基于Frenet標(biāo)架的變截面渦旋型線構(gòu)建與性能研究

侯才生，劉 濤

(蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730050)

與往復(fù)式壓縮機(jī)相比，渦旋壓縮機(jī)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、微振低噪、機(jī)械效率高、變頻性能好等優(yōu)點(diǎn)，已廣泛應(yīng)用于制冷、空調(diào)、渦旋增壓器、渦旋膨脹機(jī)、渦旋泵等領(lǐng)域[1-3]. 渦旋型線是渦旋壓縮機(jī)設(shè)計(jì)和研究的基礎(chǔ).

目前，渦旋壓縮機(jī)常用型線主要有兩大類：① 等截面型線，即渦旋齒為等壁厚的型線；② 變截面型線，即渦旋齒為非等壁厚的型線.等截面型線具有數(shù)學(xué)描述簡(jiǎn)單和易加工的優(yōu)點(diǎn)，但不能充分利用毛坯材料并且壓縮比較小.若增大等截面的壓縮比，則需增加渦旋齒的圈數(shù)，使得渦旋齒的軸向泄漏線長(zhǎng)度加大并導(dǎo)致渦旋壓縮機(jī)的整體尺寸過大.雖然變截面型線的數(shù)學(xué)表述較為復(fù)雜，但可以用較少的渦旋齒圈數(shù)實(shí)現(xiàn)較大的壓縮比，且縮短了工質(zhì)在工作腔內(nèi)的停留時(shí)間，從而有助于減少由軸向間隙引起的徑向泄漏，提高效率，所以變截面型線成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究熱點(diǎn).Liu等[4-5]建立了變徑基圓渦旋壓縮機(jī)的幾何模型并采用有限元分析方法對(duì)其進(jìn)行了優(yōu)化.Shaffer等[6]運(yùn)用控制容積的方法建立了變截面渦旋幾何模型.王君等[7]利用圓漸開線與變徑基圓漸開線的組合，得到了一種新型全嚙合漸變壁厚的渦旋型線.彭斌等[8]提出了一種由圓漸開線-高次曲線-圓弧組合而成的變截面型線并建立了該變截面渦旋壓縮機(jī)的數(shù)學(xué)模型.

雖然針對(duì)變截面渦旋壓縮機(jī)數(shù)學(xué)模型的研究較多，但這些研究所使用的型線通常是由變徑基圓漸開線、圓漸開線-變徑基圓漸開線以及圓漸開線-高次曲線-圓弧組合而成，未能充分利用圓漸開線易于加工且性能較為穩(wěn)定這一優(yōu)勢(shì).針對(duì)上述問題，本文以圓漸開線為基礎(chǔ)，利用Frenet標(biāo)架，構(gòu)建了一種新型的變截面渦旋型線，其特點(diǎn)為首末兩段均選用圓漸開線，而中間用一段三次曲線來過渡，以達(dá)到減少渦旋齒圈數(shù)的目的.將新型的變截面渦旋型線與傳統(tǒng)的由圓漸開線所組成的等截面型線進(jìn)行對(duì)比，所得結(jié)論可為新型高效變截面渦旋壓縮機(jī)的開發(fā)提供一定的理論依據(jù).

1 渦旋型線的微分幾何關(guān)系

圖1所示為任意渦旋型線的微分幾何關(guān)系示意圖. 圖中：M為型線切點(diǎn)；φ為型線切向角；a為基圓半徑；α為單位切向量；β為單位法向量；Rn為切點(diǎn)處的法向分量，稱為展弦；Rt為與Rn垂直的切向分量，稱為任意漸開線基圓半徑，且滿足

(1)

圖1 型線的微分幾何關(guān)系示意圖Fig.1 Schematic diagram of differential geometry relation for scroll profile

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線r可表示為

r=r(s)=(x(s),y(s))

(2)

式中：s為弧長(zhǎng).由微分幾何理論，記型線在切點(diǎn)的切線與x軸正向的夾角為φ=φ(s)，則在切點(diǎn)處的單位切向量為

α(s)=(x′(s),y′(s))=

(cosφ(s),sinφ(s))

(3)

單位法向量為

β(s)=(-y′(s),x′(s))=

(-sinφ(s),cosφ(s))

(4)

由于α(s)為單位向量場(chǎng)，故有α(s)⊥α′(s)，所以α′(s)與β(s)存在如下關(guān)系：

α′(s)=κrβ(s)

(5)

式中：κr為平面曲線的相對(duì)曲率.

對(duì)式(3)求導(dǎo)，可得

α′(s)=φ′(s)(-sinφ(s),cosφ(s))=

φ′(s)β(s)

(6)

結(jié)合式(5)與(6)，得到

κr=φ′(s)

(7)

由平面曲線的基本公式可知，型線在切點(diǎn)處的曲率半徑為

(8)

綜合式(2)～(5)，得到平面曲線的Frenet標(biāo)架{r(s),α(s),β(s)}沿曲線運(yùn)動(dòng)的公式為

(9)

利用Frenet標(biāo)架的運(yùn)動(dòng)公式、初值(x(φ0),y(φ0))和式(8)，可以唯一確定渦旋型線的母線方程為

(10)

2 數(shù)學(xué)模型的建立

2.1 變截面渦旋型線

變截面渦旋型線的母線選用三段曲線來構(gòu)建，如圖2所示.其中，首末兩段采用傳統(tǒng)的圓漸開線，而中間引入一段三次曲線替換圓漸開線，以達(dá)到減少渦旋齒圈數(shù)的目的.

圖2 變截面渦旋型線的母線Fig.2 Generating line of the variable cross-section scroll profiles

根據(jù)式(10)，首段圓漸開線的母線方程為

(11)

φ∈[0,φ1)

中間段三次曲線的母線方程為

(12)

φ∈[φ1,φ2)

末段圓漸開線的母線方程為

(13)

φ∈[φ3,φmax]

式中：φmax為型線的最大切向角.

φ1、φ2(φ3)滿足構(gòu)型曲線連續(xù)性和光滑性條件，則各段曲線的曲率半徑函數(shù)可表示為

(14)

式中：a為首末兩段圓漸開線的基圓半徑；c0，c1，c2和c3為待定系數(shù)，其數(shù)值可通過

(15)

計(jì)算而得，計(jì)算過程中取初值

x0(φ0)=a，y0(φ0)=0

圖3所示為根據(jù)法向等距線法[9]所生成的變截面渦旋型線.圖中，AC為修正大圓弧；AB為修正小圓??；BG為外壁型線的首段圓漸開線；CD為內(nèi)壁型線的首段圓漸開線；GH為外壁型線的中間段三次曲線；DE為內(nèi)壁型線的中間段三次曲線；HI為外壁型線的末段圓漸開線；EF為內(nèi)壁型線的末段圓漸開線. 圖中虛線部分是由1條圓漸開線構(gòu)成的等截面渦旋型線. 可以看出，任意等截面的渦旋型線可以用較少圈數(shù)的變截面渦旋型線來代替，從而減少工作腔內(nèi)壓縮介質(zhì)的泄漏量，增大渦旋壓縮機(jī)的壓縮比并提高整機(jī)效率.

圖3 變截面渦旋型線Fig.3 Variable cross-section scroll profiles

2.2 工作腔容積變化分析

渦旋壓縮機(jī)工作腔的容積是按照單個(gè)月牙形腔體從吸氣開始，經(jīng)過壓縮，到最終排氣結(jié)束這一整個(gè)過程進(jìn)行計(jì)算的.令θ為曲軸轉(zhuǎn)角，θ*為開始排氣角，則吸氣階段定義為從θ=0至θ=2π的階段；壓縮階段定義為從θ=2π至θ=θ*的階段；排氣階段定義為從θ=θ*至排氣結(jié)束的階段.

2.2.1變截面渦旋壓縮機(jī)容積計(jì)算 動(dòng)、靜渦旋相互嚙合，構(gòu)成一系列封閉的月牙形腔體，由內(nèi)向外依次稱為第1壓縮腔(又稱排氣腔)、第2壓縮腔和第3壓縮腔，分別用①、②和③表示，如圖4所示，圖中Dmin為動(dòng)、靜渦旋嚙合時(shí)的最小外徑.氣體工作腔從渦旋型線最外側(cè)向內(nèi)嚙合的過程中型線會(huì)發(fā)生變化，使計(jì)算腔體容積的解析表達(dá)式不同，因此需分段計(jì)算壓縮腔容積.

①—第1壓縮腔，②—第2壓縮腔，③—第3壓縮腔圖4 變截面渦旋壓縮機(jī)的壓縮腔Fig.4 Compression chamber of variable cross-section scroll compressor

(1) 當(dāng)θ∈[0,φ2-φ1)時(shí)，第3壓縮腔由末段的圓漸開線和中間段的三次曲線組成，此時(shí)腔體的面積為

A31(θ)=2Ror{L3+L2+[Rt(φ2)-a]}

(16)

式中：Ror為回轉(zhuǎn)半徑；L3為末段圓漸開線的母線長(zhǎng)度；L2為中間段三次曲線的母線長(zhǎng)度.

所以一對(duì)封閉月牙形腔體的容積為

V31(θ)=A31(θ)h

(17)

式中：h為渦旋體高度.

(2) 當(dāng)θ∈[φ2-φ1，2π]時(shí)，第3壓縮腔由首末兩段的圓漸開線和中間段的三次曲線構(gòu)成，這時(shí)腔體的面積為

A32(θ)=2Ror(L1+L2+L3)

(18)

式中：L1為首段圓漸開線的母線長(zhǎng)度.

所以一對(duì)封閉月牙形腔體的容積為

V32(θ)=A32(θ)h

(19)

綜合以上計(jì)算，得到在θ∈[0,2π]時(shí)，第3壓縮腔的面積為

A3(θ)=A31(θ)+A32(θ)

(20)

第3壓縮腔的容積為

V3(θ)=V31(θ)+V32(θ)

(21)

(3) 當(dāng)工作腔由首段圓漸開線和修正圓弧組成時(shí)，排氣腔由首段的4條圓漸開線和4條修正圓弧圍成，如圖5所示.圖中，Am為修正齒頭的軸向投影面積，

根據(jù)幾何關(guān)系，其工作腔的面積為

a2(π-4δ)-2Am

(22)

式中：δ為漸開線發(fā)生角；φ為修正展角；λ為修正圓弧中心角；Rd為修正大圓弧半徑；Rx為修正小圓弧半徑.

工作腔的容積為

V11(θ)=A11(θ)h

(23)

圖5 由修正圓弧與圓漸開線組成的排氣腔Fig.5 The discharge chamber consisting of modified circular arcs and circle involutes

(4) 當(dāng)工作腔完全由修正圓弧組成，即排氣腔僅由4條修正圓弧圍成時(shí)，排氣腔如圖6所示.其工作腔面積為

(24)

式中：γ為修正角.

工作腔容積為

V12(θ)=A12(θ)h

(25)

圖6 僅由修正圓弧組成的排氣腔Fig.6 The discharge chamber consisting of modified circular arcs only

2.2.2等截面渦旋壓縮機(jī)容積計(jì)算 圖7所示為一對(duì)相互嚙合的等截面渦旋盤，形成3對(duì)封閉的腔體，從外到內(nèi)依次稱為第3壓縮腔、第2壓縮腔和第1壓縮腔(排氣腔).

①—第1壓縮腔，②—第2壓縮腔，③—第3壓縮腔圖7 等截面渦旋壓縮機(jī)的壓縮腔Fig.7 Compression chamber of constant cross-section scroll compressor

(1) 第i(i≥2)個(gè)壓縮腔的工作容積.對(duì)于由圓漸開線構(gòu)成的等截面渦旋型線，除第1壓縮腔外，其余壓縮腔的容積計(jì)算通式為

(26)

Vi(θ)=Ai(θ)h

(27)

i=2,3

式中：Pt為渦旋體節(jié)距；tb為渦旋體齒厚.

(2) 排氣腔的容積.排氣腔的容積與開始排氣角以及齒頭處的修正情況相關(guān)，由于本文均采用了雙圓弧的修正方法，所以針對(duì)變截面渦旋壓縮機(jī)排氣腔的計(jì)算公式同樣適用于等截面渦旋壓縮機(jī)的排氣腔.

3 性能研究

渦旋壓縮機(jī)的幾何性能與動(dòng)力性能直接影響著渦旋壓縮機(jī)的容積效率、機(jī)械效率和壽命. 為了定量對(duì)比變截面渦旋型線和等截面渦旋型線的性能，引入行程容積、壓縮比和面積利用系數(shù)3個(gè)幾何性能指標(biāo)以及軸向氣體力和切向氣體力2個(gè)動(dòng)力性能指標(biāo).

3.1 幾何性能指標(biāo)

3.1.1行程容積 行程容積對(duì)整機(jī)容積效率的影響較大且能改善渦旋壓縮機(jī)的壓縮性能.規(guī)定當(dāng)θ=0時(shí)壓縮腔閉合，此時(shí)第3壓縮腔容積即為行程容積，用V3(0)表示.

3.1.2壓縮比 壓縮比ν可由下式計(jì)算：

(28)

式中：κ為氣體的等熵指數(shù)，κ=1.19.

3.1.3面積利用系數(shù) 為定量表征渦旋盤的材料利用率，引入面積利用系數(shù)ε，

(29)

式中：A3(0)為θ=0時(shí)第3壓縮腔橫截面的面積.

3.2 動(dòng)力性能指標(biāo)

3.2.1軸向氣體力 軸向氣體力(Fa)是渦旋盤上承受的最為重要的氣體作用力.在渦旋壓縮機(jī)的壓縮腔內(nèi)，沿曲軸軸線方向作用在動(dòng)渦旋盤上的軸向氣體力，會(huì)使動(dòng)渦旋盤沿軸向脫離靜渦旋盤，從而增大了軸向的間隙，導(dǎo)致徑向泄漏量的增加.其計(jì)算公式為

Fa(θ)=

(30)

式中：pi(i=1,2,3)為第i壓縮腔的壓力，其計(jì)算公式為

(31)

ps為吸氣壓力，ps=101.3 kPa.

3.2.2切向氣體力 切向氣體力(Ft)是由于相鄰兩個(gè)壓縮腔氣體壓力不相等而對(duì)渦旋齒產(chǎn)生的作用力.由切向氣體力產(chǎn)生的自轉(zhuǎn)力矩不僅會(huì)阻止動(dòng)渦旋的運(yùn)動(dòng)，而且會(huì)增大徑向間隙，其受力分析如圖8所示.圖中：Lti(i=1,2,3)為第i壓縮腔切向氣體力的作用線長(zhǎng).

Ft的計(jì)算公式為

Ft(θ)=

(32)

圖9所示為變截面渦旋型線和等截面渦旋型線構(gòu)成的動(dòng)渦旋所受氣體力的變化曲線.其中：Fa1和Ft1分別為變截面型線的軸向與切向氣體力；Fa2和Ft2分別為等截面型線的軸向和切向氣體力.由圖9可以看出，相比于等截面型線，雖然變截面型線所受的軸向和切向氣體力的大小有所增加，但其變化幅度較小.

表1所示為等截面型線與變截面型線的幾何性能指標(biāo)對(duì)比.可以看出，相比傳統(tǒng)的等截面型線，新構(gòu)建的變截面型線的幾何性能指標(biāo)均顯著提高，行程容積、壓縮比以及面積利用系數(shù)分別提高了8.80%、10.57%以及8.84%.由此可見，新構(gòu)建的變截面型線可提高渦旋壓縮機(jī)的壓縮比和整機(jī)容積效率.

圖8 作用在動(dòng)渦旋上的切向氣體力Fig.8 Tangential gas force generated on the orbiting scroll

圖9 軸向和切向氣體力變化曲線Fig.9 Axial and tangential gas force variation curve

表1 兩種型線幾何性能指標(biāo)對(duì)比Tab.1 Comparison of geometric performance indexes between two kinds of profiles

4 結(jié)語

采用微分幾何理論研究了機(jī)械工程有形實(shí)體的建模問題，用Frenet活動(dòng)標(biāo)架構(gòu)建了一種新的變截面渦旋型線并建立了該型線的基本幾何理論，推導(dǎo)了工作腔容積計(jì)算公式，分析了該變截面型線的幾何性能和動(dòng)力性能.與傳統(tǒng)的等截面渦旋型線相比，新構(gòu)建的變截面渦旋型線的軸向氣體力和切向氣體力的大小有所增加，但其變化幅度較??；行程容積和面積利用系數(shù)分別提高了8.80%和8.84%，壓縮比提高了10.57%.新構(gòu)建的變截面型線可提高渦旋壓縮機(jī)的壓縮比和整機(jī)容積效率.