初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的解題技巧分析

■江蘇省張家港市常青藤實(shí)驗(yàn)學(xué)校 鄒婉清

一、解讀數(shù)學(xué)概念，強(qiáng)化數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過程。初中生抽象思維能力存在一定局限，根據(jù)數(shù)學(xué)題目理性思考其中數(shù)量關(guān)系，從題目中提煉一般解題技巧的能力相對(duì)欠缺。因此，教師應(yīng)結(jié)合數(shù)學(xué)題目，從數(shù)學(xué)概念入手，引導(dǎo)學(xué)生在解題中摒棄“物理屬性”，從一般屬性分析題目考查的本質(zhì)，從而探尋解題技巧。

例如題目1：“五一”期間，某商場(chǎng)搞優(yōu)惠促銷，由顧客抽獎(jiǎng)決定折扣，某顧客購買甲、乙兩種商品，分別抽到七折（按售價(jià)的70%銷售）和九折（按售價(jià)的90%銷售），共付款386元，這兩種商品原售價(jià)之和為500元，問這兩種商品的原售價(jià)分別為多少元？

題目2：某市場(chǎng)購進(jìn)甲、乙兩種商品共50件，甲種商品進(jìn)價(jià)每件35元，利潤(rùn)率是20%，乙種商品進(jìn)價(jià)每件20元，利潤(rùn)率是15%，共獲利278元，問甲、乙兩種商品各購進(jìn)了多少件？

在上述兩個(gè)例題中，無論是商場(chǎng)的優(yōu)惠促銷活動(dòng)中的打折，還是商品銷售的利潤(rùn)率，其特點(diǎn)都是與百分?jǐn)?shù)相關(guān)，且題目中均出現(xiàn)了“和”的條件。因此，在指導(dǎo)學(xué)生解題技巧的過程中，教師可以將兩個(gè)題目進(jìn)行對(duì)比，指導(dǎo)學(xué)生從題目條件中找出相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，其中相同點(diǎn)就是數(shù)學(xué)本質(zhì)，而不同點(diǎn)就是可以舍棄的“物理屬性”。

這樣就能夠結(jié)合數(shù)學(xué)概念，實(shí)現(xiàn)從具體到一般的數(shù)學(xué)抽象，并利用設(shè)未知數(shù)的方式，找到解題方案。題目1：設(shè)甲原售價(jià)x元，乙原售價(jià)500-x，則有0.7x+0.9(500-x)=386；題目2：設(shè)甲購進(jìn)了x件，乙購進(jìn)了50-x件，則有35x·20%+20(×50-x)·15%=278。這樣學(xué)生則能在對(duì)比分析中完成對(duì)同類題目的分析與抽象，理解在“已知和”的相關(guān)題目中，考查的問題、出現(xiàn)的條件以及主要的解題思路，進(jìn)而通過未知數(shù)的解答，掌握解題技巧。

二、通過直觀想象，探索解題思路

直觀想象是通過感官體驗(yàn)理解事物形態(tài)與變化的能力。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，直觀想象能夠幫助學(xué)生獲得最直接的解題思路，并通過對(duì)知識(shí)的調(diào)用，以及對(duì)經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)逐漸理順答案。當(dāng)然，直觀想象并不是漫無目的的瞎猜，它是在一定知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的合理聯(lián)想，是學(xué)生邏輯思維的另一種表現(xiàn)。

例如題目1：直角△ABC中，M是直角邊BC的中點(diǎn)，AN是BAC的平分線，BN垂直于AN于N點(diǎn)，延長(zhǎng)BN交斜邊AC于D，已知AB=10，BC=15，MN=3，求證（1）BN=DN；（2）△ABC的周長(zhǎng)。

結(jié)合題目與直觀想象能力的培養(yǎng)密切相關(guān)。在題目解析中，教師首先要指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)條件自主繪制草圖，并在觀察圖形的過程中，對(duì)BN=DN形成初步判斷，并通過將兩條邊置于△ABN和△ADN中，聯(lián)想到證明兩個(gè)三角形全等，這樣就能夠順利完成第一步的證明；

接下來，根據(jù)條件進(jìn)行進(jìn)一步觀察，發(fā)現(xiàn)△ABD看似是一個(gè)等腰三角形，而由于AN就是三角形ABD的中線、角平分線和高線，則可以對(duì)這一結(jié)論加以證明，由此配合AD=AB=10的條件，就可以得出MN=1/2CD,CD=6，因此，△ABC的周長(zhǎng)為41。

在題目解析中，學(xué)生可以根據(jù)對(duì)答案的觀察，結(jié)合直觀想象，對(duì)ab整體作出分析。條件中則可以知道與為相反數(shù)，而兩個(gè)代數(shù)式均表示非負(fù)，因此只能分別為0，即因此，a=

通過上述題目可以看出，直觀想象對(duì)于迅速獲得解題思路具有重要意義。因此，在初中生解題技巧的指導(dǎo)中，教師應(yīng)尊重學(xué)生的直觀想象，在學(xué)生拿到題目后預(yù)留出一定的聯(lián)想與思考的時(shí)間，進(jìn)而促使學(xué)生在直觀想象中，形成合理、可行的解題思路，并通過對(duì)解題過程的總結(jié)，提煉出相關(guān)題目的解題技巧。

三、利用數(shù)學(xué)建模，提高解題效率

數(shù)學(xué)建模是通過實(shí)際問題抽象構(gòu)建解題模型，并利用模型解決實(shí)際問題的過程。數(shù)學(xué)建模引導(dǎo)學(xué)生思維經(jīng)歷了從具體到抽象再到具體的過程。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)對(duì)學(xué)生的建模能力提出了初步要求，而教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中，可以將數(shù)學(xué)建模等同于解題技巧，指導(dǎo)學(xué)生掌握初中階段所涉及的主要模型，并在模型分析與運(yùn)用中提高解題效率。

例如題目1：某人騎自行車比步行每小時(shí)快8公里，坐汽車比步行每小時(shí)快24公里，此人從甲地出發(fā)，先步行4公里，然后乘汽車10公里就到達(dá)了乙地，他又從乙地騎自行車返回甲地，往返所用的時(shí)間相同，求此人的步行速度。

該題目是典型的路程問題，教師可以指導(dǎo)學(xué)生把握路程=速度×?xí)r間這一基本模型，以及速度=路程/時(shí)間、時(shí)間=路程/速度這兩個(gè)變式進(jìn)行剖析。從題意中可以知曉，甲乙兩地間的距離為14公里；“從往返所用的時(shí)間相等”這一條件可以判斷，此人從甲地到乙地所用時(shí)間＝從乙地到甲地所用時(shí)間；設(shè)此人的步行速度為x，在從甲地到乙地的過程中，此人分兩段完成，即步行4公里和乘汽車10公里，則有4/x+10/x+24；從乙地返回甲地，則騎自行車完成，則有14/x+8；最后根據(jù)時(shí)間的等量關(guān)系，計(jì)算4/x+10/x+24=14/x+8，求得未知數(shù)。

題目2：2017年8月某地遭遇干旱，為鼓勵(lì)市民節(jié)約用水，當(dāng)?shù)刈詠硭景凑辗侄问召M(fèi)標(biāo)準(zhǔn)調(diào)整生活用水價(jià)格，即0～10噸水費(fèi)呈單調(diào)遞增，當(dāng)用水達(dá)到10噸時(shí)，水費(fèi)為22元，大于10噸水費(fèi)有所調(diào)整，當(dāng)用水量達(dá)到20噸時(shí)，水費(fèi)為57元。請(qǐng)寫出水費(fèi)的分段函數(shù)，并計(jì)算小明家5月份用水7噸應(yīng)繳水費(fèi)多少元。

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)核心素養(yǎng)發(fā)展要求，打破傳統(tǒng)教學(xué)中以探求答案為目的的解題指導(dǎo)，從提升學(xué)生的解題能力入手，幫助學(xué)生總結(jié)、歸納、運(yùn)用解題技巧，在題目中尋找解題思路，總結(jié)知識(shí)運(yùn)用規(guī)律，以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的全面構(gòu)建。