數(shù)學(xué)類本科課程《高等代數(shù)》教學(xué)和實(shí)踐方法的思考

楚彥軍 程俊芳

（河南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 河南·開封 475004）

數(shù)學(xué)類本科專業(yè)一年級的基礎(chǔ)課程主要有三門，分別是《數(shù)學(xué)分析》、《高等代數(shù)》和《空間解析幾何》，也有一部分院校是把《高等代數(shù)》和《空間解析幾何》課程合為一門課程《高等代數(shù)和解析幾何》，而且也有教改論文和項(xiàng)目是以大學(xué)高等代數(shù)和解析幾何的融合為主題進(jìn)行研究。事實(shí)上，《高等代數(shù)》無論是作為數(shù)學(xué)類本科基礎(chǔ)課程之一，還是本科專業(yè)代數(shù)系列課程的起始課程，其重要性不言而喻。因此，按照課程教學(xué)改革的觀點(diǎn)，探索《高等代數(shù)》的教學(xué)理念、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)實(shí)踐方法是提高《高等代數(shù)》課堂教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果，為數(shù)學(xué)類本科專業(yè)的《抽象代數(shù)》、《初等數(shù)論》的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，對于培養(yǎng)數(shù)學(xué)專業(yè)的大學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)、抽象思維能力、創(chuàng)新能力等方面意義重大。并在教學(xué)過程中有意識地讓學(xué)生體會和探索研究抽象的代數(shù)對象的方法：由具體理解抽象，由抽象加深對具體的認(rèn)識。

1 教學(xué)理念的探索

在《高等代數(shù)》的課程教學(xué)中，按照傳統(tǒng)的觀點(diǎn)講授知識固然重要，但是教學(xué)理念上的革新也是尤為重要，我們要以“學(xué)生學(xué)為中心”，不能只注重傳統(tǒng)的知識傳授和灌輸，更重要的是要教育引導(dǎo)“學(xué)生們怎么學(xué)、怎么去思考、怎么去積極創(chuàng)新”，這三個問題恰恰對應(yīng)于數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)和專業(yè)能力培養(yǎng)的三個方面：學(xué)習(xí)能力、思考能力、創(chuàng)新能力。

考慮到《高等代數(shù)》是大學(xué)一年級的課程，教師應(yīng)當(dāng)充分了解和把握學(xué)生在高中的代數(shù)知識體系，比如學(xué)生學(xué)過求解二元、三元的聯(lián)立方程組的方法，因此在我們講授行列式和線性方程組理論時，應(yīng)適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生自己從已有知識體系體會向現(xiàn)有的知識體系的過渡和聯(lián)系。通過有效的方式致力于在學(xué)生的腦海里建立高中的代數(shù)知識體系和現(xiàn)學(xué)的代數(shù)知識體系之間的對比與聯(lián)系，從而讓學(xué)生們明白“要學(xué)什么、為什么要學(xué)？”。同時，在講授過程中，注重獨(dú)立思考的引導(dǎo)、學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)。

教學(xué)過程中要充分兼顧學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，合理安排教學(xué)內(nèi)容?！陡叩却鷶?shù)》一般是兩個學(xué)期的課程內(nèi)容。學(xué)生在高中階段所學(xué)的代數(shù)內(nèi)容都是比較具體的對象，我們可以在第一學(xué)期講授《高等代數(shù)》研究的具體對象和工具：行列式、線性方程組、矩陣的運(yùn)算和多項(xiàng)式理論，而在第二學(xué)期講授《高等代數(shù)》的抽象部分：二次型、線性空間、線性變換、矩陣的相似理論、歐幾里得空間、雙線性函數(shù)和辛空間等，這樣的內(nèi)容安排更加符合學(xué)生從具體到抽象的認(rèn)知規(guī)律。

2 教學(xué)內(nèi)容改革的探索

按照國內(nèi)大學(xué)普遍的觀點(diǎn)，《高等代數(shù)》的教學(xué)內(nèi)容主要分為多項(xiàng)式理論和線性代數(shù)兩個部分.很早之前流行《高等代數(shù)》優(yōu)秀教材有多種，其中由北京大學(xué)前數(shù)學(xué)系代數(shù)小組于1964年編寫的《高等代數(shù)講義》、1966年編寫《高等代數(shù)簡明教程》和1978年的修改版《高等代數(shù)》在一般院校使用較為普遍。根據(jù)2010年以來若干年我講授《高等代數(shù)》課程的經(jīng)歷，我們陸續(xù)使用了北京大學(xué)前數(shù)學(xué)系代數(shù)小組編寫的《高等代數(shù)》第二版—第五版.在這期間，許多院校在多年的教學(xué)實(shí)踐中,根據(jù)數(shù)學(xué)專業(yè)的要求和學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)等實(shí)際情況自編教材，產(chǎn)生了一大批《高等代數(shù)》優(yōu)秀教材.另一種情況，有一些院校和教材改革項(xiàng)目是將《高等代數(shù)》與《空間解析幾何》兩門課程進(jìn)行整合為《高等代數(shù)與解析幾何》課程.主要原因在于空間解析幾何所考慮的向量空間是高等代數(shù)理論中歐幾里得空間中三維的情形，二次曲線、二次曲面的分類恰恰又是二次型理論的應(yīng)用。我們也在相關(guān)的教學(xué)改革項(xiàng)目中探索《高等代數(shù)》與《空間解析幾何》兩門課程整合為一門課程的可行性和具體的授課內(nèi)容、方式方法等方面。

說到《高等代數(shù)》的教學(xué)內(nèi)容，李尚志教授曾把線性代數(shù)的主要研究對象和研究方法概括為八個字:“空間為體,矩陣為用”。說明向量空間是線性代數(shù)研究的主要對象,而研究工具主要是矩陣.

（1）多項(xiàng)式理論主要分為一元多項(xiàng)式和多元多項(xiàng)式，作為數(shù)學(xué)類的學(xué)生，多元多項(xiàng)式理論，特別是對稱多項(xiàng)式的概念和初步理論需要掌握的內(nèi)容，一方面因?yàn)槎嘣囗?xiàng)式和二次型的概念有聯(lián)系，另一方面對稱多項(xiàng)式的概念和初步理論和復(fù)數(shù)域上一元多項(xiàng)式的根的理論有聯(lián)系，而且這也是代數(shù)學(xué)中的重要對象之一。由于一年級《高等代數(shù)》課程學(xué)時安排較為緊張，教學(xué)內(nèi)容改革的一個方面是將多元多項(xiàng)式理論放在大學(xué)四年級第一學(xué)期的《高等代數(shù)選講》課程內(nèi)容之中進(jìn)行講授。

（2）線性代數(shù)部分主要有行列式、線性方程組、矩陣的運(yùn)算、二次型、線性空間、線性變換、-矩陣，歐幾里得空間，雙線性函數(shù)和辛空間九部分的內(nèi)容。作為數(shù)學(xué)類的學(xué)生，在學(xué)習(xí)線性變換、線性空間之時，所用的研究工具皆為方陣。國內(nèi)許多院校在線性變換、線性空間的做法是講更廣義的線性映射、講線性空間的同態(tài)和商空間。作為數(shù)學(xué)類的學(xué)生，我認(rèn)為上述內(nèi)容是需要他們理解和掌握的，而且在理解掌握線性變換、線性空間理論的基礎(chǔ)之上，完全可以由老師進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，讓學(xué)生通過探索的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)。另一方面，考慮到《高等代數(shù)》課程學(xué)時問題，我們擬在教學(xué)內(nèi)容上進(jìn)行改革，把上述相關(guān)內(nèi)容調(diào)整到大學(xué)四年級第一學(xué)期的《高等代數(shù)選講》課程內(nèi)容之中進(jìn)行講授。

3 教學(xué)方法、教學(xué)實(shí)踐的探索

傳統(tǒng)的《高等代數(shù)》教學(xué)方法圍繞“以學(xué)習(xí)知識為中心”，以教師課堂講授為主要形式。教學(xué)方法和教學(xué)實(shí)踐的改革要以“學(xué)生自主學(xué)習(xí)為中心”，主講教師在教學(xué)過程中主要是通過講解來引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，自主思考、培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，側(cè)重于學(xué)生通過自己的訓(xùn)練和思考掌握對知識的靈活掌握和運(yùn)用。有了這種教學(xué)理念的指導(dǎo)，我們在教學(xué)過程中對于教學(xué)方法和教學(xué)實(shí)踐的探索可以從一下幾個方面：

3.1 明確課程教學(xué)目的

《高等代數(shù)》課程教學(xué)的主講教師在講授課程之前需要根據(jù)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的培養(yǎng)方案，制定教學(xué)大綱，明確和牢記課程教學(xué)目的。《高等代數(shù)》這門課程的教學(xué)目的主要有：（1）讓學(xué)生熟練掌握數(shù)域上的多項(xiàng)式的基本運(yùn)算理論；（2）讓學(xué)生熟練掌握矩陣運(yùn)算這一工具；（3）學(xué)會用矩陣的語言來描述線性空間的問題，并學(xué)會將線性空間的問題轉(zhuǎn)化為矩陣運(yùn)算的問題，學(xué)會利用矩陣運(yùn)算的幾何意義來解決線性空間的問題。

3.2 把握課程的特點(diǎn)、有針對性地實(shí)施教學(xué)方法

《高等代數(shù)》學(xué)習(xí)過程中同學(xué)們普遍感覺抽象，主要是集中在概念的抽象上，比如：線性空間的定義、線性相關(guān)、線性無關(guān)、矩陣的秩等。其實(shí)抽象并不神秘，也就是我們從不同的對象中找出共同點(diǎn)而忘掉不同點(diǎn)而已。針對概念的抽象性這一點(diǎn)，我們在教學(xué)過程中應(yīng)透過具體的例子來理解抽象，也即是利用豐富的例子來理解由它們的共同點(diǎn)所給出的抽象概念。比如，我們要理解數(shù)域P上的線性空間的概念，這個概念是眾多例子的共同點(diǎn)抽象出來的，比如n維向量空間Pn、P上的次數(shù)小于n的多項(xiàng)式和零多項(xiàng)式的集合、P上n階對角陣的全體等等，這些集合上共同點(diǎn)就是可以定義加法和數(shù)量乘法，并且滿足相應(yīng)的運(yùn)算規(guī)律。在教學(xué)過程中，我們可以有針對性地讓學(xué)生找出這些集合的共同點(diǎn)，然后給出線性空間抽象的概念。學(xué)生明白了這種具體與抽象的關(guān)系，在理解這些概念時就會自己從具體例子的共同點(diǎn)去著手，對抽象的概念有一定的把握，同時也會啟發(fā)學(xué)生在理解抽象的概念時可以從具體的例子中找感覺。

作為一名該課程的講授教師，考慮到《高等代數(shù)》課程對于數(shù)學(xué)類本科學(xué)生的重要性，我們應(yīng)該緊跟時代發(fā)展的要求，在教學(xué)實(shí)踐中不斷改革、探索《高等代數(shù)》教學(xué)方法和實(shí)踐方法。針對《高等代數(shù)》的抽象性、系統(tǒng)性的課程特點(diǎn)，我們還要繼續(xù)在教學(xué)理念、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和理論實(shí)踐方法等方面進(jìn)行不斷探索，旨在提高《高等代數(shù)》課堂教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果，為該專業(yè)的學(xué)生積極學(xué)習(xí)后續(xù)的《抽象代數(shù)》做充分的準(zhǔn)備，積極把這門課程打造成數(shù)學(xué)類學(xué)生的代數(shù)學(xué)的入門金課。