信息加工理論下數(shù)列極限概念的認(rèn)知心理與教學(xué)策略

閆婷婷，漢景林

數(shù)列極限概念是微積分中最具挑戰(zhàn)性的概念之一，怎樣理解“無(wú)限趨近”？形式化定義中“對(duì)任意給定的”“總存在一個(gè)”“當(dāng)……時(shí)”“必有……成立”的每一句是什么含義？為什么他們能夠表述“無(wú)限趨近”的過程？怎樣用形式化定義證明數(shù)列極限？這一系列問題往往使初學(xué)者迷惑不解.筆者試圖從信息加工理論的視角重新審視數(shù)列極限定義的傳統(tǒng)教法，分析學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知困難的心理因素，探索應(yīng)對(duì)認(rèn)知困難的教學(xué)策略.

1 信息加工理論概述

信息加工理論是現(xiàn)代教育重要的理論之一，該理論認(rèn)為：學(xué)習(xí)是新知識(shí)信息在頭腦中一系列加工處理的過程，包括信息輸入、登記、編碼、儲(chǔ)存等環(huán)節(jié).

信息加工的流程是：學(xué)生從教學(xué)環(huán)境接受教學(xué)內(nèi)容的刺激，刺激經(jīng)過感受器（視覺、聽覺、觸覺）轉(zhuǎn)變?yōu)樯窠?jīng)信息，以完整的映象形式進(jìn)入感覺登記器進(jìn)行登記.有些信息被登記了，有些信息消逝了，是否被登記主要依據(jù)學(xué)生個(gè)體的執(zhí)行控制（認(rèn)知策略）和期望（學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)），通過選擇性知覺引起注意的被登記了，其余的消逝了.

被登記的信息很快進(jìn)入短時(shí)記憶，短時(shí)記憶又稱工作記憶，是信息進(jìn)行加工處理的場(chǎng)所.學(xué)生從長(zhǎng)時(shí)記憶的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中提取與新信息相關(guān)聯(lián)的知識(shí)對(duì)新信息進(jìn)行“同化”或“順應(yīng)”，“同化”或“順應(yīng)”的過程稱為編碼.“同化”是指處理信息時(shí)，利用頭腦中固有圖式對(duì)新知識(shí)進(jìn)行取舍改造的過程；“順應(yīng)”是在沒有現(xiàn)成的圖式可以直接利用時(shí)，需設(shè)法調(diào)整或改變已有圖式或設(shè)立新圖式使之能夠接納新信息.

被編碼的信息有兩種流向.一種是具有習(xí)得性質(zhì)的信息被編碼后進(jìn)入長(zhǎng)時(shí)記憶，建構(gòu)成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)并儲(chǔ)存其中，從而學(xué)生的認(rèn)知得以擴(kuò)充與增長(zhǎng)；另一種具有應(yīng)用性質(zhì)的信息被編碼后流向反應(yīng)發(fā)生器，反應(yīng)發(fā)生器具有信息轉(zhuǎn)換或動(dòng)作的功能，從反應(yīng)發(fā)生器傳出的神經(jīng)傳導(dǎo)信息使效應(yīng)器（肌肉）活動(dòng)起來(lái)，產(chǎn)生一個(gè)影響學(xué)生環(huán)境的操作行為，讓外部觀察者知道學(xué)生已學(xué)到了什么.

“執(zhí)行控制”和“期望”是信息加工模型中的重要結(jié)構(gòu).執(zhí)行控制是已有經(jīng)驗(yàn)對(duì)現(xiàn)在學(xué)習(xí)過程的影響，決定哪些信息從感覺登記器進(jìn)入短時(shí)記憶，對(duì)信息如何編碼，信息加工時(shí)采取何種提取策略；期望是個(gè)體動(dòng)機(jī)系統(tǒng)對(duì)學(xué)習(xí)過程的影響，它決定個(gè)體的學(xué)習(xí)目標(biāo)和學(xué)習(xí)效果.個(gè)體的整個(gè)學(xué)習(xí)過程都是在這兩個(gè)結(jié)構(gòu)作用下進(jìn)行的［1-3］.

2 數(shù)列極限定義的教學(xué)過程與認(rèn)知心理分析

（1）教學(xué)過程1：引入概念.

教學(xué)事件：講述劉徽割圓求面積的故事，引入極限思想并給出數(shù)列極限的描述性定義（引起注意，激發(fā)動(dòng)機(jī)）.提出問題：如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫極限概念（告知學(xué)習(xí)目標(biāo)）.

認(rèn)知心理：數(shù)列極限概念的圖形表征通過視覺和聽覺進(jìn)入感覺登記器，是否被登記依賴于學(xué)生個(gè)體對(duì)故事的興趣以及所提問題的警覺程度，如果被注意則產(chǎn)生以定義為目標(biāo)的學(xué)習(xí)沖動(dòng)，數(shù)列極限概念以視覺形式進(jìn)入短時(shí)間記憶等待編碼.

（2）教學(xué)過程2：講授概念.

③利用a是數(shù)列xn極限的幾何意義進(jìn)一步解釋說(shuō)明“ε-N”定義（聯(lián)想）.

認(rèn)知心理：①學(xué)生經(jīng)教師引導(dǎo)將刺激特征“n無(wú)限增大時(shí)，xn無(wú)限趨近于常數(shù)1”從其他刺激分離出來(lái)引起關(guān)注.

②經(jīng)過對(duì)ε一系列賦值，在學(xué)生心理促成用表示xn與a的接近程度，以及用“n＞N”表示接近所需時(shí)刻的觀念，但能否促成以及能否接納“任取”“存在”“總有”等語(yǔ)句取決于學(xué)生個(gè)體認(rèn)知策略中“用瞬時(shí)靜態(tài)描述連續(xù)動(dòng)態(tài)”的編碼能力.

接納定義者，定義以語(yǔ)義記憶的形式進(jìn)入長(zhǎng)時(shí)記憶；未接納定義者，定義停留在短時(shí)記憶，如果不繼續(xù)編碼會(huì)很快消失.

③定義的數(shù)軸表征進(jìn)入個(gè)體的短時(shí)記憶，已經(jīng)接納定義者，經(jīng)過定義的數(shù)軸表征與符號(hào)表征之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)換的心理活動(dòng)，使定義圖式得以鞏固和加強(qiáng)，之后又回到長(zhǎng)時(shí)記憶中；先前未接納定義者，可以從定義的數(shù)軸圖形表征重新認(rèn)知定義的語(yǔ)義，但能否重新認(rèn)知取決于個(gè)體認(rèn)知策略中的“聯(lián)想策略能力”.重新認(rèn)知者，定義進(jìn)入其長(zhǎng)時(shí)記憶成為定義接納著，未能重新認(rèn)知者，定義仍停留于短時(shí)記憶，如果未能繼續(xù)編碼會(huì)很快消失.

（3）教學(xué)過程3：應(yīng)用示范.

教學(xué)事件：選擇若干典型例子示范用“ε-N”定義證明數(shù)列極限（增強(qiáng)保持）.

①介紹證明程序：從|xn-a|出發(fā)不斷放大不等式，即用導(dǎo)出N.

認(rèn)知心理：已接納定義者，習(xí)題信息進(jìn)入短時(shí)記憶，隨著教師演示提供的線索，學(xué)生從長(zhǎng)時(shí)記憶中搜索提取定義、不等式、方法等圖式“同化”證明程序及限定放大法，擴(kuò)充成新的定義圖式，再以語(yǔ)義記憶和程序記憶相結(jié)合的形式回到長(zhǎng)時(shí)間記憶中.

未接納定義者，如有學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)，習(xí)題信息會(huì)進(jìn)入到短時(shí)記憶，并跟隨教師進(jìn)行編碼，再由逆向遷移的作用，會(huì)對(duì)定義重新認(rèn)知并接納，重新認(rèn)知的定義及證明程序與方法，以程序記憶的形式進(jìn)入長(zhǎng)時(shí)記憶；如未有學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，習(xí)題信息停留在感覺登記器并瞬間消逝.

（4）教學(xué)過程4：作業(yè).

教學(xué)事件：布置習(xí)題若干，學(xué)生自主解答（引起行動(dòng)）.

認(rèn)知心理：作業(yè)是學(xué)生自主進(jìn)行信息加工的過程.習(xí)題信息進(jìn)入定義接納者的短時(shí)記憶，依據(jù)習(xí)題線索，學(xué)生自主從長(zhǎng)時(shí)記憶提取“證明程序”，搜索有關(guān)知識(shí)給予解答.能否順利解答，取決于個(gè)體認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的方法與技巧圖式的穩(wěn)定性與清晰程度，以及期望中的學(xué)習(xí)態(tài)度.掌握方法技巧者習(xí)題順利解答；未掌握方法技巧者如有堅(jiān)定的學(xué)習(xí)信念和頑強(qiáng)的毅力，則會(huì)努力探究解題方法與技巧，最終得以完成.完成后產(chǎn)生愉悅感又促進(jìn)繼續(xù)探究的欲望.

未接納定義者，習(xí)題信息停留在感覺登記器不能進(jìn)行登記，習(xí)題信息瞬間消逝.

（5）教學(xué)過程5：反饋.

教學(xué)事件：公布習(xí)題正確答案，糾正各種錯(cuò)誤（評(píng)價(jià)行動(dòng)）.

認(rèn)知心理：正確答案及被糾正的錯(cuò)誤信息進(jìn)入短時(shí)記憶，經(jīng)過與長(zhǎng)時(shí)記憶中的定義、證明程序、原有知識(shí)的相互作用，使對(duì)定義的認(rèn)知得以修正、擴(kuò)充和加強(qiáng).強(qiáng)化后的定義圖式又回到長(zhǎng)時(shí)記憶并融入認(rèn)知結(jié)構(gòu)中.同時(shí)，正確解答者會(huì)激活成就感，增加自信，產(chǎn)生再學(xué)習(xí)的心理沖動(dòng).

3 認(rèn)知困難產(chǎn)生的心理因素與教學(xué)策略

從教學(xué)過程中學(xué)生的認(rèn)知心理可以看出：數(shù)列極限蘊(yùn)含“運(yùn)動(dòng)和無(wú)限趨近”的思想，學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中沒有“同化”這一思想的固有觀念，只能用“順應(yīng)”的方法去接受“.同化”產(chǎn)生理解很容易被接納，而“順應(yīng)”必須改變或重建認(rèn)知結(jié)構(gòu)以順應(yīng)新知識(shí)，這是產(chǎn)生認(rèn)知困難的根本原因，具體表現(xiàn)為：

（1）在概念認(rèn)知方面：什么是“無(wú)限趨近”？它們的含義是什么？學(xué)生原有的靜態(tài)的初等數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)沒有“同化”它的基本觀念.教學(xué)過程中，劉徽割圓術(shù)的簡(jiǎn)單呈現(xiàn)并不能充分展示“無(wú)限趨近”的思想.

（2）在定義內(nèi)涵方面：數(shù)列極限形式化定義實(shí)際上是一個(gè)命題，并且是具有充分必要性的命題：對(duì)任意給定的ε＞0 ，總存在一個(gè)自然數(shù)N，當(dāng)n＞N時(shí)，必有|an-a|＜ε成立（簡(jiǎn)稱四段語(yǔ)句）四段語(yǔ)句使用瞬時(shí)靜態(tài)描述連續(xù)動(dòng)態(tài)“無(wú)限趨近”的過程，相互關(guān)聯(lián)的四段語(yǔ)句無(wú)論作為條件還是結(jié)論，在初等數(shù)學(xué)中從未出現(xiàn)過.同時(shí)，“ε”和“N”的意義是什么？它們之間有何相關(guān)性？這些是學(xué)生無(wú)法用初等數(shù)學(xué)的觀念去“同化”的.

（3）在解題程序方面：證明數(shù)列極限時(shí)常用“限定放大法”放大不等式，“限定放大法”所需的數(shù)學(xué)技巧往往使學(xué)生困惑.

針對(duì)以上3 個(gè)認(rèn)知困難，建議采用如下教學(xué)策略.

（1）策略1：動(dòng)態(tài)表征策略.

實(shí)際上，產(chǎn)生認(rèn)知困難（1）和（2）的原因是新舊知識(shí)在思維上出現(xiàn)了“跳躍式間斷”，我們的策略是用一個(gè)“先行組織者”把它們聯(lián)結(jié)上［4］.因?yàn)椤伴g斷”是由“無(wú)限趨近”造成的，我們就利用CAI（Computer Assited Instraction）技術(shù)制作一個(gè)動(dòng)畫組織者，把這個(gè)“無(wú)限趨近”表征出來(lái).

動(dòng)畫1：用動(dòng)畫演示劉徽割圓術(shù)表征數(shù)列極限思想.制作動(dòng)畫，使屏幕上圓內(nèi)接正四邊形在鼠標(biāo)控制下，依次變?yōu)檎诉呅?，正十六邊形，……，隨著邊數(shù)的增加，正多邊形逐漸與圓彌合，呈現(xiàn)正多邊形面積A1,A2,…,An,…，無(wú)限趨近于圓面積的思想.

動(dòng)畫2：用動(dòng)畫表征數(shù)列極限概念.制作動(dòng)畫，演示n無(wú)限增大時(shí)無(wú)限趨近于數(shù)1 的過程.鼠標(biāo)控制慢鏡頭，屏幕上的亮點(diǎn)依次從點(diǎn)x1=0 跳到跳 到當(dāng)亮點(diǎn)越來(lái)越靠近1 時(shí)局部放大，讓學(xué)生觀察隨著n的增大，xn越來(lái)越靠近1的周圍，呈現(xiàn)“無(wú)限趨近”的含義.

動(dòng)畫3：用動(dòng)畫表征數(shù)列極限ε-N定義.制作動(dòng)畫，數(shù)軸上標(biāo)明x1,x2,…,xn,…等一系列無(wú)限靠近常數(shù)a的點(diǎn)，設(shè)立區(qū)間（a-ε,a+ε），用鼠標(biāo)控制ε使之逐漸變小，指明：對(duì)每一個(gè)給定的ε，都存在項(xiàng)數(shù)N，當(dāng)n＞N后，xn∈(a-ε,a+ε) ，每一次變動(dòng)ε就是一次“任意給定的ε”，總存在項(xiàng)數(shù)N，就是“總存在一個(gè)自然數(shù)N”，當(dāng)?shù)贜項(xiàng)之后所有項(xiàng)都滿足xn∈(a-ε,a+ε) ，即是當(dāng)n＞N后，必有成立.（2）策略2：方法的深加工策略.

用極限定義證明數(shù)列極限時(shí)，通常要限定n的一個(gè)取值范圍，使不等式放大后變得簡(jiǎn)單，再聯(lián)結(jié)ε導(dǎo)出N，即所謂的“限定放大法”.針對(duì)上面的認(rèn)知困難（3），教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生得出一般性的方法，也就是對(duì)限定方法進(jìn)行深加工.筆者認(rèn)為，引導(dǎo)學(xué)生掌握一種思路與方法具有重要意義，因?yàn)樗悸放c方法本身就是認(rèn)知策略的重要組成部分，它是一種能力，在其他的學(xué)習(xí)中，會(huì)經(jīng)常起意想不到的作用.比如，證明有理數(shù)列極限時(shí)，可指導(dǎo)學(xué)生得出下面的一般性方法.

4 結(jié)論

在整個(gè)信息加工過程中，認(rèn)知策略始終起著控制和調(diào)節(jié)的作用.同一教師在同一時(shí)間、同一地點(diǎn)教出的學(xué)生，學(xué)習(xí)效果千差萬(wàn)別根源于個(gè)體的認(rèn)知策略不同.建議在講授“限定放大法”時(shí)，要求學(xué)生不僅會(huì)用“試錯(cuò)法”，還要探究一般性的方法.這是一個(gè)編碼能力培養(yǎng)過程，而編碼能力是認(rèn)知策略的重要組成部分.加強(qiáng)后的認(rèn)知策略，又會(huì)在新的信息加工中起到控制和調(diào)節(jié)作用，如此產(chǎn)生良性循環(huán).

極限概念蘊(yùn)含了“從運(yùn)動(dòng)到無(wú)限趨勢(shì)”的思想，歷史上，極限概念經(jīng)歷了人類長(zhǎng)期對(duì)“無(wú)限趨近”過程的艱苦思考.在古代，人們已經(jīng)有了極限的樸素思想，但極限定義的“ε-δ”等語(yǔ)言表述，直到19 世紀(jì)才最后形成.這一時(shí)期人們的認(rèn)知經(jīng)歷了從靜止到運(yùn)動(dòng)，從有限到無(wú)窮，從具體到抽象的艱難歷程.一個(gè)經(jīng)過眾多數(shù)學(xué)家反復(fù)修正的概念使初學(xué)者迷惑不解是自然的.形式化定義的動(dòng)態(tài)表征與符號(hào)表征相結(jié)合，能促使學(xué)生在心理上產(chǎn)生定義的語(yǔ)義象征，是值得研究和發(fā)展的有效手段.同時(shí)，學(xué)生在真正意義上理解和掌握定義，還需經(jīng)過：定義→證題→定義→性質(zhì)→定義→應(yīng)用→定義等，多層螺旋式順向與逆向反復(fù)遷移的認(rèn)知過程.