一種改進(jìn)的車輛跟馳動(dòng)力學(xué)模型

曹寶貴 楊兆升

(吉林大學(xué)交通學(xué)院∥汽車仿真與控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，吉林長(zhǎng)春130025)

跟馳模型的研究最早始于1953年，Pipes等［1］通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究得到了如下刺激－反應(yīng)模式的線性跟馳模型:

式中:λ為反應(yīng)靈敏度系數(shù)(常數(shù));vn+1(t)為第n+1輛車(跟隨車)的速度;vn(t)為第n輛車(頭車)速度.

該模型體現(xiàn)了后車對(duì)前車的速度變化會(huì)選擇加速或減速來(lái)調(diào)整自身的速度，有其一定的合理性，而且該模型相對(duì)簡(jiǎn)單，因而得到了相當(dāng)長(zhǎng)一段時(shí)間應(yīng)用，對(duì)后來(lái)跟馳模型的發(fā)展奠定了基礎(chǔ).然而，當(dāng)前、后車的車速相等時(shí)，無(wú)論兩車相距多遠(yuǎn)后車都不會(huì)做出反應(yīng)，顯然該模型無(wú)法解釋這種不合理的現(xiàn)象.

后來(lái)逐漸有人意識(shí)到該模型的這一問(wèn)題，并試圖對(duì)其加以改善，Robert等［2-3］提出了如下非線性跟馳模式:

可以看出，該模型不僅考慮了兩車速度差的影響，還注意到了兩車間距對(duì)后車行為的影響，較前模型進(jìn)步，但兩車速度相等時(shí)，無(wú)論兩車相距多遠(yuǎn)后車都不會(huì)做出反應(yīng)的缺陷仍沒(méi)有得到解決.

而General Motors(GM)組聯(lián)結(jié)組內(nèi)、外大批優(yōu)秀科學(xué)家進(jìn)行了豐富的現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)和模型參數(shù)標(biāo)定研究［4］，通過(guò)不懈的努力，共得出了遞進(jìn)的五代跟馳模型，其最終的形式表達(dá)如下:

式中:l為車頭間距指數(shù);m為速度指數(shù).

通過(guò)指數(shù)l與m的不同取值，可以得到此前所有的跟馳模型.然而，兩車速度相等時(shí)，無(wú)論兩車相距多遠(yuǎn)后車都不會(huì)做出反應(yīng)的局限性問(wèn)題，該模型仍未能解決.

為此，Bando等［5］從另一種角度提出了優(yōu)化速度模型(OVM):

該模型中V(Δx)是兩車距離的函數(shù)，稱之優(yōu)化速度，詳見(jiàn)文獻(xiàn)［5］.該模型不僅考慮了本車速度的影響，還考慮到了兩車距離的影響，解決了此前模型中車間距不會(huì)對(duì)后車產(chǎn)生影響的局限性問(wèn)題，且能夠描述實(shí)際交通流的許多定性特征，如交通失穩(wěn)、阻塞演化、時(shí)走時(shí)停等.

社會(huì)主義核心價(jià)值觀在中國(guó)思想政治教育中占據(jù)主導(dǎo)地位，它是民族的靈魂和精神，是一個(gè)國(guó)家生生不息的重要力量，因此社會(huì)主義核心價(jià)值觀教育的內(nèi)容必須是主流的和嚴(yán)肅的。 由于各式各樣的新媒體手段已經(jīng)完全進(jìn)入大學(xué)生的精神世界，成為大學(xué)生獲取各種學(xué)習(xí)信息的主要方式和手段，它拓寬了大學(xué)生學(xué)習(xí)的選擇空間，但也會(huì)對(duì)其思維方式和認(rèn)知方式產(chǎn)生不利的影響。

但是，筆者用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn)OVM會(huì)產(chǎn)生過(guò)高的加速度以及不切實(shí)際的減速度.Helbing和Tilch［6-7］在使用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)OVM參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)時(shí)，也發(fā)現(xiàn)同樣問(wèn)題.后來(lái) Helbing等［7］在 OVM 基礎(chǔ)上又提出了改進(jìn)的廣義力模型(GFM)［7］.該模型克服了OVM加速度過(guò)大問(wèn)題，同實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的一致性比OVM更好.然而該模型需標(biāo)定的參數(shù)太多，文獻(xiàn)［8］中還發(fā)現(xiàn)，此模型模擬車輛啟動(dòng)時(shí)會(huì)產(chǎn)生推遲時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，啟動(dòng)時(shí)小擾動(dòng)傳播速度過(guò)慢的現(xiàn)象.

跟馳模型試圖闡述不允許超車條件下的兩個(gè)或多個(gè)車輛間的相互作用，不同的理論模型，從不同的角度來(lái)研究交通流規(guī)律［9-13］，其分析理論已構(gòu)成微觀交通流理論研究的基礎(chǔ)，并為交通流微觀理論與宏觀理論之間的統(tǒng)一架起了橋梁［14-16］.

文中針對(duì)現(xiàn)有跟馳模型的不足，在已有研究成果的基礎(chǔ)上提出了一種新的期望速度函數(shù)，進(jìn)而建立了改進(jìn)的車輛跟馳動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)其進(jìn)行了擾動(dòng)穩(wěn)定性分析，最后運(yùn)用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行了參數(shù)標(biāo)定和實(shí)用性驗(yàn)證.

1 期望速度與改進(jìn)模型的建立

1.1 模型建立

從實(shí)際交通中獲知，所有駕駛員都不希望頻繁的加速、減速駕駛，大多更希望一種平穩(wěn)的駕駛狀態(tài).根據(jù) LWR(Lighthill-Whitham-Richards)理論，若交通流處于穩(wěn)定的平衡態(tài)時(shí)，所有車輛將保持一致的車頭間距離de(k)，并以車速ve(k)行駛，其中k為交通流密度;當(dāng)車速較大時(shí)，de(k)會(huì)增加，當(dāng)車速較小時(shí)，de(k)會(huì)相應(yīng)減小.基于上述認(rèn)識(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)跟馳車輛的駕駛行為(加速或減速)決策的依據(jù)實(shí)際上并不是相鄰兩車的相對(duì)距離Δxn，而是兩車的相對(duì)距離Δxn與平衡距離de(k)的差Δxn－de(k).因此

(1)Δxn＞de(k)，跟馳車輛選擇加速，以跟上前方車輛;

(2)Δxn＜de(k)，跟馳車輛選擇減速，以防止發(fā)生碰撞;

(3)Δxn=de(k)，跟馳車輛保持勻速.

基于上述思想，筆者提出了一個(gè)新的優(yōu)化速度函數(shù):

并稱之為期望速度(DV).其中，C1為待標(biāo)定系數(shù);ve(k)為平衡態(tài)時(shí)的車速，即平衡速度;de(k)為平衡態(tài)時(shí)車頭間距離，可由平衡的速－密關(guān)系推導(dǎo)得到.如由經(jīng)典的線性Greenshieds模型［3］即可獲得:

圖1 雙曲正切函數(shù)隨相鄰車頭間距變化圖Fig.1 Change of hyperbolic tangent function with relative distance headway

1.2 期望速度合理性討論

由圖1可看出，Vd(Δxn，de(k))具有極小值和極大值，Vd(Δxn，de(k))始終位于［0，vmax］區(qū)間內(nèi)，因而模型從理論上避免了不切實(shí)際的期望速度.然后，與前面模型一樣，基于刺激－反應(yīng)模式得到了期望速度模型(DVM):

式中:εn為包含駕駛員個(gè)性行為差異的波動(dòng)項(xiàng)，文中εn取為零，假設(shè)駕駛員之間無(wú)個(gè)性差別.

實(shí)際上，若不考慮駕駛員間個(gè)性差別，當(dāng)Δxn=de(k)時(shí)，即可由式(7)推出Pipes模型，因而Pipes模型是文中DVM的特例.

2 模型穩(wěn)定性分析

2.1 理論依據(jù)

任何動(dòng)力學(xué)過(guò)程都存在運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性問(wèn)題，由經(jīng)典控制理論可知，線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只決定于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與此相反，非線性系統(tǒng)的情況要復(fù)雜得多［16］.式(7)實(shí)質(zhì)上是個(gè)典型的時(shí)變非線性二階時(shí)滯微分方程或延時(shí)微分方程 (DDEs)，其中未知函數(shù)在確定時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)由先前時(shí)刻函數(shù)所決定.文中根據(jù)李雅普諾夫(Lyapunov)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性理論［16］，將運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)擾動(dòng)變量平衡位置穩(wěn)定性的研究，然后獲得系統(tǒng)一次近似擾動(dòng)狀態(tài)微分方程的特征方程，再根據(jù)微分方程特征根(線)來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性.然而，對(duì)于時(shí)滯微分方程，特征方程可以得到連續(xù)統(tǒng)一解，使得分析變得很困難.文中主要給出當(dāng)時(shí)滯τ=0時(shí)的線性穩(wěn)定性判別過(guò)程和結(jié)果，對(duì)于時(shí)滯τ≠0時(shí)的穩(wěn)定性問(wèn)題，筆者將另文加以論述.

2.2 穩(wěn)定性分析過(guò)程及結(jié)果

首先，可設(shè)ξn為具有一致車頭間距de(k)的的一個(gè)小的擾動(dòng)偏離量，那么xn=+ξn，代入等式(7)得擾動(dòng)微分方程:

依據(jù)李亞普諾夫第一近似理論［9］，式(8)可化為

其中，系數(shù)f=V'(de(k)).

然后引入具有正交集 eiαjn的傅里葉級(jí)數(shù)，令擾動(dòng)

擴(kuò)展上述傅里葉級(jí)數(shù)，并代入微分方程(9)，可獲得特征方程:

解特征方程(11)得到穩(wěn)定性判定標(biāo)準(zhǔn):

式(12)的平面圖形如圖2所示.

可看出，(f，α)平面被 u (f，α)=0 臨界曲線分為穩(wěn)定區(qū)域和不穩(wěn)定區(qū)域兩種情況.其中，填充區(qū)域總是穩(wěn)定的，該結(jié)論與文獻(xiàn)［5］中得出的穩(wěn)定性結(jié)論是一致的.

圖2 (f，α)平面圖Fig.2 (f，α)solution plan

3 參數(shù)的標(biāo)定和模型驗(yàn)證比較

為驗(yàn)證模型在實(shí)際中的應(yīng)用性效果，文中運(yùn)用在環(huán)形實(shí)驗(yàn)路線上通過(guò)五輪儀實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)采集到的車輛跟馳實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)比驗(yàn)證了 OVM、GFM、采用Vd(Δxn，de(k))后的GFM’和本文提出的DVM的有效性.跟馳實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)包括車輛啟動(dòng)過(guò)程(加速)、勻速過(guò)程、制動(dòng)過(guò)程(減速)的位移x、加速度a和速度v數(shù)據(jù)，采樣間隔為1s，樣本量為1024組，部分?jǐn)?shù)據(jù)結(jié)果列于表1中.各模型模擬結(jié)果與實(shí)測(cè)跟馳數(shù)據(jù)擬合情況見(jiàn)圖3.

(1)采用GFM原文中優(yōu)化速度和參數(shù)［7］(V1=5.95m/s;V2=5.91m/s;C1=0.13m－1;C2=1.57;車身長(zhǎng) lc取 5 m;K=0.41 s－1)，得到 GFM 模擬與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比結(jié)果見(jiàn)圖3(a).可看出，GFM沒(méi)有出現(xiàn)不切實(shí)際的啟動(dòng)加速度，啟動(dòng)過(guò)程至勻速過(guò)程都與實(shí)驗(yàn)結(jié)果較為一致，但在減速制動(dòng)過(guò)程，跟馳車輛的減速度卻發(fā)生了一次跳躍現(xiàn)象(波動(dòng)).

表1 實(shí)測(cè)頭車與跟馳車數(shù)據(jù)Table 1 Car-following experimental data

(2)采用文中的期望速度函數(shù)和參數(shù)，仍使用GFM模擬，模擬與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比結(jié)果見(jiàn)圖3(b).可看出，減速制動(dòng)時(shí)跟馳車輛的跳躍現(xiàn)象減小了.當(dāng)GFM的λ=0.2(系列2)時(shí)，減速過(guò)程與實(shí)驗(yàn)結(jié)果(系列1)較為一致，但加速時(shí)誤差卻很大.當(dāng)GFM的λ=0.41(系列3)時(shí)，加速過(guò)程與實(shí)驗(yàn)結(jié)果擬合較好，但減速時(shí)偏差卻很大.OVM在加速和減速時(shí)誤差都較大，故在此未列出.

(3)DVM模擬與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比結(jié)果見(jiàn)圖3(c).通過(guò)實(shí)測(cè)跟馳數(shù)據(jù)，按照基于進(jìn)化的Boltzmann策略優(yōu)化步驟，采用平均相對(duì)平方差最小原則得到DVM參數(shù)優(yōu)化結(jié)果為 C1=0.4，λ=0.31.可看出，DVM在車輛啟動(dòng)過(guò)程、勻速過(guò)程(近似)、制動(dòng)過(guò)程模型模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合誤差均較小.解決了Pipes和Herman等模型中，兩車速度相等時(shí)，無(wú)論兩車相距多遠(yuǎn)后車都不會(huì)做出反應(yīng)的缺陷問(wèn)題，沒(méi)有出現(xiàn)OVM中過(guò)高的啟動(dòng)加速度，亦沒(méi)有GFM在減速制動(dòng)過(guò)程中大的加速度波動(dòng)現(xiàn)象.

圖3 GFM、GFM'與DVM模擬加速度與實(shí)測(cè)結(jié)果Fig.3 Acceleration simulation results of GFM，GFM'and DVM and experimental data

4 結(jié)論

文中提出了一種新的優(yōu)化速度函數(shù)(期望速度)，進(jìn)而建立了改進(jìn)的車輛跟馳動(dòng)力學(xué)模型，并運(yùn)用李亞普諾夫穩(wěn)定性理論對(duì)該模型進(jìn)行了穩(wěn)定性分析，最后，運(yùn)用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行了參數(shù)標(biāo)定和驗(yàn)證.結(jié)果表明:改進(jìn)后模型沒(méi)有發(fā)生原模型出現(xiàn)的不切實(shí)際的啟動(dòng)加速度，跟馳車輛的啟動(dòng)加速度、速度較OVM等模型更符合實(shí)際交通情況，對(duì)真實(shí)交通流具有更好的適用性.

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