基于狀態(tài)的維修與備件庫(kù)存決策聯(lián)合優(yōu)化研究*

白永生，郭馳名

（陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)，石家莊 050003）

0 引言

備件保障工作歷來是設(shè)備運(yùn)行與保障領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，及時(shí)有效地供應(yīng)維修所需的備件、提高備件的庫(kù)存利用率，是現(xiàn)代設(shè)備管理的重要內(nèi)容［1］。然而，目前關(guān)于備件保障的研究大多是針對(duì)事后維修展開的［2-4］，對(duì)于考慮預(yù)防性維修策略下備件保障決策的研究相對(duì)缺乏［5-10］，而對(duì)于基于狀態(tài)的維修（Condition-based Maintenance，CBM）策略下備件庫(kù)存決策的研究就更少了［11-13］。

基于狀態(tài)的維修這一概念最早產(chǎn)生于美國(guó)，自20 世紀(jì)80 年代以來逐步滲透到我國(guó)［14］。它基于對(duì)故障發(fā)展過程的深入認(rèn)識(shí)，通過加強(qiáng)和完善檢測(cè)監(jiān)控手段，掌握設(shè)備的工作狀態(tài)和劣化趨勢(shì)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題并采取相應(yīng)維修對(duì)策，將維修從以時(shí)間為基礎(chǔ)發(fā)展到以運(yùn)行狀態(tài)為基礎(chǔ)，從而避免嚴(yán)重故障的發(fā)生，使維修工作變被動(dòng)為主動(dòng)。

針對(duì)停機(jī)損失較大的設(shè)備，目前常見的做法是采取定期狀態(tài)檢測(cè)的維修方式，即每隔一段時(shí)間，就開展一次狀態(tài)檢測(cè)，通過設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)情況來決斷維修措施。這種狀態(tài)維修策略下，如何對(duì)備件消耗過程進(jìn)行分析和定量描述，并科學(xué)合理地進(jìn)行備件庫(kù)存決策，已成為備件保障領(lǐng)域亟需研究和解決的關(guān)鍵問題［15］。

1 備件庫(kù)存消耗過程分析

為了科學(xué)描述設(shè)備的性能狀態(tài)隨運(yùn)行時(shí)間的退化規(guī)律，這里引入“延遲時(shí)間”的概念。按照延遲時(shí)間的概念，可把故障過程分為初始缺陷時(shí)間u 和故障延遲時(shí)間h 兩個(gè)階段。在進(jìn)行檢測(cè)時(shí)，若發(fā)現(xiàn)處于缺陷階段，就對(duì)其進(jìn)行預(yù)防性更換；若缺陷的延遲時(shí)間較短，在下一次檢測(cè)前發(fā)展成故障，則對(duì)其進(jìn)行故障后更換，如圖1 所示。

圖1 基于延遲時(shí)間的定期檢測(cè)策略

可見，在該策略下進(jìn)行備件更換的時(shí)機(jī)與傳統(tǒng)預(yù)防性更換策略下不同，有3 種情形：1）在狀態(tài)檢測(cè)時(shí)，發(fā)現(xiàn)設(shè)備仍處于初始時(shí)間階段，此時(shí)不進(jìn)行備件更換；2）在狀態(tài)檢測(cè)時(shí)，發(fā)現(xiàn)設(shè)備處于延遲時(shí)間階段，此時(shí)進(jìn)行備件更換；3）在狀態(tài)檢測(cè)之前，設(shè)備發(fā)生功能故障，此時(shí)進(jìn)行備件更換。

圖2 為定期檢測(cè)策略下備件庫(kù)存的消耗過程。顯然，該備件系統(tǒng)在訂購(gòu)期內(nèi)的庫(kù)存可能出現(xiàn)兩種情況：1）訂購(gòu)期內(nèi)的備件實(shí)際需求量小于備件庫(kù)存量，訂貨時(shí)有剩余備件庫(kù)存；2）訂購(gòu)期內(nèi)的備件實(shí)際需求量大于備件庫(kù)存量，訂貨之前出現(xiàn)缺貨。

圖2 定期檢測(cè)策略下備件庫(kù)存消耗過程

本文的研究目的就是，通過聯(lián)合優(yōu)化3 個(gè)變量：最大庫(kù)存水平S、狀態(tài)檢測(cè)周期Tn和庫(kù)存補(bǔ)充時(shí)機(jī)t0，獲取合適的檢測(cè)時(shí)機(jī)和備件庫(kù)存策略，從而使得備件系統(tǒng)單位時(shí)間的維修保障費(fèi)用最低。

2 備件系統(tǒng)維修保障費(fèi)用分析與建模

上面分析了備件庫(kù)存消耗過程的兩種情況，與之相對(duì)應(yīng)，在備件供應(yīng)過程中所需的費(fèi)用也有兩種情況：一是到達(dá)訂購(gòu)期t0時(shí)備件仍有剩余，此時(shí)備件系統(tǒng)產(chǎn)生的費(fèi)用包括預(yù)防性更換費(fèi)用、故障后更換費(fèi)用、庫(kù)存費(fèi)用、訂購(gòu)費(fèi)用、備件成本；二是到達(dá)訂購(gòu)期t0前備件已消耗完，此時(shí)備件系統(tǒng)產(chǎn)生的費(fèi)用除上面5 類費(fèi)用，還有因缺貨造成的損失費(fèi)用。

2.1 維修保障費(fèi)用分析

2.1.1 庫(kù)存有剩余時(shí)

若經(jīng)過仿真，到達(dá)訂購(gòu)期時(shí)t0庫(kù)存有剩余，則可得到在訂購(gòu)期［0，t0）內(nèi)總的檢測(cè)次數(shù)Ni，每次更換的時(shí)刻Ki，以及進(jìn)行備件更換的總次數(shù)N（其中預(yù)防性更換次數(shù)和故障后更換次數(shù)分別為Np、Nf）。

因此，各項(xiàng)費(fèi)用可表示為：

再加上庫(kù)存補(bǔ)充時(shí)機(jī)的預(yù)防性更換費(fèi)用cp，可得一個(gè)訂購(gòu)期內(nèi)的總費(fèi)用為：

2.1.2 庫(kù)存缺貨時(shí)

若經(jīng)過仿真，到達(dá)訂購(gòu)期t0前庫(kù)存已缺貨，可知在［0，t0）內(nèi)進(jìn)行備件更換的次數(shù)N=S，且最后一次更換后沒有運(yùn)行到補(bǔ)充庫(kù)存，發(fā)生故障的時(shí)刻為KS+1（KS+1＜t0）。根據(jù)仿真得到的檢測(cè)次數(shù)Ni，每次更換的時(shí)刻Ki，以及備件預(yù)防性更換次數(shù)Np和故障后更換次數(shù)Nf，可將各項(xiàng)費(fèi)用表示為：

再加上庫(kù)存補(bǔ)充時(shí)機(jī)的預(yù)防性更換費(fèi)用cp，可得一個(gè)訂購(gòu)期內(nèi)的總費(fèi)用為

2.2 基于仿真的維修保障費(fèi)用建模

由于備件庫(kù)存消耗過程較為復(fù)雜，采用解析建模的難度大，這里采用仿真的方式對(duì)上述過程進(jìn)行描述與量化，其主要步驟如下（如下頁(yè)圖3 所示）：

Step1：仿真過程與參數(shù)初始化，根據(jù)設(shè)備的實(shí)際使用情況，給定其從投入使用到出現(xiàn)性能退化的時(shí)間、從性能退化發(fā)展到功能故障時(shí)間的分布函數(shù)及參數(shù)、最大庫(kù)存水平S、狀態(tài)檢測(cè)周期Tn和庫(kù)存補(bǔ)充時(shí)機(jī)t0，以進(jìn)行后續(xù)過程的仿真優(yōu)化。

Step2：產(chǎn)生第1 個(gè)備件的初始時(shí)間u、延遲時(shí)間h。分別給定其分布形式與參數(shù)，通過運(yùn)行編制的計(jì)算機(jī)程序，可以得到該備件的壽命t=u+h。

Step3：結(jié)合狀態(tài)檢測(cè)策略，判斷備件后續(xù)的工作和維修情況。如果t＜Tn，說明其不能工作到后面第1 次狀態(tài)檢測(cè)時(shí)刻，會(huì)在之前發(fā)生故障，此時(shí)進(jìn)行故障更新，產(chǎn)生備件消耗，Nf會(huì)增加1 個(gè)，備件系統(tǒng)累積工作時(shí)間tS增加t。反之，需要繼續(xù)判斷備件是發(fā)生檢測(cè)更新還是故障更新。

Step4：當(dāng)t≥Tn時(shí)，判斷u 與Tn的大小關(guān)系。如果u＜Tn，說明第1 次狀態(tài)檢測(cè)時(shí)檢測(cè)出異常，進(jìn)行預(yù)防性更換，產(chǎn)生備件消耗，Np會(huì)增加1 個(gè)，備件系統(tǒng)累積工作時(shí)間tS增加Tn；否則，還需結(jié)合h 的大小判斷后續(xù)是發(fā)生檢測(cè)更新還是故障更新。

Step5：令Z=∣u/Tn∣，若u+h ＞（Z+1）Tn時(shí)，說明在進(jìn)行第Z 次狀態(tài)檢測(cè)時(shí)發(fā)現(xiàn)異常，進(jìn)行預(yù)防性更換，產(chǎn)生備件消耗，Np會(huì)增加1 個(gè)，備件系統(tǒng)累積工作時(shí)間tS增加（Z+1）Tn；否則，說明在進(jìn)行第Z+1次狀態(tài)檢測(cè)時(shí)發(fā)生故障，產(chǎn)生備件消耗，Nf會(huì)增加1個(gè)，備件系統(tǒng)累積工作時(shí)間tS增加t。

Step6：繼續(xù)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)u、h，直到備件系統(tǒng)工作時(shí)間達(dá)到庫(kù)存補(bǔ)充時(shí)機(jī)t0，可獲取檢測(cè)更新次數(shù)Np，故障更新次數(shù)Nf，以及每次更新的時(shí)刻。這樣可根據(jù)上面建立的數(shù)學(xué)模型，計(jì)算得到該設(shè)備備件系統(tǒng)的維修保障費(fèi)用CTotal。

3 基于狀態(tài)的維修策略與備件庫(kù)存決策聯(lián)合優(yōu)化算例

為了驗(yàn)證模型的有效性，通過一個(gè)算例對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn)。假定某系統(tǒng)中設(shè)備具有性能退化的過程，適宜采取基于狀態(tài)的維修策略，已知其初始缺陷時(shí)間和故障延遲時(shí)間均服從Gamma 分布（其中α 為尺度參數(shù)，β 為形狀參數(shù)），其各項(xiàng)參數(shù)和費(fèi)用取值如下頁(yè)表1 所示。

現(xiàn)利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行仿真，仿真次數(shù)N 取3 000，可得到備件系統(tǒng)的維修保障費(fèi)用，然后對(duì)各決策變量進(jìn)行優(yōu)化。

首先給定S=5，t0=300 d 時(shí)，可優(yōu)化最佳的檢測(cè)間隔期Tn=35 d，所對(duì)應(yīng)的期望費(fèi)用值為239.622 5 元/d，如圖4 所示（45 頁(yè)）。

圖3 狀態(tài)檢測(cè)策略下備件消耗仿真過程

然后，只給定t0值為300 d，對(duì)S 取不同值，下頁(yè)表2 顯示的是對(duì)應(yīng)的檢測(cè)期Tn和期望費(fèi)用最優(yōu)值?？芍藭r(shí)當(dāng)S=4 個(gè)，Tn=70 d 時(shí)，對(duì)應(yīng)的費(fèi)用最優(yōu)值為208.660 5 元/d。

表1 算例中各參數(shù)的取值

圖4 當(dāng)S=5，t0=300 d 時(shí)，期望費(fèi)用值關(guān)于檢測(cè)期Tn 的二維圖

表2 t0=300 d 時(shí)，不同庫(kù)存最大值S 對(duì)應(yīng)的檢測(cè)期Tn 和期望費(fèi)用最優(yōu)值

同樣，對(duì)備件訂購(gòu)間隔期t0取不同的值，然后進(jìn)行優(yōu)化，見表3 所示。可見，當(dāng)t0=280 d 時(shí)，對(duì)應(yīng)的S=3 個(gè)、檢測(cè)期Tn=90 d，費(fèi)用最優(yōu)值為208.092 9 元/d。

表3 對(duì)訂購(gòu)間隔期t0 取不同值時(shí)，對(duì)應(yīng)的庫(kù)存最大值S、檢測(cè)期Tn 和期望費(fèi)用最優(yōu)值

4 結(jié)論

本文針對(duì)需進(jìn)行定期功能檢測(cè)的設(shè)備，研究并建立了其基于狀態(tài)的維修策略與備件庫(kù)存策略聯(lián)合優(yōu)化模型，對(duì)設(shè)備功能檢測(cè)周期、備件最大庫(kù)存水平、備件訂購(gòu)周期等決策變量進(jìn)行了聯(lián)合優(yōu)化；同時(shí)，為了驗(yàn)證模型的有效性，通過算例對(duì)其進(jìn)行了應(yīng)用驗(yàn)證。需要說明的是，鑒于模型求解的復(fù)雜性，本文主要是采用仿真的方式進(jìn)行結(jié)果的計(jì)算。在后續(xù)的研究中，可針對(duì)仿真自動(dòng)尋優(yōu)、運(yùn)算效率等做進(jìn)一步的探索。