平面向量的妙用賞析

■王雯茜

作者單位：湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)類韶峰班

向量作為聯(lián)系代數(shù)與幾何的紐帶，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，是高中數(shù)學(xué)的一個重要知識點。下面讓我們來一睹平面向量在解題中的風(fēng)采吧。

一、利用平面向量妙解平面幾何問題

例1 在平行四邊形A B C D中，已知A D=1，A B=2，對角線B D=2，求對角線A C的長。

解：設(shè)。由已知可得|a|=1，|b|=2，|a-b|=2，則(a-b)2=|a-b|2=4，即a2-2a·b+b2=4，1-2a·b+4=4，所以a·。因為|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·，所以即對角線A C的長為

評析：本題依據(jù)向量加法運算的平行四邊形法則和減法運算的三角形法則，把平行四邊形的對角線的長轉(zhuǎn)化為向量的模，再利用向量的運算法則求模長。

二、利用平面向量妙求函數(shù)的值域

例2 求函數(shù)的值域。則 函 數(shù)，其中

解：令向量a=(1，-1)，向量b=

向量b所對應(yīng)的點位于第一象限或兩坐標軸的正半軸上，且

評析：本題巧妙地將函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為兩個向量的數(shù)量積形式，進而再轉(zhuǎn)化為關(guān)于向量夾角的三角函數(shù)的值域問題，值得注意的是這類問題中所構(gòu)造的向量的的模必須是定值。

三、利用平面向量妙求函數(shù)的最值

例3 當(dāng)x為何值時，函數(shù)y=有最小值，并求出這個最小值。

解：將原函數(shù)變形為，設(shè)向量m=(x-2，3)，n=(x-5，-1)，則，當(dāng)且僅當(dāng)m與n反向，即時取等號，所以當(dāng)x=時，所求函數(shù)的最小值為5。

評析：本題先構(gòu)造向量，再利用向量不等式求出函數(shù)的最值。向量不等式主要有以下四種：，當(dāng)且僅當(dāng)m與n同向時取等號；②，當(dāng)且僅當(dāng)m與n反向時取等號；，當(dāng)且僅當(dāng)m與n反向時取等號；④當(dāng)且僅當(dāng)m與n同向時取等號。

四、利用平面向量妙證不等式

例4 若正數(shù)a，b滿足a+b=1，求證：

證明：構(gòu)造向量m=(a，b)，n=(b，a)，則由，容易得到所以a2+，當(dāng)a=b時取等號。故原命題成立。

評析：利用向量證明不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造適合題意的向量。