離心壓氣機無葉擴壓器非定常流動本征正交分解法

楊曉建，胡晨星，竺曉程，杜朝輝

(上海交通大學 機械與動力工程學院，上海 200240)

離心壓氣機由于其轉速高、單級增壓比高、體積小等優(yōu)點，被廣泛地應用于汽車和航空等領域.然而，一旦發(fā)生旋轉失速等不穩(wěn)定工況，將會導致離心壓氣機的壓比及工作效率急劇下降，甚至使機器受到嚴重損害[1].因此，研究離心壓氣機內部氣體的流動狀況，特別在小流量工況下，對于理解不穩(wěn)定流動的產生機理以及如何準確地預判不穩(wěn)定工況具有非常重要的意義.

擴壓器作為離心壓氣機的主要結構之一，其設計性能的好壞對整個壓氣機的性能有著重大的影響.根據擴壓器內部有無葉片可以分為有葉擴壓器和無葉擴壓器.無葉擴壓器因結構簡單、加工更為簡便，而被廣泛地應用于汽車的渦輪增壓器中.Shaaban[2]通過數值模擬對無葉擴壓器的幾何形狀進行優(yōu)化設計，提高了無葉擴壓器內的流動壓比，減小了流動損失.Galerkin等[3]采用數值模擬的方法，研究了寬度、進氣角度、雷諾數及粗糙度等參數對無葉擴壓器性能的影響.Frigne等[4]通過實驗的方法測量無葉擴壓器內部的非定常流動，對比了不同擴壓器內部非定常流動的差異性，并通過Fourier變換分析流場的頻率特征.Bianchini 等[5]通過實驗測量無葉擴壓器內部的流動，建立了一種預測離心壓氣機喘振和旋轉失速的方法.Jaatinen-V?rri等[6]通過實驗測量及數值模擬，研究了不同寬度對無葉擴壓器壓氣機整體性能的影響.研究結果表明：寬度過窄會導致氣流在無葉擴壓器中的加速過快，從而較容易產生非均勻流及近輪蓋一側的流動分離.

非定常數值模擬方法作為一種有效的、可靠的方法被廣泛地應用于葉輪機械領域.Tamaki[7]利用數值模擬方法，計算不同工況下離心壓氣機的總體性能，并進行了實驗驗證.研究結果不但驗證了計算流體力學(CFD)在流場分析中的準確性與可靠性，還預測了小流量工況下的壓比及工作效率等參數.Turunen-Saaresti 等[8]利用數值模擬方法，獲得了無葉擴壓器內部三維流場的壓力分布，并進一步分析了流動的非定常特性.Abdelwahab[9]基于非定常數值模擬方法研究無葉擴壓器內部的流動特性，揭示了二次流及尾跡流在無葉擴壓器段的相互作用，并進一步基于渦方法提出了用于描述無葉擴壓器內部尾跡流的發(fā)展模型.Zheng 等[10]通過非定常數值模擬方法對帶有無葉擴壓器的高速離心壓氣機進行研究，揭示了無葉擴壓器內部流動不穩(wěn)定的產生機理：不穩(wěn)定流動主要是由主流及葉頂區(qū)域回流之間的相互作用而形成的“回流渦”和葉頂間隙泄漏流兩者共同產生的；而后受到下游蝸殼的非對稱作用影響，最終形成喘振.郭強[11]通過數值模擬方法計算離心壓氣機在不同工況下的流場，發(fā)現在無葉擴壓器近輪蓋一側的進口區(qū)域及出口區(qū)域產生了回流區(qū)，并進一步分析了徑向逆流形成的原因.Zhu 等[12]通過非定常數值模擬方法，獲得了某離心壓氣機的總壓損失系數以及靜壓恢復系數隨質量流量的變化關系，并進一步分析了無葉擴壓器失速的形成機制.

無葉擴壓器中的流動具有高度非定常特征，采用非定常數值模擬方法可以獲得不同時刻下流場的流動結果.為了深入研究非定常流場的流動信息及流動結構，需要對上述結果進行降維處理.一種流場降維方法是動態(tài)模態(tài)分解(DMD)法，DMD法通過分解流場可以獲得不同特征頻率所對應的模態(tài)[13].另一種流場降維方法是POD法，POD法能夠將流場分解成一組相互正交的模態(tài)，并以能量的大小衡量不同模態(tài)在整個流動中所占的比重[14].利用POD法分析失穩(wěn)工況下的無葉擴壓器內部流場快照，并通過分解獲得流場中大尺度的流動結構.值得注意的是，通過POD法獲得的無葉擴壓器的失速模態(tài)，有助于加深對離心壓氣機無葉擴壓器內部失速流動的形成及其發(fā)展過程的理解.POD法在流場分析中有著廣泛的應用.Sirovich[14]提出“快照POD法”，該方法由于可以提高計算效率而被廣泛地用于流場分析.Cizmas等[15]利用非定常數值模擬方法計算渦輪內部的流場，并用POD法分析計算結果，獲得該級渦輪主要的流動特征，并基于此進行流場重構.研究結果表明：采用前40階模態(tài)進行重構獲得的流場能量變化誤差小于0.6%，驗證了該方法的可靠性.Wei 等[16]通過粒子圖像測速(PIV)法測量低雷諾數下的翼型流場，并利用POD法分析測得的數據發(fā)現，由翼型的前緣與尾緣產生的分離剪切層占據了最高能量體積質量，而對應于尾緣脫落渦的高階模態(tài)占據的能量體積質量較小.Yang 等[17]通過POD法分析了圓盤尾跡流，獲得了不同雷諾數下的模態(tài)及流場結構特征，并揭示了其對于流動穩(wěn)定性的影響.

本文采用POD法研究離心壓氣機無葉擴壓器內部的非定常流場.首先，采用非定常數值模擬方法求解帶有無葉擴壓器的離心壓氣機的流場，獲得小流量工況下的流場數據；然后，通過POD法分析無葉擴壓器內的流動特性，獲得該流場的主要模態(tài)；同時，將不穩(wěn)定的模態(tài)進行流場重構，揭示失穩(wěn)流動的發(fā)展過程；最后，研究不同采樣頻率對POD法分析結果的影響.

1 離心壓氣機的整機數值模擬

1.1 研究對象

研究對象為某單級高速離心壓氣機，其中包括離心葉輪、無葉擴壓器和蝸殼，并在出口處添加出口管道以調節(jié)質量流量；葉輪的葉片數為12個，其中包括6個主葉片和6個分流葉片.葉輪設計工況下的工作轉速為 44 198 r/min；設計工況下的質量流量率m為1.8 kg/s.離心壓氣機的結構及幾何參數如表1所示.其中，蝸殼A/R為蝸殼的面積半徑比.

表1 離心壓氣機幾何參數Tab.1 Geometry parameters of the centrifugal compressor

圖1 離心壓氣機的各部件網格圖Fig.1 Mesh of the components of centrifugal compressor

1.2 網格模型與數值計算設定

采用商業(yè)軟件ANSYS ICEM和TurboGrid對離心壓氣機進行網格劃分.離心葉輪和無葉擴壓器采用TurboGrid軟件進行結構化網格劃分；蝸殼和出氣管采用ICEM軟件進行網格劃分.其中，蝸殼部分劃分非結構化網格，出氣管部分劃分結構化網格.離心壓氣機的各部分網格示意圖如圖1所示；采用3套網格(M1、M2、M3)進行網格無關性檢驗，如圖2所示，其中π為總壓壓比.綜合考慮網格數量與計算量的影響，最終選擇總網格數為2.904×106個，葉輪部分網格為1.03×106個的方案.

圖2 網格無關性檢驗結果Fig.2 Results of mesh number independence verification

數值計算包括定常計算和非定常計算兩部分.定常數值計算的邊界條件設置：進口給定總溫為300 K；總壓為101.325 kPa；軸向進氣；出口給定靜壓；湍流模型選擇SSTk-ω模型；穩(wěn)定計算的收斂條件為最大殘差小于10-3.將定常計算的結果作為非定常計算的初場，非定常計算的邊界條件設置與上述相同，時間步長設定為1.131×10-5s，即2個大葉片中間流道對應的步數為20步.數值計算采用動網格技術，通過改變排氣管出口(見圖1(c))的大小達到調節(jié)質量流量的效果，以模擬實際中不同質量流量下離心壓氣機的工作工況[12].

1.3 數值模擬結果驗證

根據上述數值模擬結果，可以獲得不同質量流量下的離心壓氣機的性能參數，并與實驗結果進行對比，如圖3所示.

圖3 數值模擬結果與實驗結果對比圖Fig.3 Comparison between numerical simulation and experimental results

由圖3可知，兩種方法的數值結果吻合得較好，初步驗證了該數值模擬方法的可靠性.在設計工況下，離心壓氣機的m=1.8 kg/s.隨著m逐漸減小，總壓比先略微升高，大約在m=1.5 kg/s處總壓比達到最高點，然后再逐漸下降；當m=1.4 kg/s時，壓氣機無葉擴壓器內部的監(jiān)控點檢測到了壓力及質量流量的波動.非定常計算中設置的監(jiān)控點位置如圖4所示，其中，P1位于無葉擴壓器內部，P2位于排氣管內部.

圖4 監(jiān)控點位置Fig.4 Positions of monitor points

當m=1.4 kg/s時，無葉擴壓器內部監(jiān)控點P1的頻譜分析結果如圖5所示.其中，A為振幅；f為頻率.由圖5可知，頻譜分析捕獲到了對應于全葉片掃描頻率的 8 840 Hz，對應于主葉片掃描頻率的 4 420 Hz，以及低于轉子旋轉頻率的230 Hz(該頻率為離心壓氣機的失速頻率)，即在該工況下離心壓氣機出現了失穩(wěn)現象[18].因此，下文將主要分析m=1.4 kg/s時的工況.

圖5 無葉擴壓器內部監(jiān)控點的頻譜分析結果Fig.5 Spectrum analysis of the monitor point inside the vaneless diffuser

當m=1.4 kg/s時，不同時刻下無葉擴壓器靠近輪轂10%處的徑向平面上的徑向速度v以及壓力p的分布云圖如圖6所示.其中，葉輪旋轉方向及蝸舌位置在圖中均已標出；T為擾動周期，單位為s，數值上取頻率230 Hz的倒數.由圖6可知，不同時刻下流場的主要流動結構并沒有發(fā)生明顯的改變，但存在幅值較小的波動.下文將通過POD法分析流場，進一步研究其非定常特征.

圖6 不同時刻下無葉擴壓器內部v和p的分布云圖Fig.6 The distribution of v and p inside the vaneless diffuser at different times

2 POD法

無葉擴壓器中的流動是復雜的三維非定常流動，為了進一步探究該非線性系統(tǒng)中的特征、識別流場中大尺度的流動結構，通過POD法對其進行分析.在流場分析中，應用比較廣泛的是“快照POD法”[14].

不論是基于實驗測量或是非定常數值模擬，假定有一組隨時間變化的參數，即一系列的快照，提取每張快照中的參數波動量，將這些波動量構成一個矩陣，則有

U=[u1u2…uN]

(1)

因此，該矩陣的自協方差矩陣可以表示為

C=UTU

(2)

對其求特征值和特征向量，則有

CW=λW

(3)

式中：λ為特征值矩陣；W為特征向量矩陣.將獲得的特征向量矩陣按對應的特征值從大到小排列，其中特征值的大小表征其所對應模態(tài)在整個流場中所占相對體積質量的大小.

將按照特征值從大到小的順序排列好的特征向量用于求解各階POD模態(tài)，即

(4)

式中：分母為2范數.則原有的流場可以通過POD法中各階模態(tài)的線性組合來表示，其中各階POD模態(tài)所對應的系數被稱為POD系數，可通過下式獲得，即

an=ΨTun

(5)

式中：Ψ為各階模態(tài)的組合，即

Ψ=[φ1φ2…φn]，n=1,2,…,N

將式(5)進行變形，獲得每個流場快照采用POD模態(tài)表示的形式，即重構方程為

(6)

3 無葉擴壓器流場的POD分析

3.1 非設計工況下POD分析

針對m=1.4 kg/s工況，應用商業(yè)軟件ANSYS CFX進行非定常數值模擬，總計算步數為800步.每2步時間間隔就輸出1次計算結果，最大采樣頻率為44.209 kHz.模擬結果共獲得400個時刻的流場計算結果，即400個流場快照，并基于此進行POD分析.

通過POD法分析上述400個流場快照.不同時刻下，平均流場的v和p的分布云圖如圖7所示.由圖6和圖7可知，不同時刻流場的主要結構基本上由平均流場構成.基于POD法計算獲得的各模態(tài)特征值從大到小排列的分布如圖8所示.由圖8可知，前40階POD模態(tài)占全部波動能量的99.0%，前6階POD模態(tài)占總波動能量的89.5%.因此，主要關注前6階的流動模態(tài).

圖7 平均流場v和p的分布云圖Fig.7 The distribution of v and p of the mean flow

圖8 由POD分析獲得的特征值分布Fig.8 Distribution of eigenvalues obtained by POD analysis

非設計工況下，POD分析獲得的前6階模態(tài)所對應的歸一化后的壓力及徑向速度云圖如圖9和10所示.由圖9可知，第1，2階模態(tài)在整個無葉擴壓器的周向存在高壓與低壓交替出現的壓力波動，且波動數目恰好是12個，說明該壓力擾動與總葉片數一致.雖然第1，2階模態(tài)在特征值上略微存在差異，但由于其壓力波動分布近乎相似，故可以認為第1，2階模態(tài)為一對配對模態(tài).二者在相位角上的差異將形成周向傳播的波，類似于上游動葉出口處射流-尾跡結構的掃描運動.第3，4階模態(tài)的壓力云圖存在周向6個高低壓力團的交替排列，雖然兩者的特征值差異比第1，2階模態(tài)的特征值大，但也可以認為是一對配對模態(tài)，能夠形成周向波動的傳播特征.分析徑向速度模態(tài)可以得到類似的結論，故在此不再贅述.

各階POD模態(tài)在上述的400個流場快照所對應的采樣時間內的POD系數隨時間的變化曲線如圖11所示.由圖11可知，在采樣時間段內的曲線呈現周期性的變化特征.對該系數進行Fourier變換可知，1階和2階模態(tài)的特征頻率基本相同，以 8 841.7 Hz為主，4 420.9 Hz次之，說明這兩階模態(tài)是由于葉片的旋轉造成的；3階和4階模態(tài)的主要特征頻率以 4 420.9 Hz為主，8 841.7 Hz次之，同樣也對應主葉片的掃描頻率；5階和6階模態(tài)的特征頻率為221.04 Hz，對應離心壓氣機的失速頻率，說明這兩階模態(tài)構成了失穩(wěn)流動的波動特征，但6階模態(tài)在能量上遠小于5階模態(tài).

圖10 前6階POD模態(tài)所對應的徑向速度云圖Fig.10 The radial velocity distribution of the first six POD modes

圖11 POD模態(tài)的系數隨時間的變換曲線Fig.11 The coefficient of POD modes changing with time

圖12 徑向速度模態(tài)的重構結果Fig.12 Reconstruction results of radial velocity modes

3.2 對失速模態(tài)進行重構

為了進一步理解失穩(wěn)流動的發(fā)展過程，選取5階和6階模態(tài)進行流場重構.5階和6階模態(tài)的失速頻率所對應周期內不同時刻的徑向速度分布如圖12所示.由圖12可知，無葉擴壓器的周向有多個擾動分布，蝸舌下游90° 位置的擾動幅值最大，并且擾動沒有沿周向進行傳播，而是以徑向波動為主.

3.3 不同采樣頻率對結果的影響

將采樣頻率變?yōu)槊?步提取一個快照，即尾跡和射流區(qū)在周向交替出現.前20階特征值的分布和前6階POD模態(tài)的壓力云圖如圖13和14所示.

對比圖10和14，可以發(fā)現圖10中的第3，4，5，6階模態(tài)與圖14中的第2，3，4，5階模態(tài)基本接近，即圖10中的第1，2階配對模態(tài)在圖14中只存在1階，改變了原來周向傳播的特征.這可能與采樣頻率直接相關，每5步提取一個快照，即大小葉片的尾跡和射流區(qū)在周向交替出現，而葉片的射流-尾跡結構在空間類似駐波形式.為此在采樣時需要注意，盡量避免采樣頻率和流動特征頻率一致或相差整數倍.

圖13 POD分析獲得的前20階特征值分布Fig.13 The distribution of the first twenty eigenvalues obtained by POD analysis

圖14 前6階POD模態(tài)所對應的壓力云圖Fig.14 The pressure distribution of the first six POD modes

4 結論

通過非定常數值計算獲得某離心壓氣機的性能曲線，計算結果與實驗結果吻合得較好，驗證了該數值模擬結果的可靠性.在此基礎上，基于非定常數值計算結果，采用POD法分析無葉擴壓器內小流量工況下的流動情況，提取流場的主要模態(tài)及頻率特征，主要結論如下：

(1) 應用POD法對非設計工況下無葉擴壓器的內部流動進行分析，研究結果表明：前4階擾動主要由葉片旋轉產生；擾動呈現周向高低壓力團交替分布的結構，其特征頻率與葉片的掃描頻率相對應；第5階模態(tài)得到了小于轉子頻率的221.04 Hz特征頻率，與離心壓氣機的失穩(wěn)頻率一致.

(2) 對非設計工況下的第5，6階模態(tài)進行流場重構，直觀地展示失穩(wěn)流動的發(fā)展過程.研究結果表明：無葉擴壓器周向存在多個失速擾動，對應蝸舌下游90° 位置處的擾動具有最大的擾動幅值；擾動在周向不傳播，以徑向波動為主.

(3) 應用POD法分析流場時，應盡量避免流場快照的采樣頻率與流動特征頻率一致或相差整數倍，否則將導致主要模態(tài)波動特征的損失.