“三會”喚醒學(xué)生的數(shù)學(xué)意識

■天津市第一百中學(xué) 鄭金賓

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》提出“會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”（以下簡稱“三會”）?！叭龝笔菙?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的具體體現(xiàn)，高中數(shù)學(xué)課堂上踐行“三會”要求，能夠從根本上改變課堂學(xué)生面貌，喚醒學(xué)生的數(shù)學(xué)意識。

一、情境創(chuàng)設(shè)要立足于喚醒學(xué)生的“求新”意識

教學(xué)情境是教師在教學(xué)過程中營造的情感氛圍?！叭龝币暯窍碌那榫硠?chuàng)設(shè)，更加注重情境的指向性、啟發(fā)性、思維性和探究性，要求教學(xué)情境能夠引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題，使用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言描述問題，用數(shù)學(xué)的思想、方法解決問題。

首先，教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)要從數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的邏輯體系出發(fā)，符合學(xué)習(xí)內(nèi)容的需要，能夠真實(shí)地再現(xiàn)與學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)的真實(shí)世界，引發(fā)學(xué)生的“求新”意識。教學(xué)情境包括現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境和科學(xué)情境，這三類情境都應(yīng)該是真實(shí)的，容易引發(fā)學(xué)生共鳴的。這里要防止“去數(shù)學(xué)化”傾向，為情境而情境，用情境刻意包裝教學(xué)，凡情境必生活。如，教學(xué)“向量的減法”。以一句話“如果沒有運(yùn)算，向量只是一個‘路標(biāo)’，因?yàn)橛辛诉\(yùn)算，向量的力量無限”作為開頭，點(diǎn)明了本單元的重要內(nèi)容——向量運(yùn)算，也給學(xué)生一個清晰的提示。在復(fù)習(xí)完向量加法法則以后，話鋒一轉(zhuǎn)：“我們知道，數(shù)學(xué)思維常見兩種，一種是正向思維，一種是逆向思維。那么，把剛才的問題反過來描述……”教師適當(dāng)鼓勵學(xué)生的“創(chuàng)新”行為、“再創(chuàng)造”能力，持續(xù)激勵學(xué)生探索新知的勇氣和信心。

其次，在一節(jié)課中，教學(xué)情境與教學(xué)內(nèi)容的結(jié)合應(yīng)該是一個完整的過程，既要有“看”的過程、“想”的過程，又要有“說”的過程，使得教學(xué)情境有機(jī)地將觀察、思考、表達(dá)世界這三個學(xué)習(xí)過程融為一體，前后關(guān)聯(lián)，首尾呼應(yīng)。要避免把教學(xué)情境只是作為一個“引子”和“跳板”，單純用來激發(fā)興趣和強(qiáng)化動機(jī)，用過就扔。如，教學(xué)“線面平行”。展示多個實(shí)例讓學(xué)生觀察線面平行的幾何特征，引出線面平行的定義；得到概念以后引導(dǎo)學(xué)生分析線面平行的支撐條件，在組成要素及其相互之間確定的關(guān)系中發(fā)現(xiàn)規(guī)律和性質(zhì)；回到開始展示的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生分析如何判定線面平行、平行線如何尋找，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模過程；同時，也為學(xué)生繼續(xù)用研究線面位置關(guān)系的一般方法處理線面平行問題指明了方向，提供了繼續(xù)研究、求知求新的動力。

二、問題設(shè)置要立足于喚醒學(xué)生的“求真”意識

情境創(chuàng)設(shè)的目的是引發(fā)學(xué)生的問題意識。在傳統(tǒng)課堂上，教師的觀察、思考、表達(dá)常常替代了學(xué)生的觀察、思考、表達(dá)，學(xué)生沒有更多的時間和機(jī)會去觀察、思考與表達(dá)，造成了學(xué)習(xí)能力不強(qiáng)。

在“會看”層面，教師要設(shè)計(jì)一些富有啟發(fā)性的數(shù)學(xué)問題。例如：在這個數(shù)學(xué)研究對象中，存在哪些數(shù)量？這些數(shù)量有什么關(guān)系？存在哪些圖形？這些圖形有什么關(guān)系？這個數(shù)學(xué)研究對象，有沒有研究的必要？如果有，它的價值在哪里？你以前見過這樣的數(shù)學(xué)命題嗎？你能得到什么新的數(shù)學(xué)概念或者法則？它的含義是什么？它的條件和結(jié)論是什么？它的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是什么？等等。

在“會想”層面，教師要設(shè)計(jì)一些富有層次性的數(shù)學(xué)問題。例如：以前研究過類似的問題嗎？當(dāng)時的研究方法是什么？你能利用以前的研究方法研究現(xiàn)在的問題嗎？你能通過同類的數(shù)學(xué)命題進(jìn)行研究嗎？你能提出哪些不同的假設(shè)？這些不同的假設(shè)會得到哪些數(shù)學(xué)命題？你能否驗(yàn)證數(shù)學(xué)命題的嚴(yán)謹(jǐn)性？如何保證運(yùn)算的準(zhǔn)確性？等等。

在“會說”層面，教師要設(shè)計(jì)一些富有探究性的數(shù)學(xué)問題。例如：現(xiàn)實(shí)世界的問題和情況如何簡化成現(xiàn)實(shí)的模型？現(xiàn)實(shí)的模型如何翻譯成數(shù)學(xué)模型？用數(shù)學(xué)語言如何描述？模型中如何確定參數(shù)？參數(shù)的意義是什么？你還能想出其他的參數(shù)嗎？采用什么樣的數(shù)學(xué)方法得到數(shù)學(xué)模型的解？如何檢驗(yàn)實(shí)際問題的解？如何改進(jìn)模型？建立的數(shù)學(xué)模型，對現(xiàn)實(shí)世界有什么價值和意義？等等。

三、內(nèi)容選擇立足于喚醒學(xué)生的“求實(shí)”意識

問題的設(shè)置取決于內(nèi)容的選擇。“三會”視角下的內(nèi)容選擇，更加注重教學(xué)內(nèi)容的整體性和統(tǒng)一性，要“整體把握教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展”。

教師要構(gòu)建結(jié)構(gòu)化的知識體系，幫助學(xué)生理解、記憶和遷移，喚醒學(xué)生的“求實(shí)”意識。當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的最大問題是碎片化。一方面，教師要深入挖掘知識本身的結(jié)構(gòu)化體系，其中，知識的形成、發(fā)展、應(yīng)用的過程，問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決的過程，也是知識結(jié)構(gòu)化的一種重要體現(xiàn)，這也是“三會”一體化的具體表現(xiàn)。另一方面，教師要深入挖掘知識之間的結(jié)構(gòu)化體系，把具有邏輯關(guān)系的教學(xué)內(nèi)容融為一體，進(jìn)行整體設(shè)計(jì)，使學(xué)生在知識的融會貫通中發(fā)展“求實(shí)”意識。如，教學(xué)“任意角的三角函數(shù)”。這節(jié)課在教學(xué)內(nèi)容的選擇上，要突出銳角三角函數(shù)坐標(biāo)化的過程，突出單位圓介入的時機(jī)和作用，借助單位圓建立一般三角函數(shù)的概念；從函數(shù)的邏輯體系出發(fā)，探究任意角三角函數(shù)的定義域及函數(shù)值的符號，利用直觀圖形探求三角函數(shù)值；嘗試用對應(yīng)的數(shù)學(xué)語言表達(dá)三角函數(shù)；逐步滲透抽象、推理、模型等基本思想。

此外，我們還應(yīng)該看到，當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的碎片化問題不僅是知識的碎片化，而且是研究方法的碎片化。研究方法是發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)象、新事物，或提出新理論、新觀點(diǎn)，揭示事物內(nèi)在規(guī)律的工具和手段。教學(xué)內(nèi)容的選擇，離不開重視過程、貫徹始終的研究方法作為牽引，研究方法是解決相關(guān)問題的“指路燈”“導(dǎo)航器”。如，教學(xué)“解析幾何”。解析幾何主要的研究方法是代數(shù)方法?！靶甭省钡尿?qū)動問題是“如何把幾何量代數(shù)化、運(yùn)算化”“直線方程”的驅(qū)動問題是“當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動時，它的坐標(biāo)應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系式”“圓錐曲線”的驅(qū)動問題是“如何借助方程研究曲線”。這樣，解析幾何的每個知識點(diǎn)都成為核心思想統(tǒng)率下的、作為整體的一個有機(jī)組成部分，實(shí)現(xiàn)了研究方法的整體性應(yīng)用。

四、教學(xué)方式立足于喚醒學(xué)生的“求異”意識

整體性的教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)應(yīng)以學(xué)生的思維發(fā)展為主線，實(shí)施有利于促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的多樣化教學(xué)方式?！叭龝币暯窍陆虒W(xué)方式的選擇，應(yīng)更多地“把教學(xué)活動的重心放在促進(jìn)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)上”，引導(dǎo)學(xué)生走向深度學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)成長的增值。

要重視多元表征技術(shù)的應(yīng)用。表征是知識在個體心理上的反映和存在方式，是可以指代教學(xué)內(nèi)容的符號或信號。如果學(xué)生不能將所學(xué)的知識在記憶中進(jìn)行表征，就很難形成網(wǎng)絡(luò)化的知識結(jié)構(gòu)。多元表征主要包括動作表征、形象表征、語言表征、符號表征等四種方式，教師要引導(dǎo)學(xué)生從動作、形象、語言、符號等多個角度審視研究對象，多個層面呈現(xiàn)問題本質(zhì)。如，教學(xué)“函數(shù)的單調(diào)性”。以二次函數(shù)f（x）=x2為例，利用動畫制作函數(shù)圖象上升或者下降的動態(tài)演示，體現(xiàn)動作表征；從動作特征上反映出函數(shù)圖象的特征，體現(xiàn)形象表征。從函數(shù)圖象特征過渡到“二次函數(shù)f（x）=x2在區(qū)間[0，+∞]上，f（x）隨著x的增大而增大”，體現(xiàn)語言表征；而由語言表征過渡到符號表征是教學(xué)難點(diǎn)?！霸龃蟆币馕吨容^，需要建立兩個量的大小關(guān)系；“x的增大”表述為x1＜x2；“f（x）增大”表述為f（x1）＜f（x2）；“隨”：當(dāng)x1＜x2時，有f（x1）＜f（x2）。這樣的多元化表征方式，體現(xiàn)了函數(shù)單調(diào)性的概念本質(zhì)。

要重視數(shù)學(xué)變換技術(shù)的應(yīng)用。變換是指一種情境中發(fā)現(xiàn)或者理解的動力模式應(yīng)用于另外一種情境，是學(xué)習(xí)遷移的重要原因。常用的數(shù)學(xué)變換方法有傳遞形式的變換、符號表達(dá)方式的變換、空間關(guān)系的轉(zhuǎn)換，實(shí)現(xiàn)把一種運(yùn)算轉(zhuǎn)換成另一種運(yùn)算，把一種圖形轉(zhuǎn)換成另一種圖形。如，教學(xué)“等差數(shù)列”。教師要加強(qiáng)傳遞形式和圖形形式的變換，如直線的傾斜程度、值域、單調(diào)性等視角，強(qiáng)化用函數(shù)思想方法來解決等差數(shù)列問題；從數(shù)學(xué)運(yùn)算角度看，等差數(shù)列的通項(xiàng)、前項(xiàng)和分別屬于一次、二次運(yùn)算形式，教師也要突出這種運(yùn)算的變化，培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性和創(chuàng)造性。

總之，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的核心在于“會觀察世界、會思考世界、會表達(dá)世界”?！叭龝敝该髁藬?shù)學(xué)教育發(fā)展的方向和應(yīng)該達(dá)到的目標(biāo)，生動地刻畫出了數(shù)學(xué)教育究竟“培養(yǎng)什么樣的人”的問題。教師要認(rèn)真研讀課程標(biāo)準(zhǔn)要求，努力踐行“三會”要求，用“三會”喚醒學(xué)生的數(shù)學(xué)意識，提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力，使得數(shù)學(xué)課堂有濃濃的數(shù)學(xué)味道。