以“小切口”開(kāi)拓“新視野”*
——一道課本例題的思考與拓展

福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 (350108) 方 瑩 李 祎

1.思考緣起

在參加一次習(xí)題課的公開(kāi)活動(dòng)時(shí)，授課教師講解了現(xiàn)行普通高中人教A版教材必修四第三章“簡(jiǎn)單的三角恒等變換”P141的一道例題，題目如下：

圖1

在聽(tīng)課過(guò)程中，筆者不由得產(chǎn)生了這樣的思考：對(duì)于扇形內(nèi)接矩形問(wèn)題，學(xué)生要直接想到將∠COP=α作為自變量并不容易，隱藏掉題目中∠COP=α的信息后，學(xué)生能否恰當(dāng)?shù)剡x取變量？如何將此題進(jìn)行拓展教學(xué)？進(jìn)一步拓展后會(huì)產(chǎn)生怎樣的教學(xué)效果？

基于以上思考，筆者在去掉題目中的部分信息后，試以波利亞解題思想為指引，把問(wèn)題解決過(guò)程分為“提取信息，作圖表示”、“尋找聯(lián)系，達(dá)成銜接”、“實(shí)施計(jì)劃，處理難點(diǎn)”、“回顧反思，總結(jié)方法”四個(gè)步驟，并以問(wèn)題串的方式啟發(fā)學(xué)生對(duì)例題展開(kāi)深入探討，從而充分發(fā)揮和利用課本資源的教育價(jià)值．

2.問(wèn)題解決

2.1 提取信息，作圖表示

問(wèn)題：你能概述題目中的信息嗎？請(qǐng)你用幾何作圖的方式將它描繪出來(lái)．

預(yù)設(shè)：此題的條件較為清晰，學(xué)生能夠依據(jù)題意畫出對(duì)應(yīng)的圖形．但是學(xué)生可能會(huì)忽略矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)都在弧上的情形，教師可以因情況對(duì)學(xué)生做出提示，引導(dǎo)學(xué)生得出以下幾組幾何圖形：

圖2 圖3 圖4

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生自主審題畫出相應(yīng)圖形，有利于培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題表征的能力和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，體會(huì)幾何圖形在解決幾何問(wèn)題中的重要作用．

圖2與圖3本質(zhì)上是相同的．下面先選取較為簡(jiǎn)單的圖2作為對(duì)象著手進(jìn)行研究．

2.2 尋找聯(lián)系，達(dá)成銜接

問(wèn)題：有哪些變量與矩形面積之間具有函數(shù)關(guān)系?請(qǐng)小組討論交流，找出這些相關(guān)變量．

預(yù)設(shè)：學(xué)生通過(guò)觀察圖形，能夠直觀地從點(diǎn)的位置變化、矩形邊長(zhǎng)的變化以及弧長(zhǎng)變化的角度，發(fā)現(xiàn)它們與矩形面積之間的函數(shù)關(guān)系，初步產(chǎn)生解決這個(gè)問(wèn)題的3種不同思路．

設(shè)計(jì)意圖：要建立模型，首先要分析問(wèn)題確定相關(guān)變量，在尋找相關(guān)變量的過(guò)程中探究函數(shù)模型建立時(shí)變量的選取方法，有利于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，提升學(xué)生觀察問(wèn)題和分析問(wèn)題的能力．

2.3 實(shí)施計(jì)劃，處理難點(diǎn)

思路1：從點(diǎn)的位置變化角度建立矩形面積的函數(shù)模型.

問(wèn)題1選取哪個(gè)點(diǎn)研究最合適？由點(diǎn)的位置，你能想到什么？如何用點(diǎn)的位置來(lái)刻畫矩形面積的大??？

問(wèn)題2在有多個(gè)變量的情況下，如何求出矩形面積的最大值？

預(yù)設(shè)：可找出C點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的關(guān)系，減少變量個(gè)數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系模型S=f(y)或S=f(x)．

問(wèn)題3C點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之間有什么聯(lián)系？你是否利用了題目中的全部條件？從未用的條件中，你能獲得什么啟發(fā)？

預(yù)設(shè)：題目中的“半徑為1”以及“圓心角”這兩個(gè)條件，蘊(yùn)含了該扇形是圓的一部分的隱含條件，從而學(xué)生可以自然地分析出C點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之間滿足x2+y2=1的關(guān)系式．

問(wèn)題4你能通過(guò)以上分析，求解得出矩形的最大面積嗎？試著寫出來(lái)．

預(yù)設(shè)：通過(guò)提示，學(xué)生能夠聯(lián)想到cos2θ+sin2θ=1，并用換元法令y=sinθ，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求

問(wèn)題6θ是指哪個(gè)角？它的取值范圍是什么？你能具體說(shuō)明嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)7個(gè)具有啟發(fā)性的問(wèn)題提示語(yǔ)引導(dǎo)學(xué)生不斷地將已有的相關(guān)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用到現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題解決中去，建立已知與未知之間的聯(lián)系，從而獲得解決問(wèn)題的途徑，逐層化解難點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題系統(tǒng)到穩(wěn)定系統(tǒng)的成功轉(zhuǎn)化．在解題過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，給學(xué)生以“山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村”的解題體驗(yàn)，從而激發(fā)學(xué)生的求識(shí)欲，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性．

思路2：從矩形邊長(zhǎng)變化角度建立矩形面積的函數(shù)模型.

問(wèn)題設(shè)矩形的邊長(zhǎng)AB為x，BC為y，要求S=x·y的最大值，還需什么條件？如何建立這兩條邊長(zhǎng)之間的關(guān)系從而減少變量？

設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生掌握分析問(wèn)題的一般思路，讓學(xué)生經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)等思維過(guò)程，最終建立矩形邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，得到相應(yīng)的函數(shù)模型．

思路3：從弧長(zhǎng)變化角度建立矩形面積的函數(shù)模型.

問(wèn)題2你能從前兩個(gè)求解思路中獲得什么啟發(fā)？試著建立并求解該模型．

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化思想，將弧長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的角度問(wèn)題，從而化簡(jiǎn)難點(diǎn)，進(jìn)而打開(kāi)解決這個(gè)問(wèn)題的新視角．

2.4 回顧反思，總結(jié)方法

(1)縱觀以上幾種解法，你有什么發(fā)現(xiàn)？

(2)此題的關(guān)鍵點(diǎn)是什么？各個(gè)難點(diǎn)是如何處理的？其中蘊(yùn)含了什么思想方法？

(3)為什么你沒(méi)有察覺(jué)到問(wèn)題解決的突破之處？

(4)你認(rèn)為有哪些解題經(jīng)驗(yàn)可以作為今后解決問(wèn)題的參考？

設(shè)計(jì)意圖：趁學(xué)生頭腦中對(duì)解題體驗(yàn)的新鮮感還未褪去時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生抓住這個(gè)最佳的反思時(shí)機(jī)，回顧自己解題的歷程，從中獲得更多對(duì)解題的體驗(yàn)和方法的收獲．以免留下“深入寶山而空手返”的遺憾．

3.思維提升

問(wèn)題1對(duì)于圖4的情形，你能求出其內(nèi)接矩形的最大面積嗎？從圖2的情形中你能獲得怎樣的啟發(fā)？

圖5

問(wèn)題2你還能提出其他有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？

設(shè)計(jì)意圖：例題教學(xué)不應(yīng)僅滿足于學(xué)生“學(xué)過(guò)、學(xué)懂”，而要讓學(xué)生學(xué)會(huì)“活用”知識(shí)．通過(guò)變式拓展的方式，將學(xué)生從思維的束縛中解放出來(lái)，促成學(xué)生探究意識(shí)和問(wèn)題意識(shí)的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維、發(fā)散性思維，發(fā)揮其首創(chuàng)精神，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)．

從以上教學(xué)過(guò)程不難看出，上述幾種求解思路盡管本質(zhì)相同，最終經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)可變?yōu)橄嗤谋磉_(dá)式，但觀察問(wèn)題的視角不同，所輻射的知識(shí)范圍也不盡相同．通過(guò)這道課本例題的拓展探究，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、直觀想象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，能使學(xué)生從中感悟到數(shù)學(xué)知識(shí)背后的化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想和特殊與一般思想．

總之，為了充分開(kāi)發(fā)教材的教學(xué)價(jià)值，發(fā)揮課本例題的重要的教育功能，教師要立足課本，將先進(jìn)的教學(xué)理念滲透到例題的教學(xué)過(guò)程中去，以發(fā)展的眼光看例題，以育人的視角教例題，以批判的思維審度例題，摒棄以往“就題講題”的傳統(tǒng)例題教學(xué)方式，以具有啟發(fā)性的問(wèn)題為指引，從而達(dá)到啟智悟道、以誘達(dá)思的目的，引領(lǐng)學(xué)生向新的發(fā)展區(qū)邁進(jìn)．