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    復數(shù)階累加運算及其在廣義復GM(1,1)中的應用

    2016-09-07 01:51:59吳正鵬劉永菲
    關鍵詞:階數(shù)復數(shù)運算

    吳正鵬,劉永菲

    (中國傳媒大學 理學院,北京 100024)

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    復數(shù)階累加運算及其在廣義復GM(1,1)中的應用

    吳正鵬,劉永菲

    (中國傳媒大學 理學院,北京 100024)

    本文考慮復數(shù)階累加運算,從理論上證明了將所有復數(shù)階累加運算看成一個集合,在集合上定義類似于普通數(shù)的加法運算,其為交換群. 同時討論了將所有實數(shù)階累加運算看成所有復數(shù)階累加運算的一個子集,其為一交換子群.并可以在其上定義商群.分析表明先對原序列進行m階累加,在新得到的序列中再進行l(wèi)階累加,等價于對原序列進行m+l階累加.結果表明對原序列先進行m階累加,然后再進行-m階累加,序列就回到原始序列,同時s階累減運算可看成-s階累加運算,最后將分析結果用于廣義復GM(1,1)模型中,并進行誤差分析。

    復數(shù)階累加;廣義復GM(1,1);誤差分析

    1 引言

    鄧聚龍教授曾對GM(1,1)作了十分深入的研究,得到了GM(1,1)模型的多種不同形式,并稱之為GM(1,1)派生模型[1],隨后眾多學者對其進行了補充和完善,文獻[2]中詳細列舉了GM(1,1)模型的8種形式。文獻[3]詳細研究了GM(l,1)模型的適用范圍和擬合誤差,以及發(fā)展系數(shù)和擬合誤差之間的關系。眾多學者從模型背景值,初始條件,級比條件等角度研究了改進模型的擬合誤差與預測精度問題[4-8]。 劉軍等學者[9]基于單增序列比較論證不同GM(1,1)模型解間的相對誤差,證明相對誤差一致上界與序列長度和發(fā)展系數(shù)相關,提供白化模型解代替內涵解時發(fā)展系數(shù)需滿足的條件。 二十世紀七十年代以來,研究人員發(fā)現(xiàn)分數(shù)階微積分可以作為一種很好的描述與刻畫手段,應用于分形幾何、冪律現(xiàn)象與記憶過程等相關現(xiàn)象或過程。文獻[9,10]將矩陣生成技術應用到灰色建模中,提出灰建模的累加生成矩陣和還原矩陣。吳立峰等學者[11]在此基礎上提出分數(shù)階累加生成,并應用到灰色模型中,提出分數(shù)階累加GM(1,1)。

    本文基于上述學者研究,考慮復數(shù)階累加運算,從理論上證明了將所有復數(shù)階累加運算看成一個集合,在集合上定義類似于普通數(shù)的加法運算后,其為一交換群。 同時討論了將所有實數(shù)階累加運算看成所有復數(shù)階累加運算一個子集,其為一子交換群。尤其可以在其上定義商群。分析表明先對原序列進行m階累加,在新得到的序列中再進行l(wèi)階累加,等價于對原序列進行m+l階累加。當m=-l時,即對原序列先進行m階累加,然后再進行-m階累加,序列就回到原始序列,同時s階累減運算可看成-s階累加運算,最后將分析結果用于廣義復GM(1,1)模型中。

    2 復數(shù)階累加生成算子

    針對原始序列

    x(r)=Ax(r-1)=AAx(r-2)=A2x(r-2)=…=Arx(0)

    其中A為一次累加生成矩陣

    這樣,我們可以得到

    (1)

    基于式(1),結合組合數(shù)的推廣,考慮將r由整數(shù)推廣到復數(shù),可以得到復數(shù)階累加生成矩陣。

    定理1針對如式(1)所示的累加生成,先對原序列進行m階累加,在新得到的序列中再進行l(wèi)階累加,等價于對原序列進行m+l階累加。

    證明:由定義1可知

    根據(jù)矩陣的乘法可知

    又由定義1可得

    故有Am·=Am+1。所以x(0)A1=Am+1結論成立。

    定理2將所有復數(shù)階累加運算看成一個集合,在該集合上定義如上的運算,為一交換群,用符號Α表示

    證明:

    (2)對原序列不做任何階累加稱為原序列的0階累加,顯然0階累加即為Α的單位元。

    (3)對原序列進行r階累加,在新得到的序列中再進行-r階累加,則回到原序列,即。故-r為r的逆元。

    又因為對A中的元素r1,r2,先對原序列進行r1階累加,在新得到的序列中再進行r2階累加,等價于先對原序列進行r2階累加。再在新得到的序列中進行r1階累加。即故運算的交換律成立。

    因此Α為交換群。

    綜上所述,先對原序列進行m階累加,在新得到的序列中再進行l(wèi)階累加,等價于對原序列進行m+l階累加。當m=-l時,即對原序列先進行m階累加,然后再進行-m階累加,序列就回到原始序列,同時s階累減運算可看成-s階累加運算。即沒有累減運算。

    2 復數(shù)階累加生成算子

    對于原始數(shù)據(jù)序列x(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)},稱x(r)={x(r)(1),x(r)(2),…,x(r)(n)}為r次累加生成序列,其中x(r)=Arx(0);稱z(r)={z(r)(2),z(r)(3),…,z(r)(n)}為均值生成序列,其中z(r)(k)=0.5x(r)(k-1)+0.5x(r)(k),下面給出如下定義。

    定義 2稱

    x(r-1)(k)+az(r)(k)=b

    (2)

    為復數(shù)階累加灰模型GM(1,1)的定義型,其中k=2,3,…,n,記為CAGM(1,1,D)模型。并稱a為模型發(fā)展系數(shù);b為模型背景值。

    定義 3稱微分方程

    為復數(shù)階累加灰色模型白化微分方程。

    結合初始條件x(r)(1)=x(0)(1)可得到方程(3)的解為

    (4)

    由(4)可以得到(2)的還原值。

    定義 4稱(2)和(4)為復數(shù)階累加灰色模型白化型,記為CAGM(1,1)模型。 CAGM(1,1)模型實際上可看作是GM(1,1)模型在累加生成階數(shù)上的一種推廣,當累加生成階數(shù)r=1+0*i時,CAGM(1,1)模型即為GM(1,1)模型。

    建模步驟如下:

    (1)原始序列計算得到r階累加序列,;

    (2)將生成累加序列的實部和虛部分別進行建模,用最小二乘法估計參數(shù);

    (3)根據(jù)模型求累加序列的模擬值及模型還原值

    (4)檢驗誤差

    3 實例分析

    實例1

    下面本文以2008-2012全社會固定資產投資為例,建立基于復數(shù)階累加的CAGM(1,1)模型,分析模擬結果,并對2013年數(shù)據(jù)進行預測,與真實值進行了比較預測精度。

    例題1以2008年—2012年全國居民消費價格指數(shù)為例,建立了累加生成階數(shù)為1階,1+0.01*i階,1-0.000001*i階以及0.99階,0.99+0.01*i階,0.99-0.000001*i階的CAGM(1,1,D)模型,其中a表示模型的發(fā)展系數(shù),b表示背景值,Δ表示平均相對誤差。

    由表1 可以發(fā)現(xiàn):

    (1)從模擬精度來看,累加階數(shù)為0.99、0.99+0.01*i、0.99-0.000001*i時,其模型的相對誤差明顯小于累加階數(shù)為1、1+0.01*i、1-0.000001*i時;累加階數(shù)為1時模型的模擬精度小于累加階數(shù)為0.99時;

    (2)從預測效果來看,累加階數(shù)為0.99、0.99+0.01*i、0.99-0.000001*i時的預測效果明顯好于累加階數(shù)為1、1+0.01*i、1-0.000001*i時;累加階數(shù)為0.99時模型的預測效果明顯好于累加階數(shù)為1時;

    表1 全社會固定資產投資預測模型

    說明:在二維平面中,1+0.01*i,1-0.000001*i都可視為距離與1+0*i很近的點,故在進行建模過程中,可以進行1階灰色系統(tǒng)建模的數(shù)據(jù)在進行1+0.01*i階,1-0.000001*i階累加后亦滿足指數(shù)分布,可將實部和虛部分別帶入(2)、(3)、(4)進行建模。

    綜合來看累加階數(shù)為0.99階,0.99+0.01*i階,0.99-0.000001*i階的模擬和預測精度較高,其中,累加階數(shù)為0.99時最高,0.99-0.000001*i次之,相對而言,模擬精度和預測精度較低的是1階和1-0.000001*i階。此結果表明復數(shù)階累加在一定情況下可以提高預測和模擬精度,擬合效果要優(yōu)于整數(shù)階累加。

    實例2

    下面本文以全國生產故事影片(部)為例,以2007-2011年數(shù)據(jù)建立基于復數(shù)階累加的CAGM(1,1)模型,并對2012年影片進行預測,最終對模擬及預測結果進行對比分析。

    表2中以2007年—20011年全國生產故事影片數(shù)據(jù)為例,建立了累加生成階數(shù)為1階階以及

    階的模型并對2012年故事影片數(shù)進行預測,其中表示模型的發(fā)展系數(shù),表示背景值,表示平均相對誤差。

    表2 全國生產故事影片預測模型

    通過表2可以發(fā)現(xiàn):

    (1)就模擬精度來看,累加階數(shù)為1時的模擬精度稍高于及階時;

    (2)就預測精度而言,累加階數(shù)為時的預測精度要稍高于時。

    此結果表明復數(shù)階累加在一定情況下的預測效果要優(yōu)于整數(shù)階累加,但擬合精度稍差于整數(shù)階累加。

    4 結論

    本文考慮復數(shù)階累加運算,將所有復數(shù)階累加運算看成一個集合,在集合上定義類似于普通數(shù)的加法運算后,其為交換群。同時討論了將所有實數(shù)階累加運算看成所有復數(shù)階累加運算一個子集,其為一子群,并可以在其上定義商群。分析表明先對原序列進行m階累加,在新得到的序列中再進行l(wèi)階累加,等價于對原序列進行m+l階累加;對原序列先進行m階累加,然后再進行-m階累加,序列就回到原始序列。同時s階累減運算可看成-s階累加運算,從理論上證明了進行復數(shù)階累加的可行性。最后將分析結果用于廣義復GM(1,1)模型中,通過分析發(fā)現(xiàn)復數(shù)階累加在一定情況下的擬合效果和預測結果并不比整數(shù)階累加差,甚至要優(yōu)于整數(shù)階累加,至于在哪些情況下還需進行進一步的研究。

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    [9]劉軍,肖新平,郭金海. 單增序列灰色GM(1,1)模型解之間的誤差分析[J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐(錄用待刊).

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    [12]楊子胥.近世代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2003.

    (責任編輯:馬玉鳳)

    Complex Order Accumulation and Its Use in Generalized Plural GM(1,1)

    WU zheng-peng,LIU Yong-fei

    (School of Science,Communication University of China,Beijing 100024)

    Based on the definition of complex order accumulation,this paper has many interesting results. First,all of complex order accumulations is a commutative group,and real order accumulations is a subgroup,according to ordinary addition of number and number-multiply. By themorder accumulation of raw data and thenlorder accumulation,it is the same as them+lorder accumulation. asmis equal to-m,it went back to its original sequence. The accumulation ofsorder is the same as the inverse accumulation of-sorder. At last,it was used in discrete GM(1,1)model.

    complex order accumulation;discrete GM(1,1);error analysis

    2015-07-06

    吳正鵬(1966-),男(漢族),安徽省廬江縣人,副教授,博士.E-mail:wuzhengpeng@126. com

    N941

    A

    1673-4793(2016)01-0006-07

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