圓錐曲線中的“焦點訪談”
——由兩道?？歼x擇壓軸題解法所想

廣州大學(xué)附屬中學(xué) (510050) 韓智明

圓錐曲線作為平面解析幾何中的重要內(nèi)容，在歷年高考中占有十分重要的地位，其考查內(nèi)容豐富，考查方式靈活多樣.圓錐曲線問題中一個重要知識點的就是與焦點弦有關(guān)的數(shù)學(xué)問題,也是圓錐曲線考查中的核心問題.圓錐曲線的一條弦所在的直線經(jīng)過焦點，則稱此弦為焦點弦.圓錐曲線的焦點弦問題涉及到離心率、直線斜率(或傾斜角)、定比分點(向量)、焦半徑和焦點弦長等有關(guān)知識.焦點弦是圓錐曲線的“動脈神經(jīng)”，集數(shù)學(xué)知識、思想方法和解題策略于一體，倍受命題人青睞，在近幾年高考和地方模擬考試中頻頻亮相.題型多為小題且位置靠后的客觀壓軸題，也有作為大題考查的，筆者在2019年的高考復(fù)習(xí)備考中發(fā)現(xiàn)大量與圓錐曲線焦點弦有關(guān)的試題，這些試題總是以一道選填題的形式出現(xiàn)，而從解法和思維方法來看實質(zhì)上是一道綜合大題，它們讓老師在教學(xué)中無法取舍，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中難以掌握.為此，我就帶領(lǐng)大家走進圓錐曲線中與焦點弦有關(guān)的節(jié)目——《“焦點”訪談》！

思路探求：此題作為選填壓軸，師生一片嘩然，態(tài)度貶多于褒，認為試題計算量太大，有小題大做的感覺，另有人認為方法單一，在全面考查學(xué)生的學(xué)科綜合素養(yǎng)能力方面略顯不足，但此題能被命題人挑中放到選擇壓軸題位置，可見其特殊的考查意義，是一種知識考查的回歸，重在基本思想和常規(guī)思維的考查，強化以邏輯推理和計算能力為主的學(xué)科核心素養(yǎng)，究其解題思路即為通過向量坐標(biāo)化處理策略，找到關(guān)系消去點的坐標(biāo)得到關(guān)于斜率的方程即可.

解法2：特殊化，令a=2,b=1，由

例2 (2019年廣州市一?？荚嚴?1題)

思路探求：此題與例1的題干形式幾乎相同，解題思維趨近，不同之處只是命題者用心良苦地把求值問題通過改編成為求最值問題，知識容量擴大，整個試題顯得豐富、精彩，其解題思路即為通過向量坐標(biāo)化消元把所求弦AB的中點到C的準線的距離表示成λ的函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性求最值即可.

評析:從例1的解法1和例2的解法來看，其特點重在通解通法，即：通過方程聯(lián)立、向量坐標(biāo)化思想找到所求變量之間的關(guān)系，從而求解，但是計算量相對較大，有一種小題大做的情形.而例1的解法2僅通過試題的特殊情況處理，以特殊代一般的思想，這對解決選擇題也不失是一種很巧妙的求解策略.

從兩個試題的形式上來看，雖然有些異同，但究其本質(zhì)其實是同一類問題，即圓錐曲線上過焦點的弦的問題.圓錐曲線有關(guān)焦點的問題研究有很多精彩的美妙的結(jié)論，本文不一一談起.本文擬從圓錐曲線過焦點的弦的問題進行一個簡單的“焦點訪談”！

結(jié)論1 已知在x軸上的點F是離心率為e的圓錐曲線C的焦點，過點F的弦AB與C的焦點所在的軸的夾角為α(α≠90°)，且|AF|=λ|BF|(λ>0且λ≠1).

圖1

同樣在拋物線和雙曲線中，如圖2和圖3中，可

圖2圖3

圖4

同理不難得出:

通過對結(jié)論1和結(jié)論2的證明得到，當(dāng)點F內(nèi)分(外分)圓錐曲線的焦點弦所成比為λ、弦所在直線的傾斜角α的正弦(余弦)值sinα(cosα)和圓錐曲線的離心率e三個量，已知其中兩個就可以求出第三個量.我們用這個結(jié)論再去處理例1和例2，結(jié)果發(fā)現(xiàn)思維更加清晰，計算愈發(fā)簡潔.

上面例2的解法2中用到了一個拋物線的焦點弦結(jié)論，這個結(jié)論不難證明.

上面我們對圓錐曲線焦點弦的“焦點訪談”只是對其中某一個知識點的探究和發(fā)現(xiàn)，我們利用探究發(fā)現(xiàn)所得到的結(jié)論去直接或輔助處理相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，問題就會顯得簡潔明了，可以化繁為簡，把復(fù)雜的綜合大題簡化為易懂、會做、熟悉的試題，能快速打開我們解題的思維，增強我們解題自信.師生在數(shù)學(xué)系列探究活動中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論在學(xué)生的大腦中形成了解決此類數(shù)學(xué)問題的某種熟悉的方法，這種結(jié)論的信息會有意識地儲存在學(xué)生的大腦中，它可以準確地指導(dǎo)我們快速地解題.因此，解題時，我們要重現(xiàn)過去在數(shù)學(xué)活動中的某些思維過程和已經(jīng)得到的結(jié)論，解題活動其實就是解決和探究數(shù)學(xué)問題時思維過程的一個總結(jié)，當(dāng)解題活動結(jié)束時，回過頭來想一想，我們會發(fā)現(xiàn)自己在解決問題時的確或多或少地經(jīng)歷了以往的一個過程甚至是在借用某一個曾經(jīng)的結(jié)論.圓錐曲線固然有焦點我們可以“訪談”，其實在浩瀚的數(shù)學(xué)知識海洋里，只要你用心地發(fā)現(xiàn)，你將有無數(shù)的“焦點”可以“訪談”！