌跡方程.

（2）△AOB的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值;若不存在，請說明理由.

解：（1）設(shè)△AOB的重心G為（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），又O（0，0），

則x=（x1+x2）[]3，

y=（y1+y2）[]3， ①

∵OA⊥OB，設(shè)直線OA，OB的斜率分別為kOA，kOB，

∴kOAkOB=-1，

即x1x2+y1y2=0，②

又∵點(diǎn)A，B在拋物線上，有y1=x21，y2=x22，代入②化簡得x1x2=-1，

∴y[ZK（]=（y1+y2）3=13（x21+x22）=13[（x1+x2）2-2x1x2]=13×（3x）2+23=3x2+23，[ZK）]

所以，重心G的軌跡方程為y=3x2+23.

（2）S△AOB=12|OA||OB|=12（x21+y21）（x22+y22），

由（1）得S△AOB[ZK（]=12x21+x22+2≥122x21x22+2=122（-1）2+2=12×2=1.[ZK）]

當(dāng)且僅當(dāng)x21=x22，即|x1|=|x2|=1時(shí)，等式成立.

故△AOB的面積存在最小值，且最小值為1.

再如，如果實(shí)數(shù)x，y滿足等式（x-2）2+y2=3，求yx的最大值.

解析：上述問題直接采用代數(shù)的辦法不好解決，若將其與曲線問題結(jié)合來看，在幾何上看yx能夠達(dá)到清晰簡潔的效果，如圖7所示，在直角坐標(biāo)系中，（x-2）2+y2=3是以（2，0）為圓心，3為半徑的圓，yx=y-0x-0表示圓上任意一點(diǎn)P（x，y）與原點(diǎn)連線的斜率，當(dāng)OP與圓相切，∠POQ=60°時(shí)，yx取得最大值3.

結(jié) 語

綜上可知，近年來，伴隨課程改革逐漸深入，高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)變得越發(fā)復(fù)雜，更加重視培養(yǎng)高中生的發(fā)散思維以及創(chuàng)新思維.所以，數(shù)學(xué)課上，教師需引導(dǎo)高中生對(duì)數(shù)形結(jié)合這種思想加以巧妙運(yùn)用，以此來使數(shù)學(xué)問題的解決更加簡單靈活，并拓展高中生的解題思路，促使其解題能力和解題效率得到提高.

【參考文獻(xiàn)】

[1]吳金華.數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中的應(yīng)用分析[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（23）：35.

[2]文林.“數(shù)”“形”結(jié)合：中學(xué)數(shù)學(xué)作圖解題技巧應(yīng)用實(shí)踐[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（22）：119.

[3]陳文雅.高中數(shù)學(xué)課堂滲透“數(shù)學(xué)思想方法”的策略與途徑分析[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2018（18）：42-43.