真問題·真研究·真收獲

潘智

[摘要]在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師依靠問題與學(xué)生進(jìn)行互動和教學(xué)。合理的問題能更有效地提升數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。從一道易錯題入手，有針對性、有層次性、有啟發(fā)性地設(shè)計問題，借助結(jié)構(gòu)化問題，引導(dǎo)學(xué)生深入探究，使學(xué)生達(dá)到理解算理、運用算法的學(xué)習(xí)目的。

[關(guān)鍵詞]結(jié)構(gòu)化問題;余數(shù);優(yōu)化算法

[中圖分類號]G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A [文章編號] 1007—9068（2019）32—0008—03

所謂結(jié)構(gòu)化問題，即在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，以學(xué)生的知識經(jīng)驗和現(xiàn)有數(shù)學(xué)能力為基礎(chǔ)，構(gòu)建的一套有針對性、層次性和系統(tǒng)性的問題組。這里的“結(jié)構(gòu)化”有兩層含義：一是環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)，問題之間有關(guān)聯(lián)性，用以有序激發(fā)、指導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)探索活動;二是指問題有深度和廣度，在問題組的設(shè)計中，緊緊圍繞核心問題，縱向和橫向均有效發(fā)散，最后又回歸核心問題，促進(jìn)學(xué)生構(gòu)建完整的知識體系，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。本文以蘇教版教材四年級上冊“兩、三位數(shù)除以兩位數(shù)”的單元檢測中，學(xué)生的一道易錯題為例，探討如何在教學(xué)中應(yīng)用結(jié)構(gòu)化問題激起學(xué)生的研究熱情，激活學(xué)生的研究潛力，激發(fā)學(xué)生的探索精神。

一、核心問題為起點

數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生已有的知識經(jīng)驗和認(rèn)知發(fā)展水平之上，任何問題的提出也要以此為基礎(chǔ)，才能避免成為無源之水、無本之木。有道是“良好的開端就是成功的一半”，好的問題能激發(fā)學(xué)生的興趣，使學(xué)生產(chǎn)生好奇心和求知欲。同樣，好的問題也應(yīng)抓住知識的本質(zhì)、觸及知識的核心。因此，無論在何種情境之下，都要讓核心問題成為起點，讓學(xué)生站在自己的知識結(jié)構(gòu)之上開展數(shù)學(xué)活動。

在“兩、三位數(shù)除以兩位數(shù)”的單元檢測中有一題“108÷28”，此題的本意是讓學(xué)生用豎式進(jìn)行計算，小華同學(xué)卻運用簡便計算方法：

108÷28

=108÷4÷7

=27÷7

=3……6

這里利用了一個運算規(guī)律：a÷b=a÷c÷d（其中6=c×d）。4×7=28，所以108÷28=108÷4÷7沒錯;因為108÷4=27，所以108÷4÷7=27÷7也沒錯;27÷7=3……6同樣沒問題！但是正確的余數(shù)是24，究竟問題出在哪里？小華不解，所有人都覺得不可思議。

這不是教材中的內(nèi)容，卻是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“真問題”。這個問題的核心就是對算理的理解，產(chǎn)生兩種結(jié)果的原因就在于它們的算理不同。因此，我向?qū)W生提出了本次研究中的第一個也是核心的問題：“這樣的算法合理嗎？小華同學(xué)能解釋你做法的合理性嗎？”一石激起千層浪，學(xué)生的好奇心、好勝心被“點燃”，他們紛紛說出了自己的觀點和想法：

“我覺得余數(shù)是錯的，但是又不知道怎么說明。”

“我認(rèn)為小華的算法是合理的，可余數(shù)為什么是6還是要通過生活中的例子來說明一下?！?/p>

“是的，除法就是平均分，我們可以用東西分一分啊！”

“108太多了，到哪里找這么多東西去分呢？”

提出問題后不一定立刻就要有答案，教師應(yīng)該為學(xué)生提供一定的自主思考與探索的時間，使大部分學(xué)生都能經(jīng)歷問題的解決過程，從而真正成為學(xué)習(xí)的主人。因此，我讓學(xué)生課后開展探究，可以與同學(xué)或父母進(jìn)行合作，也可以自己動手試一試。

果不其然，第二天小華自己就有了發(fā)現(xiàn)：

“昨天同學(xué)們提醒我，除法就是平均分，可以拿108個物體來分一分，但是這么多數(shù)量的東西不好找，所以我就想到了用108粒米來分?！?/p>

“我和爸爸首先根據(jù)108÷28的平均分意義，每28粒分一份，共分成了3份，還剩24粒，余數(shù)確實是24。”

“接著按我的簡便算法來平均分，108÷28=108÷4÷7，先把108粒米平均分成4份，每份是27粒，再根據(jù)第二步算式‘27÷7將每7粒米分一堆，這樣每一堆都可以分成3份，剩6粒?！?/p>

“將兩次的結(jié)果一對比，就很容易發(fā)現(xiàn)：其實按照簡便計算的方法，最終剩下的總的余數(shù)（不在圓圈里的）也是24，余數(shù)6只是其中一份的余數(shù)，一共有4份，每份都余6粒米，所以正確的余數(shù)就是4×6=24?！?/p>

“我寫的6應(yīng)該叫小余數(shù)，24才是大余數(shù)?。　?/p>

“小余數(shù)”——這個名字真不錯！學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的方式探究核心問題，闡述了自己的算理與算法，提出“小余數(shù)”的概念，完成了真研究的起始工作。

二、關(guān)聯(lián)問題顯維度

提問就像是點亮明燈，能指引學(xué)生學(xué)習(xí)的方向，可探索知識的道路還是需要學(xué)生自己去尋找，實踐操作就是他們尋找的工具。在學(xué)生探索知識的道路上，這盞明燈所能照到的地方越多，學(xué)生的思維就越廣闊，思維品質(zhì)就越能得到有效的鍛煉。這時，要依靠從核心問題引申出的、有層次性的、有針對性的多維度問題，幫助學(xué)生明晰算理、厘清思路、拓展方法。

為了對“小余數(shù)”進(jìn)行“真研究”，我引導(dǎo)學(xué)生從以下幾個問題開始探究。

問題一：每一個這樣的計算都會有“小余數(shù)”嗎？“小余數(shù)”和“大余數(shù)”之間有聯(lián)系嗎？

“我們列舉出這么多算式，它們兩種計算方法得到的余數(shù)確實都不一樣，一個大的，一個小的，真的有‘大余數(shù)和‘小余數(shù)之分了?！?/p>

“‘小余數(shù)雖然不是正確的余數(shù)，但是分米粒時已經(jīng)說得很清楚，所有的‘小余數(shù)加起來就是‘大余數(shù)。我認(rèn)為遇到有余數(shù)的題目完全可以用這樣的簡便方法進(jìn)行計算，只是最后要把‘小余數(shù)乘第一個除數(shù)才能得到‘大余數(shù)。

108÷28=3……24.

108÷28=108÷4÷7=27÷7=3……6：

252÷32=7……28.

252÷32=252÷4÷8=63÷8=7……7：

570÷35=16………10，

570÷35=570÷5÷7=114÷7=16……2;

999÷12=83……3，

999÷12=999÷3÷4=333÷4=83……1。

如6×4=24、7×4=28、2×5=10、1×3=3等，道理也很簡單，因為‘大余數(shù)是按照第一次除法的份數(shù)去平均分的，所以第一次的除數(shù)是幾，‘小余數(shù)就有幾份。”

問題二：有的小組舉例428÷63=428÷7÷9，可是第一步計算428÷7時就有余數(shù)，像這樣第一步就產(chǎn)生余數(shù)的算式，還能簡便計算嗎？如果能，“小余數(shù)”和“大余數(shù)”之間又有怎樣的關(guān)系？

第一次研究時，有近一半的小組遇到了同樣的困難，只是他們及時更換了數(shù)據(jù)。新的問題讓他們重新回到深度研究之中。雖然有點難度，但是學(xué)生很快還是有了發(fā)現(xiàn)，如圖：

“這是根據(jù)小華的分米粒想到的辦法，我們小組嘗試畫圖來表示。從圖中可以看出，先算428÷7將428平均分成7份，每份是61，余數(shù)為1;接下來應(yīng)該將7個61都按每9個一份進(jìn)行平均分，每個61都可以平均分成6份，余7個。因此最終商為6，余數(shù)一共有7×7+1=50，這答案與用豎式計算的結(jié)果是一樣的?！?/p>

“其實就是正常一步步地計算，只不過第二次計算時是用第一次得到的商繼續(xù)除，余數(shù)先放到一邊，最后還原成‘大余數(shù)時，一定要把這個第一次得到的‘小余數(shù)加上?！?/p>

“我們小組一開始寫的1001÷32也可以簡便計算。我口算了一下，先算1001÷4等于250余1，把‘小余數(shù)1放一邊，再算250除以8得到31余2，那么‘小余數(shù)2乘4再加1等于9，最終的答案就應(yīng)該是31……9?！?/p>

“老師，我在想，剛才都是把一個除數(shù)變成兩個除數(shù)，能變成三個、四個除數(shù)嗎？”

瞧，水到渠成后，學(xué)生代替教師提出了更深層次的問題。

問題三：像375÷24這樣的算式，能變成375÷2÷3÷4加以計算嗎？借助“小余數(shù)”能算出正確的“大余數(shù)”嗎？

沒多久，更復(fù)雜但是又很有條理的算理圖就被學(xué)生畫了出來，如圖：

“根據(jù)我們研究出的方法，先算375÷2=187……1，‘小余數(shù)1放一邊記下;再算187÷3=62……1，這里的1乘2后也記下;接著再算62÷4=15……2，我把這里的2叫作“小小余數(shù)”，要用2×2×3=12記下;最后用三次得到的1+2+12=15，得出375÷24=15……15?！?/p>

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識不僅要理解其核心問題，更重要的是要理解各知識點之間的關(guān)聯(lián)，以便于形成立體式的知識結(jié)構(gòu)。三次探討“小余數(shù)”和“大余數(shù)”關(guān)系的過程，是層層遞進(jìn)提問、步步剖析算理的過程。這幾個問題循序漸進(jìn)，指引學(xué)生思維不斷發(fā)展。學(xué)生通過動腦、動手和動口，探究算法，經(jīng)歷了知識的形成過程，積累了活動經(jīng)驗。

三、優(yōu)化問題有收獲

比較是促進(jìn)思維發(fā)展的重要手段，對比可以幫助學(xué)生找出知識之間的差異與聯(lián)系，提高學(xué)生的觀察能力、思維能力、運算能力等。盡管學(xué)生在操作中掌握了算理，但是算法的對比和優(yōu)化不能忽略，這將是提高學(xué)生運算能力的有力保障。

“這樣的計算方法與豎式計算相比，你更喜歡哪一種呢？為什么？”這個問題讓學(xué)生開始了新的討論，他們交流各自答案并說明理由，有的學(xué)生仍喜歡豎式計算，有的學(xué)生覺得小華的方法更簡單，可以直接口算，也有的學(xué)生表示都喜歡，要合理使用。這時，可安排學(xué)生共同出題，并分別用兩種方法進(jìn)行計算比賽。通過計算比賽，學(xué)生感受并驗證每種方法的優(yōu)勢與不足，達(dá)到優(yōu)化算法、提高運算能力的效果。

算理是本次研究的核心問題，是問題的開始，也應(yīng)該是問題的延續(xù)。根據(jù)學(xué)生的掌握情況，我又提出了新的要求：“既然這兩種方法都合理，那么它們的結(jié)果怎樣才能表示成同樣的形式？”這個問題直指算理本質(zhì)，目的是進(jìn)一步拓展學(xué)生的思維深度：有的說直接寫3……24，有的說可以用3……6×4表示，還有的想到了小數(shù)。經(jīng)過討論，大家一致同意用小數(shù)表示更合理，且嘗試用計算器計算了108÷28和108÷4÷7=27÷7的最終答案，發(fā)現(xiàn)顯示的結(jié)果都是相同的。于是大家又計算了其他算式加以驗證，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步明確：進(jìn)行平均分時，剩下的余數(shù)還可以不斷地分下去，就產(chǎn)生了小數(shù)，只不過小數(shù)計算還沒學(xué)到，但是可以用計算器證明無論是豎式計算還是簡便計算，如果一直平均分下去，最終的結(jié)果都是一樣的，所以這兩種方法都是正確的。

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會產(chǎn)生許多疑問，正如小華的錯解帶來的疑惑，這時教師就可以開展數(shù)學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生借助生活經(jīng)驗去嘗試、去發(fā)現(xiàn)。每一次活動都應(yīng)該從問題開始，同時產(chǎn)生新的問題，并不斷探索下去，最終找出問題的本質(zhì)，獲得真理。一道常規(guī)的豎式計算題，卻因為一位學(xué)生的簡便計算而讓知識間產(chǎn)生了交集，其中的錯與對使學(xué)生對知識有了新的感受，產(chǎn)生了真問題;師生帶著問題進(jìn)行思考與探索，在經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動的過程中，創(chuàng)造出了“小余數(shù)”這個聞所未聞的新概念;層層遞進(jìn)的結(jié)構(gòu)化問題讓學(xué)生的思想發(fā)生碰撞，分與合的雙向思維成功提高了學(xué)生的運算能力;同時，問題火花的飛濺使得內(nèi)容不斷豐富、問題意識不斷延伸、智慧研學(xué)不斷開花結(jié)果。面對學(xué)生認(rèn)知的新問題，教師要有效設(shè)計問題，舍得花時間、愿意給空間，讓學(xué)生開展真研究，去觸摸知識的本源、探尋思維的路徑、提升學(xué)習(xí)的品質(zhì)，實現(xiàn)真收獲！

（責(zé)編 金鈴）