數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用與實(shí)踐

■濟(jì)南市萊蕪區(qū)汶源學(xué)校 朱振利

當(dāng)前，在素質(zhì)教育改革的背景下，課堂教學(xué)愈來愈關(guān)注學(xué)生學(xué)科的思維品質(zhì)和綜合素養(yǎng)，新課程標(biāo)準(zhǔn)也對(duì)學(xué)生發(fā)展提出了一系列新的要求，因此，只看重分?jǐn)?shù)的時(shí)代已經(jīng)結(jié)束，傳統(tǒng)的教學(xué)模式顯然已不能夠滿足學(xué)生的發(fā)展需要。教師需要及時(shí)轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，將數(shù)字與圖形巧妙地結(jié)合到一起，幫助學(xué)生克服理解障礙，并引發(fā)其學(xué)習(xí)興趣，并在這過程中增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，實(shí)現(xiàn)學(xué)生綜合素養(yǎng)的提升。

一、數(shù)形結(jié)合思想在幾何圖形中的應(yīng)用

幾何圖形是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要內(nèi)容，與小學(xué)數(shù)學(xué)相比，初中幾何的知識(shí)難度和深度都有所提升，尤其在計(jì)算方面，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算技能提出了更高的要求。從當(dāng)前教學(xué)現(xiàn)狀來看，求解幾何圖形某一邊的長(zhǎng)度或周長(zhǎng)面積是常見的題型，也是學(xué)生出錯(cuò)最多的地方?；诖?，教師在幾何教學(xué)中不僅要培養(yǎng)學(xué)生基本的抽象理解與看圖、識(shí)圖能力，還需要與代數(shù)運(yùn)算相結(jié)合，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，引導(dǎo)學(xué)生將看圖與讀數(shù)、取數(shù)、代數(shù)求解相結(jié)合，利用數(shù)量關(guān)系去研究幾何圖形的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)，以此實(shí)現(xiàn)“以數(shù)助形”，或根據(jù)幾何圖形去解析數(shù)量關(guān)系，實(shí)現(xiàn)“以形助數(shù)”，促進(jìn)學(xué)生空間幾何思維的發(fā)展。

例如，在教學(xué)“30°、45°、60°角的三角函數(shù)值”這一課時(shí)，教師可以通過多媒體為學(xué)生展示不同角度大小的三角形圖片，并提問學(xué)生“這些三角形為什么形狀不同呢？”學(xué)生進(jìn)行積極的討論與思考，有的回答是因?yàn)槿龡l邊的長(zhǎng)度和位置發(fā)生了變化，也有的回答是因?yàn)楦鱾€(gè)角度發(fā)生了變化。總之，學(xué)生對(duì)導(dǎo)致三角形幾何形狀發(fā)生變化的數(shù)據(jù)產(chǎn)生了好奇，緊接著，教師可以利用學(xué)生的好奇心，合理滲透數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生用自己的支持和量角器測(cè)量這些三角形的邊長(zhǎng)與角度，并進(jìn)行對(duì)比，通過分析具體的幾組數(shù)據(jù)去掌握三角形變化的原因。最后，學(xué)生通過實(shí)踐得出了三個(gè)角角度不同是導(dǎo)致三角形形狀變化的主要原因。教師隨后列舉出30°、45°、60°的直角三角形，讓學(xué)生自己測(cè)量各邊長(zhǎng)代入三角函數(shù)值的公式當(dāng)中進(jìn)行計(jì)算，并設(shè)置基于三角函數(shù)值，看數(shù)據(jù)求角度、看角度求邊長(zhǎng)的計(jì)算題，讓學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想去解決問題。

二、數(shù)形結(jié)合思想在求解方程中的應(yīng)用

方程一直是數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，與小學(xué)相比，初中數(shù)學(xué)方程的形式更加多變，且與圖像結(jié)合共同出現(xiàn)的概率較高。尤其是二元一次方程，面對(duì)單一抽象的字母、數(shù)字與符號(hào)組成的式子，學(xué)生理解起來有一定的難度，且形式過于單調(diào)，難以調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣。因此，教師在教學(xué)方程時(shí)可以滲透數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生聯(lián)系具體圖像解方程式，以此化抽象為具體，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，這樣既能夠幫助學(xué)生建立自信心，又能大大提升方程教學(xué)效率。

三、數(shù)形結(jié)合思想在解不等式中的應(yīng)用

不等式求解是不少學(xué)生的“頭疼之處”，因?yàn)槠洳粌H涉及方程與函數(shù)的知識(shí)，還考查學(xué)生的做題細(xì)心程度，如不等號(hào)兩邊同時(shí)乘以或除以負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)要發(fā)生變化，一個(gè)數(shù)由不等號(hào)的一邊換到另一邊時(shí)，要變?yōu)樵瓉淼呢?fù)數(shù)等，而這些是學(xué)生在日常解題中常出錯(cuò)的地方。教師在實(shí)際教學(xué)中可以引入數(shù)軸，讓學(xué)生在數(shù)形結(jié)合的思想下通過分析數(shù)軸上的點(diǎn)和點(diǎn)所代表的數(shù)值去理解不等式的概念與意義，以此更加直觀、形象地求出解集部分。

以題目“求出x2-4≤0與x＞-1、x＜2這三個(gè)不等式的解集”為例，若只是單純地觀察這幾個(gè)不等式，學(xué)生難以快速、準(zhǔn)確地說出最后的答案，并容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，因此，教師可引出數(shù)軸，讓學(xué)生首先求出第一個(gè)不等式x的范圍，即-2≤x≤2，將其標(biāo)注在數(shù)軸上，并用實(shí)心表示等于號(hào)。緊接著，繼續(xù)將另外兩個(gè)不等式代表的x范圍標(biāo)注在數(shù)軸上，并用空心點(diǎn)標(biāo)注出大于與小于的邊界。最后，在學(xué)生全部畫完之后，教師帶領(lǐng)學(xué)生觀察數(shù)軸，發(fā)現(xiàn)共同部分是“-1＜x＜2”，在數(shù)形結(jié)合的思想下，學(xué)生利用數(shù)軸將抽象的不等式化為形象直觀的圖像，明顯提升了解題速度，并保證了答案的準(zhǔn)確性。

四、數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)問題中的應(yīng)用

初中數(shù)學(xué)在教學(xué)函數(shù)時(shí)，圖像是重點(diǎn)內(nèi)容之一，因此，教學(xué)函數(shù)問題是教師滲透數(shù)形結(jié)合思想的主要途徑之一。在初中階段，函數(shù)主要由一元一次函數(shù)、一元二次函數(shù)和反比例函數(shù)，并且以求解x的解的情況和范圍為基本的考察方式，教師一方面可以通過借助圖像幫助學(xué)生對(duì)比這幾類主要函數(shù)，以掌握基本的函數(shù)變化規(guī)律，另一方面可以借助畫圖像觀察x解的情況，以此作為函數(shù)問題的檢驗(yàn)方式。

如題：一靠墻矩形花壇，設(shè)寬為x米，靠墻的一邊為長(zhǎng)，籬笆共計(jì)40米，基于學(xué)校的要求，籬笆的寬度只能在4米和7米之間，設(shè)面積為y，求y的最值。通過分析這一題目，學(xué)生首先寫出函數(shù)表達(dá)式：y=x·（40-2x），其中x的范圍為（4，7），教師帶領(lǐng)學(xué)生畫出函數(shù)的圖像，并取x取值區(qū)間的臨界值，通過觀察取到的一段圖像，學(xué)生能夠快速找到最大值，從而確定y取最值對(duì)應(yīng)的x數(shù)值。通過這樣，在數(shù)形結(jié)合思想的指導(dǎo)下，學(xué)生成功解決了函數(shù)的最值問題，并借助圖像直觀地了解到y(tǒng)與x之間的變化關(guān)系，這對(duì)其加深概念理解也有一定的幫助。

五、結(jié)語

綜上所述，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)能夠?yàn)槠淙蘸蟮纳钊雽W(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，并促進(jìn)核心素養(yǎng)的形成。在實(shí)際教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)學(xué)科中的應(yīng)用十分普遍，且對(duì)學(xué)生理解知識(shí)概念、構(gòu)建知識(shí)體系發(fā)揮著重要的作用。教師在教學(xué)當(dāng)中，要從多方面挖掘數(shù)形結(jié)合的作用，在問題分析與解決過程中增強(qiáng)學(xué)生的邏輯思維能力，提升其數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)，提高初中數(shù)學(xué)整體教學(xué)質(zhì)量。