建構(gòu)不等式突破橢圓、雙曲線離心率取值范圍問題

于周好

【摘要】歷屆高考數(shù)學(xué)試卷中，離心率問題都是考查的重點(diǎn)、熱點(diǎn)問題，在解決離心率問題過程中，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化思想，包括數(shù)學(xué)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算中全字母的運(yùn)算、平面幾何圖形的直觀想象等方面.

【關(guān)鍵詞】離心率定義;平面幾何圖形中的不等式關(guān)系、題目中的不等信息、題目中所給參數(shù)的目標(biāo)指向性

突破橢圓、雙曲線離心率取值范圍，關(guān)鍵在于如何找到不等式關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于a，b，c的不等式，從而得到關(guān)于離心率的不等式，進(jìn)而求其范圍.本文就解決本類問題常用的處理方法和技巧加以歸納總結(jié)：

一、橢圓、雙曲線的離心率是高中數(shù)學(xué)解析幾何章節(jié)中重要的內(nèi)容之一，是描繪幾何圖形的重要參數(shù)，其曲線的第二定義即采用曲線的離心率的方式定義的.每年的全國(guó)各地高考卷中均有涉及，是重點(diǎn)也是難點(diǎn).求離心率的問題中，如何求橢圓、雙曲線離心率的取值范圍？第一重要的方法是定義式：求出基本量a，c或者a，b，借助定義式橢圓e=ca=1-b2a2，雙曲線e=ca=1+b2a2;或者結(jié)合題目所給的條件列出關(guān)于a，b，c的不等式，結(jié)合橢圓中的關(guān)系式a2=b2+c2，雙曲線中的c2=a2+b2將不等式轉(zhuǎn)化為a，c或者是a，b的齊次式，不等式兩邊分別除以a的齊次方，解不等式即可得離心率的取值范圍.

采用直接定義法求橢圓、雙曲線的離心率，一般為基礎(chǔ)題型，要求學(xué)生對(duì)概念應(yīng)理解到位.

例1 （2019全國(guó)卷改編）若橢圓的方程為x2+3y2=n（n>0），則橢圓的離心率為.

解析 將橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)式x2+y213=n（n>0），得到a2=1，b2=13，直接使用公式及其變式e=ca=1-b2a2=1-13=63.

點(diǎn)評(píng) 此題比2019年全國(guó)理科一卷中的第16題稍有深度，在概念理解、公式運(yùn)用方面要靈活.

借助題目中的不等信息，發(fā)掘題目本身隱含的構(gòu)造不等式的條件，或者是題干中直接給出的不等關(guān)系，或者是圖形中的不等關(guān)系.解題分析時(shí)應(yīng)當(dāng)做出符合題意的示意圖，理清圓錐曲線的點(diǎn)（頂點(diǎn)、焦點(diǎn)）、線（漸近線）、軸（長(zhǎng)軸、短軸、實(shí)軸）、距（特殊點(diǎn)到特殊線的距離），列出它們之間的不等關(guān)系式.在解決問題過程中，也經(jīng)常直接使用橢圓和雙曲線中的常用結(jié)論.

例2 正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上x2a2+y2b2=1（a>b>0），若橢圓的焦點(diǎn)在正方形的內(nèi)部，則橢圓的離心率的取值范圍是.

解析 設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2m，∵橢圓的焦點(diǎn)在正方形的內(nèi)部，∴m>c，又∵正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓x2a2+y2b2=1上，∴m2a2+m2b2=1≥c2a2+c2b2=e2+e21-e2，∴e4-3e2+1≥0，e2≤3-52=（5-1）2[]4，

又∵0

點(diǎn)評(píng) 將題干中的語言文字“橢圓焦點(diǎn)在正方形內(nèi)部”“正方形的頂點(diǎn)在曲線上”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語言，列出不等式和方程m>c，兩者結(jié)合得到關(guān)于離心率e的不等式.注意橢圓離心率的范圍是（0，1）解得即可.難點(diǎn)在于學(xué)生不能設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，得到點(diǎn)的坐標(biāo)在橢圓上，列出m2a2+m2b2=1≥c2a2+c2b2.本題中即使不作圖，腦海中也應(yīng)該有示意圖.

例3 已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，在雙曲線上存在點(diǎn)P滿足2|PF1+PF2|≤|F1F2|，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是.

解析 因?yàn)镺P為△PF1F2的邊 F1F2的中線，可知 PO=12（PF1+PF2），雙曲線上存在點(diǎn)P滿足2|PF1+PF2|≤|F1F2|，則4|PO|≤2c，由|PO|≥a，可知4a≤2c，則e≥2.

點(diǎn)評(píng) 數(shù)形結(jié)合的思想貫穿高中數(shù)學(xué)始終，根據(jù)平面圖形的關(guān)系求解圓錐曲線的離心率取值范圍的問題也不例外.如此題中橢圓-a≤x0≤a，-b≤y0≤b，雙曲線半實(shí)軸長(zhǎng)中|x0|≥a，結(jié)合三角形中線所在向量的結(jié)論，同時(shí)初高中平面幾何知識(shí)的結(jié)論都可能涉及.把條件2|PF1+PF2|≤|F1F2|轉(zhuǎn)化為特殊線段PO與半實(shí)軸長(zhǎng)a的關(guān)系，從而得到e的不等式.

理解題目中所給參數(shù)的意義、目標(biāo)指向性，結(jié)合題設(shè)條件和圓錐曲線定義中的等式關(guān)系條件，建立參數(shù)為自變量，離心率為因變量表示的函數(shù)關(guān)系式，通過對(duì)此函數(shù)求值域，即得到曲線離心率的范圍.因?yàn)榇祟}中有關(guān)鍵詞“焦點(diǎn)”，學(xué)生在分析此題時(shí)很容易往橢圓定義方向思考.

例4 已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一點(diǎn)N關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為M，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，若NF⊥MF，設(shè)∠NMF=α，且α∈π12，π4，該橢圓離心率e的取值范圍是.

圖1解析 設(shè)左焦點(diǎn)為F1，連接NF1MF為矩形，∴NF1=2csin α，MF=2ccos α，∵NF=MF1由橢圓的定義知NF1+NF=2a即2csin α+2ccos α=2a，即ca=1sin α+cos α=12sinα+π4，

∵α∈π12，π4，∴62≤2sinα+π4≤2∴22≤ca≤63.

答案為22≤e≤63.

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵在于“焦點(diǎn)”聯(lián)想定義，把握橢圓的定義，動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和是2a，建立等式關(guān)系式，構(gòu)造離心率的表達(dá)式ca=1sin α+cos α，此題中是把解析幾何與三角函數(shù)知識(shí)結(jié)合，把離心率e表示為角α的函數(shù)，結(jié)合題目中所給角的范圍，利用所構(gòu)造的三角函數(shù)值域求解離心率的范圍.難點(diǎn)在于構(gòu)造定義式中的兩邊如何與題干中的角α建立聯(lián)系，屬于跨越知識(shí)板塊類的問題.

例5 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦點(diǎn)為F1，經(jīng)過原點(diǎn)的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，若∠MF1N≥120°，則橢圓的離心率的取值范圍為.

解析 如圖所示，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F2，連接MF1，MF2，NF1，NF2.

圖2顯然四邊形MF1NF2為平行四邊形，∴∠MF1N+∠F1NF2=180°，∠MF1N≥120°，∴∠F1NF2≤60°，由條件知，當(dāng)N在短軸端點(diǎn)B2時(shí)，∠F1B2F2最大，此時(shí)在直角三角形B2OF2中，∠OB2F2=30°，由圖形知OF2=c，OB2=b，∴B2F2=a，

∴e=ca=OF2B2F2=sin∠OB2F2=sin 30°=12，當(dāng)點(diǎn)N不在B2時(shí)，欲使得∠F1NF2≤60°仍成立，橢圓的短軸應(yīng)更高，即橢圓越圓，其離心率就越接近0，所以答案是0

點(diǎn)評(píng) 審題過程中畫出基本圖形，在此題中顯得尤為重要.在本題中解決問題的切入點(diǎn)是利用已知的角度關(guān)系建立不等式，結(jié)合橢圓圖形中的特殊位置（頂點(diǎn)）、特殊關(guān)系，取其特殊情況下的端點(diǎn)值，以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)觀察當(dāng)點(diǎn)N不在短軸的端點(diǎn)處時(shí)，離心率越小，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想.易錯(cuò)之處是把最終離心率的范圍判斷錯(cuò)誤，取成12

二、感 悟

通過以上題型的分析可知，橢圓、雙曲線的離心率與之聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)特別多，某一個(gè)看似簡(jiǎn)單的選擇、填空中求離心率問題，實(shí)際上可能是三四個(gè)知識(shí)點(diǎn)的融合，方法靈活多變，對(duì)于提高學(xué)生的思維能力和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力都有很大的幫助.學(xué)生在平時(shí)學(xué)習(xí)中，需要通過必要的練習(xí)進(jìn)行方法和思路的探尋，培養(yǎng)對(duì)題目中不等關(guān)系靈敏的感知和轉(zhuǎn)化能力.建構(gòu)不等式突破橢圓、雙曲線離心率取值范圍問題的方法還有三角形的三邊關(guān)系、直線與曲線位置關(guān)系中的二次方程判別式、點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系等建立不等式.