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    改編課本例題 結(jié)構(gòu)一以貫之

    2019-12-30 09:37謝蓓蓓
    初中生世界·九年級(jí) 2019年12期
    關(guān)鍵詞:銷售量降價(jià)題意

    函數(shù)是重要的數(shù)學(xué)模型,用二次函數(shù)解決問題是中考的熱點(diǎn)。教材中的例題蘊(yùn)含著豐富的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和思想方法,往往是中考的重要素材。下面對(duì)蘇科版《數(shù)學(xué)》教材中“5.5用二次函數(shù)解決問題”的問題2以及練習(xí)進(jìn)行改編并延伸(見例題),希望幫助同學(xué)們加深對(duì)此類問題的理解。

    例題 某產(chǎn)品每件的成本是12元,已知銷售單價(jià)x元與日銷售量y件之間的關(guān)系式是y=200-10x,當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí),日銷售利潤(rùn)最大?請(qǐng)求出此時(shí)的最大利潤(rùn)。

    【解析】應(yīng)用題中的總利潤(rùn)通??梢允褂脙煞N辦法獲得:(1)總售價(jià)-總進(jìn)價(jià),即單個(gè)售價(jià)×銷量-單個(gè)成本×銷量;(2)單個(gè)利潤(rùn)×銷量,即(單個(gè)售價(jià)-單個(gè)成本)×銷量。結(jié)合本題,使用(1),可列出代數(shù)式x(200-10x)-12(200-10x);使用(2),可列出代數(shù)式(x-12)(200-10x)。無論是從思考的方式上還是從代數(shù)式形式上看,方法2更加簡(jiǎn)潔,更推薦使用。此時(shí),我們會(huì)發(fā)現(xiàn)總利潤(rùn)式子的結(jié)構(gòu)是C=A·B(A、B分別代表單個(gè)利潤(rùn)、銷售量),接下來我們也可以從結(jié)構(gòu)的角度解決此類問題。

    解:設(shè)日銷售利潤(rùn)為w元,根據(jù)題意可得:

    w=(x-12)(200-10x)

    =-10x2+320x-2400

    =-10(x-16)2+160。

    當(dāng)x=16時(shí),w的值最大,最大值是160。

    答:銷售單價(jià)定為16元時(shí),日銷售利潤(rùn)最大,此時(shí)的最大利潤(rùn)是160元。

    變化1 某產(chǎn)品每件的成本是12元,已知每件產(chǎn)品的銷售價(jià)x(元)與產(chǎn)品的日銷售量y(件)之間的關(guān)系如圖所示,要使每日的銷售利潤(rùn)最大,每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元?此時(shí)每日銷售利潤(rùn)是多少元?

    【解析】根據(jù)總利潤(rùn)的結(jié)構(gòu)C=A·B,只需要表達(dá)A和B,A在上題中已經(jīng)表示過了,那么只需要表示B即可。圖中的線段告訴我們,日銷售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù),所以可以利用待定系數(shù)法先求出y和x的函數(shù)關(guān)系式,這樣就可以將這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為例題來解決。

    解:設(shè)y=kx+b,根據(jù)題意可得:

    [80=12k+b,50=15k+b,]

    這個(gè)方程組的解為[k=-10,b=200。]

    ∴y=-10x+200。

    下面的做法可參考例題,略。

    變化2 某產(chǎn)品每件的成本是12元,已知每件產(chǎn)品的銷售價(jià)x(元)與產(chǎn)品的日銷售量y(件)之間的關(guān)系如下表:

    [x(元) 13 14 15 … y(件) 70 60 50 … ]

    若日銷售量y(件)是銷售價(jià)x(元)的一次函數(shù),要使每日的銷售利潤(rùn)最大,每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元?此時(shí)每日銷售利潤(rùn)是多少元?

    【解析】一次函數(shù)常見的表達(dá)形式有關(guān)系式、圖像和表格三種,此題中給出了一次函數(shù)的表格形式。和變化1一樣,只需要表示B即可。題中告訴我們?nèi)珍N售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù),所以,可以利用待定系數(shù)法先求出y和x的函數(shù)關(guān)系式,這樣就可以將這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為例題來解決。

    解:設(shè)y=kx+b,根據(jù)題意可得:

    [70=13k+b,60=14k+b,]

    這個(gè)方程組的解為[k=-10,b=200。]

    ∴y=-10x+200。

    下面的做法可參考例題,略。

    變化3 某產(chǎn)品每件的成本是12元,若以成本價(jià)銷售,每天的銷量是80件。如果每件產(chǎn)品的銷售價(jià)每漲價(jià)1元,產(chǎn)品的日銷售量就減少10件,要使每日的銷售利潤(rùn)最大,每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元?此時(shí)每日銷售利潤(rùn)是多少元?

    【解析】此題中“每漲價(jià)1元,產(chǎn)品的日銷售量就減少10件”其實(shí)就是一次函數(shù)關(guān)系的文字描述。那么在解題方法上也有三種:(1)根據(jù)題意,價(jià)格為13元時(shí),銷量是70元,下面可以利用待定系數(shù)法求出銷售量y(件)與售價(jià)x(元)的函數(shù)關(guān)系式:y=-10x+200,解題思路和變化1類似;(2)從結(jié)構(gòu)入手,B的結(jié)構(gòu)應(yīng)該是“D-E”,即“80-10()”,而括號(hào)里的內(nèi)容就是“漲價(jià)后增加了多少錢”,若設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價(jià)為x元,顯然可用“x-12”表示,所以B可以表示為80-10(x-12);(3)借助(2)中的思路,設(shè)每件產(chǎn)品漲價(jià)x元,那么E中括號(hào)里的內(nèi)容可以直接表示為x,不一樣的是A的代數(shù)式也要變成x。歸根結(jié)底,就是用不同的方法表示A或者B。

    解法1:設(shè)每件的銷售價(jià)為x元,銷售量為y件,根據(jù)題意知y=kx+b,可得:

    [80=12k+b,70=13k+b,]

    這個(gè)方程組的解為[k=-10,b=200。]

    ∴y=-10x+200。

    下面的做法可參考例題,略。

    解法2:設(shè)每件的銷售價(jià)為x元,日銷售利潤(rùn)為w元,根據(jù)題意可得:

    w=(x-12)[80-10(x-12)]

    =-10x2+320x-2400。

    下面的做法可參考例題,略。

    解法3:設(shè)每件漲價(jià)x元,日銷售利潤(rùn)為w元,根據(jù)題意可得:

    w=x(80-10x)

    =-10(x-4)2+160。

    當(dāng)x=4時(shí),w的值最大,最大值是160。

    答:銷售單價(jià)定為16元時(shí),日銷售利潤(rùn)最大,此時(shí)的最大利潤(rùn)是160元。

    變化4 某產(chǎn)品每件的成本是12元,若每件產(chǎn)品以售價(jià)17元銷售,每天的銷量是30件。如果每件產(chǎn)品的銷售價(jià)每降價(jià)1元(價(jià)格不可低于成本),產(chǎn)品的日銷售量就增加10件,要使每日的銷售利潤(rùn)最大,每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元?此時(shí)每日銷售利潤(rùn)是多少元?

    【解析】首先仍然明晰結(jié)構(gòu)C=A·B。若設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價(jià)為x元,A可以表示為“x-12”。根據(jù)變化3中的思路,可以利用待定系數(shù)法表達(dá)B中銷售量和銷售價(jià)之間的關(guān)系,也可以根據(jù)題意表達(dá)B中的式子為“30+10(17-x)”。當(dāng)然也可以設(shè)降價(jià)x元,間接表達(dá)出A和B。

    解法1:設(shè)每件的銷售價(jià)為x元,銷售量為y件,根據(jù)題意知y=kx+b,可得:

    [30=17k+b,40=16k+b,]

    這個(gè)方程組的解為[k=-10,b=200。]

    ∴y=-10x+200。

    下面的做法可參考例題,略。

    解法2:設(shè)每件的銷售價(jià)為x元,日銷售利潤(rùn)為w元,根據(jù)題意可得:

    w=(x-12)[30+10(17-x)]

    =-10x2+320x-2400。

    下面的做法可參考例題,略。

    解法3:設(shè)每件降價(jià)x元,日銷售利潤(rùn)為w元,根據(jù)題意可得:

    w=(17-x-12)(30+10x)

    =-10(x-1)2+160。

    當(dāng)x=1時(shí),w的值最大,最大值是160。

    答:銷售單價(jià)定為16元時(shí),日銷售利潤(rùn)最大,此時(shí)的最大利潤(rùn)是160元。

    變化5 某產(chǎn)品每件的成本是12元,若每件產(chǎn)品以售價(jià)17元銷售,每天的銷量是30件。如果每件產(chǎn)品的銷售價(jià)每降價(jià)3元(價(jià)格不可低于成本),產(chǎn)品的日銷售量就增加30件,要使每日的銷售利潤(rùn)最大,每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元?此時(shí)每日銷售利潤(rùn)是多少元?

    【解析】和變化4相比,只有一句話不一樣,其實(shí)“每件產(chǎn)品的銷售價(jià)每降價(jià)3元,產(chǎn)品的日銷售量就增加30件”在數(shù)量關(guān)系上就等同于“每件產(chǎn)品的銷售價(jià)每降價(jià)1元,產(chǎn)品的日銷售量就增加10件”,所以就可以把變化5轉(zhuǎn)化為變化4。類似地,如果出現(xiàn)“每件產(chǎn)品的銷售價(jià)每降價(jià)0.5元,產(chǎn)品的日銷售量就增加5件”,同樣可以轉(zhuǎn)化為變化4。

    (作者單位:南京外國語學(xué)校仙林分校麒麟中學(xué))

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