數(shù)學(xué)概念的結(jié)構(gòu)化教學(xué)

繆亞紅

[摘要]揭示概念的本質(zhì)是概念教學(xué)的核心。在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的過(guò)程中，教師可以通過(guò)結(jié)構(gòu)化手段，從橫向結(jié)構(gòu)化、縱向結(jié)構(gòu)化以及綜合結(jié)構(gòu)化，讓學(xué)生多視角、多層次、多維度地理解概念。通過(guò)變與不變思想，引導(dǎo)學(xué)生排除無(wú)關(guān)信息，抓住本質(zhì)特征，從而理解概念的內(nèi)涵，完成對(duì)概念的結(jié)構(gòu)化建構(gòu)。

[關(guān)鍵詞]教學(xué);概念;結(jié)構(gòu)化

[中圖分類(lèi)號(hào)]G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)]1007—9068（2019）32—0082—02

概念是數(shù)學(xué)的細(xì)胞，概念學(xué)習(xí)是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根基，直接關(guān)乎學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的品質(zhì)。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，掌握一個(gè)概念就是要理解概念的內(nèi)涵、外延、特征、性質(zhì)以及規(guī)律等。為了讓學(xué)生清晰地建構(gòu)概念系統(tǒng)，我建議采用結(jié)構(gòu)化教學(xué)方式，力圖讓學(xué)生多視角、多層次、多維度地理解概念，完成對(duì)概念的結(jié)構(gòu)化建構(gòu)。

一、橫向結(jié)構(gòu)化：引導(dǎo)學(xué)生在多維表征中理解概念

皮亞杰認(rèn)為：“全部的數(shù)學(xué)知識(shí)都可以從結(jié)構(gòu)的建構(gòu)來(lái)考慮，而且這種建構(gòu)始終是完全開(kāi)放的……這種結(jié)構(gòu)或正在形成‘更強(qiáng)的結(jié)構(gòu)，或再由‘更強(qiáng)的結(jié)構(gòu)來(lái)予以結(jié)構(gòu)化。”學(xué)生只有從多個(gè)角度來(lái)表征概念，才能掌握概念的本質(zhì)。在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，我認(rèn)為應(yīng)改變概念表征的外在形式，通過(guò)變易——變與不變思想來(lái)引導(dǎo)學(xué)生在多維表征中理解概念。

在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（一）”時(shí)，我先給學(xué)生提供了正方形的紙，讓學(xué)生用自己的方式表示這張紙的二分之一。學(xué)生有不同的表示方法，有學(xué)生涂色表示，有學(xué)生對(duì)折表示，還有學(xué)生在正方形內(nèi)畫(huà)出一條直線，將圖形分成完全相同的兩份來(lái)表示。接著，我組織學(xué)生展開(kāi)討論：為什么涂色、對(duì)折都可以表示這張紙的二分之一呢？除了這些涂色、對(duì)折的方法外，還有沒(méi)有其他的方法能表示這張紙的二分之一呢？這些問(wèn)題引發(fā)了又一次深度探究和激烈爭(zhēng)辯。學(xué)生通過(guò)用多種方法對(duì)二分之一進(jìn)行表征，對(duì)二分之一的本質(zhì)有了深刻的認(rèn)識(shí)。之后，我給學(xué)生提供了一些素材，包括一個(gè)圓形、一根一米長(zhǎng)的繩子、一瓶果汁等等，讓學(xué)生描述這些物體的二分之一。豐富的素材不僅讓學(xué)生認(rèn)識(shí)了二分之一，更讓學(xué)生明確了“怎樣得到二分之一”“得到了誰(shuí)的二分之一”，為學(xué)生學(xué)習(xí)單位“1”的量奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

橫向結(jié)構(gòu)化，讓學(xué)生從多個(gè)視角表征分?jǐn)?shù)，包括同一素材的不同表征、不同素材的相同表征。多元概念表征給了學(xué)生充分比較、思考、交流、辨析的機(jī)會(huì)，從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)分?jǐn)?shù)概念的意義建構(gòu)。由于學(xué)生在多元表征中建立了豐富的表象，因而對(duì)分?jǐn)?shù)的理解就更為深刻。橫向結(jié)構(gòu)化的多維表征，有助于學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維由操作水平提升為分析水平，由具象走向抽象，由外延走向?qū)嵸|(zhì)。

二、縱向結(jié)構(gòu)化：引導(dǎo)學(xué)生在深層表征中理解概念

布魯納深刻地指出：“掌握事物的結(jié)構(gòu)，就是允許別的東西與它有意義地聯(lián)系起來(lái)。簡(jiǎn)單地說(shuō)，學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的?！币粋€(gè)人對(duì)事物的表征方式通常有三種：直觀動(dòng)作表征、具體形象表征和抽象邏輯表征?？v向結(jié)構(gòu)化，就是引導(dǎo)學(xué)生從外在的直觀動(dòng)作表征過(guò)渡到內(nèi)在的符號(hào)意義表征，讓學(xué)生在深層表征中理解概念。

例如，在教學(xué)“認(rèn)識(shí)線段”時(shí)，我引導(dǎo)學(xué)生用動(dòng)作、形象、符號(hào)等不同方式認(rèn)識(shí)線段的概念，幫助學(xué)生掌握線段的本質(zhì)。首先，我讓一位學(xué)生玩溜溜球，引導(dǎo)學(xué)生觀察溜溜球的線的變化。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，在球下落時(shí)，線被拉直，此時(shí)學(xué)生心中會(huì)建立“直直的線”的表象。接著，我動(dòng)手操作，將一根彎彎的毛線拉直，多次移動(dòng)捏住毛線兩端的手的位置，并讓學(xué)生指出線段是從哪兒到哪兒，從而幫助學(xué)生建立“端點(diǎn)”表象，認(rèn)識(shí)到線段是“有長(zhǎng)有短”“有限長(zhǎng)”“可度量”的。在操作表征的基礎(chǔ)上，我用手捏住一根毛線并將它“請(qǐng)”到黑板上，然后用兩個(gè)磁鐵固定，讓學(xué)生用筆畫(huà)出毛線的長(zhǎng)度，并思考：怎樣表示兩個(gè)磁鐵的位置？由此，學(xué)生在線的兩端畫(huà)出了兩個(gè)小圓點(diǎn)。再接著，我拿出一張紙，折出一道折痕，讓學(xué)生判斷折痕是否是一條線段。學(xué)生通過(guò)分析知道：折痕是直直的，有起點(diǎn)和終點(diǎn)，因此它是一條線段。同時(shí)學(xué)生深刻地認(rèn)識(shí)到，手、磁鐵等都不是線段的一部分，它們的作用只是幫助我們表明線段起點(diǎn)和終點(diǎn)。最后，我要求全體學(xué)生閉上眼睛，想象線段的模樣。學(xué)生畫(huà)出長(zhǎng)短不一的線段，在觀察線段后，學(xué)生抽象出線段的共同特征——線段是直直的，且有兩個(gè)端點(diǎn)。

從對(duì)線段的直觀動(dòng)作表征到對(duì)線段的具體形象表征，再到對(duì)線段的抽象符號(hào)表征，學(xué)生穿行于具體、半抽象與抽象之間。各種表征之間緊密關(guān)聯(lián)，既有助于學(xué)生把握線段的本質(zhì)，又有助于學(xué)生將線段形象化、具體化。如此教學(xué)，學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解便水到渠成，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自然能拾級(jí)而上。

三、綜合結(jié)構(gòu)化：引導(dǎo)學(xué)生在關(guān)系表征中理解概念

教育心理學(xué)家?jiàn)W蘇貝爾深刻地指出：“當(dāng)學(xué)習(xí)材料本身具有邏輯意義，而學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中又具備適當(dāng)?shù)闹R(shí)基礎(chǔ)，那么，這種學(xué)習(xí)材料對(duì)于學(xué)習(xí)者就構(gòu)成了潛在的意義。”在概念教學(xué)中，教師要努力在數(shù)學(xué)概念與學(xué)生的概念學(xué)習(xí)之間建立聯(lián)系，從而助推學(xué)生理解概念。學(xué)習(xí)概念不僅僅依靠揭示概念本質(zhì)的材料，還依靠概念之間相互依存的關(guān)系。只有在具有系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性的概念中探究，概念的本質(zhì)才會(huì)更加敞亮。

綜合結(jié)構(gòu)化，既包括橫向結(jié)構(gòu)化，即對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行聚類(lèi)揭示，又包括縱向結(jié)構(gòu)化，即對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行分類(lèi)揭示。綜合結(jié)構(gòu)化能促進(jìn)學(xué)生的概念同化，從而不斷優(yōu)化學(xué)生的概念結(jié)構(gòu)。例如，在教學(xué)“三角形的認(rèn)識(shí)”時(shí)，其中難點(diǎn)就是三角形的高。根據(jù)課前調(diào)查，我發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生認(rèn)為自上而下、豎直的線段就是三角形的高?；诖耍蚁茸寣W(xué)生復(fù)習(xí)“點(diǎn)到直線的距離”，讓學(xué)生過(guò)直線外的一點(diǎn)作已知直線的垂線。然后，我借助多媒體課件，用各種變式（標(biāo)準(zhǔn)正例、非標(biāo)準(zhǔn)正例）將點(diǎn)到直線的垂線呈現(xiàn)出來(lái)。學(xué)生透過(guò)各種變式，能捕捉到互相垂直的本質(zhì)——兩條直線相交成直角。如此，學(xué)生在畫(huà)銳角三角形的高時(shí)，就能分別從三個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線。在此基礎(chǔ)上，我出示直角三角形、鈍角三角形，讓學(xué)生分別作它們的高。在后續(xù)教學(xué)平行四邊形、梯形的高時(shí)，我及時(shí)將三角形的高融入其中，如此，學(xué)生就能通過(guò)直線上的一點(diǎn)作垂線、過(guò)直線外的一點(diǎn)作垂線、過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)作垂線、在平行四邊形兩條對(duì)邊之間作垂線以及在梯形的上底、下底之間作垂線。

數(shù)學(xué)概念之間是存在著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系的，每一個(gè)數(shù)學(xué)概念都有共通性。通過(guò)概念的結(jié)構(gòu)性關(guān)系，可以讓學(xué)生深化概念的本質(zhì)。在概念教學(xué)中，教師不僅要提供正例，還應(yīng)該提供反例，通過(guò)正例、反例變式、多維、多向變式，不斷完善學(xué)生的概念結(jié)構(gòu)。

概念教學(xué)，基于學(xué)生的“生活化經(jīng)驗(yàn)”來(lái)提升學(xué)生的“結(jié)構(gòu)性理解”。小學(xué)數(shù)學(xué)概念結(jié)構(gòu)化教學(xué)，是以變與不變思想為手段的。在概念建構(gòu)中，教師不僅要重視概念與學(xué)生生活的關(guān)系、概念與學(xué)生認(rèn)知心理的關(guān)系，還要重視概念與概念之間的關(guān)系。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解是由淺入深、由經(jīng)驗(yàn)及本質(zhì)、由表及里的，只有表征形式不斷變化，才能讓學(xué)生理解概念的本質(zhì)，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的建構(gòu)。

（責(zé)編 黃露）