中考熱門壓軸題之二次函數(shù)角的轉(zhuǎn)化與化歸

孫宇

【摘要】二次函數(shù)是連接初中數(shù)學(xué)和高中數(shù)學(xué)的重要橋梁，同時涉及幾何與代數(shù)的相關(guān)知識.二次函數(shù)問題在初中階段基本以幾何為主，學(xué)生不僅要對基本的代數(shù)轉(zhuǎn)化熟練掌握，對幾何也要有全面的認知.在二次函數(shù)綜合題中，角的轉(zhuǎn)化與化歸是最重要的考點之一.這種題型是無錫中考壓軸題的熱門題型，也是重點題型，但是大部分學(xué)生不能熟練掌握.本文對二次函數(shù)中直角關(guān)系的轉(zhuǎn)化與化歸、倍角關(guān)系的轉(zhuǎn)化、角的和差關(guān)系分別進行討論與研究.

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù);轉(zhuǎn)化與化歸;直角關(guān)系;倍角關(guān)系;和差關(guān)系

一、直角關(guān)系的轉(zhuǎn)化與化歸

1.理解二次函數(shù)中的直角關(guān)系

直角關(guān)系是二次函數(shù)角的轉(zhuǎn)化問題中最基本的題型之一，也是中考中最經(jīng)典、考查最頻繁的考點之一.在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)表示與直角關(guān)系有著天然的聯(lián)系，最基本的解題方法是“K型”相似，這也是初中幾何問題的最重要解題方法之一.基本上，只要出現(xiàn)直角關(guān)系，解題思路就大概率是作坐標(biāo)軸的垂線或平行線，構(gòu)造“K型”相似，將問題轉(zhuǎn)化為對點坐標(biāo)的求解.另一種解題方法常用于直角關(guān)系存在性問題中——利用“直徑所對圓周角是直角”來進行解答.這種題型出現(xiàn)的概率比較小，但是學(xué)生要有一定的積累.

2.重點例題分析

例1 已知：如圖1所示，一次函數(shù)y=kx-1的圖像經(jīng)過點A（35，m）（m>0），與y軸交于點B，點C在線段AB上，且BC=2AC.過點C作x軸的垂線，垂足為點D，若AC=CD，

（1）求這個一次函數(shù)的表達式;

（2）已知一開口向下，以直線CD為對稱軸的拋物線經(jīng)過點A，它的頂點為P，若過點P且垂直于AP的直線與x軸的交點為Q-455，0，求這條拋物線的表達式.

理解分析 這道題是2018年無錫中考壓軸題.這一題的難度不是很大，題目設(shè)置比較常規(guī)，但是考查的內(nèi)容和解答方法很全面，而且考生需要自己作圖.在第（1）題中，過點B作BE⊥CD，過點A作AF⊥BE，AG⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，G，則∠BEC=∠BFA=90°.利用“K型”相似，即△BEC∽△BFA.將斜線段比BC=2AC轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的關(guān)系，可以得到BE=25，則點C坐標(biāo)為（25，25k-1），所以AG=5.同理易得△AGC∽△BEC，則CG=5k，而AC=CD=25k-1，在Rt△ACG中，利用勾股定理可得（25k-1）2=5+5k2，則k=255（負值舍去）.解這一問時需要注意及時將斜線段比進行轉(zhuǎn)化，利用“K型”相似直接將問題和點的坐標(biāo)聯(lián)系起來，這是無錫中考的必考點，基本上年年都出現(xiàn).

對于第（2）題，由第（1）題可得C（25，3），可設(shè)二次函數(shù)表達式為y=a（x-25）2+n（a<0）.畫出圖像（如圖2所示），由“K型”相似可得△PNA∽△QMP，則QMPN=PMNA，即n1455=5n-5，則n=7（負值舍去）.最后代入A（35，5），則a=-25.所以拋物線表達式為y=-25（x-25）2+7.回顧第（2）題的解答過程，可以發(fā)現(xiàn)，這就是一道很典型的利用“K型”相似求解的題目：已知直角，過直角頂點作坐標(biāo)軸垂線（或平行線），構(gòu)造“K型”相似，代入點的坐標(biāo)（線段長），最終得到正確的解.

3.綜合分析

二次函數(shù)中有關(guān)直角關(guān)系的題目最常用的也是最基本的解題方法就是“K型”相似，對于涉及“直角關(guān)系”存在性的問題，可利用圓周角與直徑的關(guān)系進行解答.在解答過程中，我們要對函數(shù)的表達式進行合理的變形（交點式、頂點式），使得計算更加簡單，有時可以達到消元的目的.在直角坐標(biāo)系中，線段的比值關(guān)系可由“K型”相似轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的關(guān)系，這是無錫中考必出的一個考點.若題設(shè)中的是含參數(shù)的二次函數(shù)表達式，則先寫出對稱軸，然后進行消元，利用線段比求出函數(shù)表達式與x軸的交點坐標(biāo)，將拋物線表達式寫成交點式.在解答這類綜合題的過程中，我們不僅要關(guān)注題設(shè)條件和解答方法，還要通過回顧與反思來理解題目的本質(zhì)結(jié)構(gòu).解題研究，尤其是中高考試題的分析研究，是一個非常廣闊又頗具吸引力的領(lǐng)域.

二、倍角關(guān)系的轉(zhuǎn)化與化歸

1.二次函數(shù)中倍角關(guān)系的理解

在江蘇近幾年的中考題中，倍角關(guān)系的轉(zhuǎn)化占有重要地位，成為2018年揚州卷、常州卷等中考壓軸題.其中倍角關(guān)系的轉(zhuǎn)化方法巧妙又靈活，我們經(jīng)常利用等腰三角形或二次函數(shù)的對稱性進行轉(zhuǎn)化，這一題型考查考生對幾何圖形的綜合理解與分析.

二次函數(shù)中的倍角關(guān)系題經(jīng)?？疾榈闹R點是二倍角的關(guān)系.遇到二倍角關(guān)系的相關(guān)題目時，我們常用的解題方法是：二次函數(shù)（等腰三角形）對稱性轉(zhuǎn)化;構(gòu)造等腰三角形，利用外角進行轉(zhuǎn)化;角平分線法.

那么三倍角的關(guān)系呢？如圖3所示，若∠ABC=3∠BAC，則該如何轉(zhuǎn)化？我們進行如下構(gòu)造：設(shè)∠ABC=3θ，將∠ABC三等分，則∠BAD=∠DBA=θ，∠BDC=∠DBC=∠ABF=2θ，∠BFC=∠ABC=3θ，從而得到兩組母子三角形相似：△ABF∽△BDF，△BFC∽△ABC.三倍角關(guān)系的處理更加需要技巧，這一點在試題中也有所體現(xiàn).

2.重點例題分析

例1 如圖4所示，二次函數(shù)y=-ax2+2ax+c（a>0）的圖像交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，過A的直線y=kx+2k（k≠0）與這個二次函數(shù)圖像交于另一點F，與其對稱軸交于點E，與y軸交于點D，且DE=EF.設(shè)二次函數(shù)圖像頂點為P，連接PF，PC，若∠CPF=2∠DAB，求此二次函數(shù)的表達式.

理解分析 這一題是2017年無錫中考模擬題.題設(shè)中出現(xiàn)了倍角的關(guān)系.首先寫出對稱軸——直線x=1，A點坐標(biāo)為（-2，0），B點坐標(biāo)（4，0），則拋物線表達式寫成交點式y(tǒng)=-a（x+2）（x-4），進行消元，則c=8a.由于DE=EF，則F（2，8a），與點C對稱，且k=2a，進一步得到P（1，9a），D（0，4a），利用二次函數(shù)的對稱關(guān)系，則∠CPF=2∠CPE=2∠DAB，所以tan∠CPE=1a=tan∠DAB=4a2，從而a=22.回顧這一題的求解過程，思路清晰明了，利用二次函數(shù)對稱關(guān)系將倍角轉(zhuǎn)化為等角關(guān)系，然后利用正切值（本質(zhì)上是坐標(biāo)三角形相似）求得結(jié)果.這一題也體現(xiàn)了消元的重要作用：方便理解點與點之間的關(guān)系（點C與點F的對稱關(guān)系）;簡化計算過程.

例2 如圖5，二次函數(shù)y=-13x2+bx+2的圖像與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，點A的坐標(biāo)為（-4，0）.連接AC，BC，判斷∠CAB與∠CBA的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

理解分析 這一題是2018年常州卷的壓軸題.連接相關(guān)線段，我們基本可以得到∠CBA=2∠CAB.根據(jù)這樣的關(guān)系，我們作點B關(guān)于y軸的對稱點B′，如圖所示.由題易得B（32，0），C（0，2），A（-4，0），則B′-32，0，則AB′=52=B′C，所以∠ACB′=∠CAB，利用外角關(guān)系則得到∠CB′B=2∠CAB，則∠CBA=2∠CAB.這一題的解答過程簡潔明了，有點讓人驚訝.實際上，這一題求證的倍角關(guān)系本質(zhì)上是通過構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形的外角來進行求解的.這種求解方法是倍角轉(zhuǎn)化問題中的重要解題方法之一，在很多相關(guān)題目中都可以使用.

3.綜合分析

二倍角關(guān)系的轉(zhuǎn)化方法總體而言有三種.第一種是通過二次函數(shù)對稱關(guān)系轉(zhuǎn)化為等角關(guān)系來進行求解，如例1.這種方法在2018年揚州卷的壓軸題中出現(xiàn)過，有興趣的讀者可以自行探究.第二種就是通過構(gòu)造等腰三角形外角關(guān)系進行轉(zhuǎn)化，再利用相似三角形（母子三角形相似）、勾股定理等方法求解.這兩種方法是解決二倍角關(guān)系的經(jīng)典方法，也是應(yīng)用廣泛的方法.第三種是利用角平分線進行二倍角關(guān)系的轉(zhuǎn)化.如例2，可以作∠CBA的角平分線交y軸于點E，證明∠OBE=∠CAB.這種解答方法也是特別好用的，讀者可以自行解答.當(dāng)然二倍角的關(guān)系還包括一種關(guān)系——同弧所對圓心角是圓周角的二倍.這一考點在二次函數(shù)中很少涉及.有一道題經(jīng)典題可以利用這一知識點解答，讀者可自行探究，題目如下：

【變式】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=mx2-4mx+n（m>0）與x軸交于A，B兩點（點A在原點左側(cè)），與y軸交于點C，且OB=2OA，連接AC，BC.

（1）若△ABC是直角三角形，求n的值;

（2）將線段AC繞點A旋轉(zhuǎn)60°得到線段AC′，若點C′在拋物線的對稱軸上，請求出此時拋物線的函數(shù)表達式.

三、角的和差關(guān)系的轉(zhuǎn)化與化歸

1.二次函數(shù)中角的和差關(guān)系的理解

對于角的和差關(guān)系，正常情況下我們都是利用三角形的外角來進行轉(zhuǎn)化來得到母子三角形相似的（注意其與坐標(biāo)三角形之間的緊密聯(lián)系）.還有一類題目需要將所求轉(zhuǎn)化為特殊角（45°）或等角關(guān)系，再根據(jù)等角關(guān)系進行求解（正切值、相似三角形等）.

2.重點例題分析

例1 如圖6，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點，O為坐標(biāo)原點.設(shè)點P在y軸上，且滿足∠OPA+∠OCA=∠CBA，求CP的長.

理解分析 這一題是2017年無錫模擬試題，典型的角的和差關(guān)系轉(zhuǎn)化.根據(jù)題設(shè)條件，易得∠CBA=45°.當(dāng)點P在x軸上方時，發(fā)現(xiàn)并不能將角的和差關(guān)系進行相應(yīng)轉(zhuǎn)化，但當(dāng)點P在x軸下方時，延長CA，發(fā)現(xiàn)有外角關(guān)系存在.如圖6，過點P作PD垂直于CA延長線，垂足為D，則∠OPA+∠OCA=∠CBA=∠DAP=45°，則△DAP為等腰直角三角形，可以構(gòu)造“K型”全等.直線AC：y=3x+3，設(shè)P（0，t），D（m，3m+3），則-m=-（3m+3）3m+3-t=-1-m，解得m=-32，t=-2.所以P（0，-2），則CP=5;由對稱性可得當(dāng)P在x軸上方時，P（0，2），則CP=1.這一題也可以利用相似三角形求得結(jié)果，即△CAO∽△CPD，讀者可自行解答.總結(jié)反思這一題，我們需要對題設(shè)條件有充分的認識，明確∠CBA=45°，將角的和差關(guān)系與三角形外角聯(lián)系起來，這樣求解起來就比較簡單.如果糾結(jié)點P位于x軸上方對應(yīng)的關(guān)系，那么會讓自己走進死胡同出不來，要利用對稱關(guān)系重新尋求突破口.

3.綜合分析

角的和差關(guān)系在二次函數(shù)中考查的頻率不是很高，一般的解答方法就是利用三角形外角進行轉(zhuǎn)化，得到母子三角形相似，從而進行相應(yīng)的求解.題目難度加大后，會出現(xiàn)其與等角的轉(zhuǎn)化，此時要特別注意其與坐標(biāo)三角形內(nèi)角的正切值和45°這一特殊角之間的聯(lián)系.總而言之，在解答過程中，學(xué)生要始終保持冷靜，要運用數(shù)學(xué)思想方法，不能過于關(guān)注“述”而輕視“法”、忽略“道”，要善于總結(jié)與反思，透過現(xiàn)象看清本質(zhì).

【參考文獻】

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