組合矩形港池振蕩特性研究

鄭振鈞，馬小舟，董國海

（大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧 大連 116024）

引言

港灣振蕩是發(fā)生在封閉或半封閉水域的一種很常見的駐波現(xiàn)象，當外界擾動頻率與水域本征頻率一樣或接近時會產(chǎn)生劇烈的水面振蕩和周期性流場，在港口、海灣等人類活動密集的水域造成危害[1-2]。港灣振蕩災(zāi)害的發(fā)生與否，要同時考慮港口的內(nèi)因和外因，即港口本身的振蕩特性和當?shù)氐牟ɡ藯l件。港口建成后，平面形狀和水深不會輕易改變，因此振蕩特性就基本確定了。只有港口所在海域的波浪要素匹配上港口的本征頻率時才有可能引發(fā)共振。此外，港灣振蕩災(zāi)害的重要體現(xiàn)是船舶損壞，這與船舶運動特性密切相關(guān)，因此港口的設(shè)計船型也應(yīng)給予考慮。

港灣振蕩的研究多著手于單港池情形，而多港池（耦合港池）情形更符合實際，但獲得的研究相對較少。Lee和 Raichlen[3]使用邊界元法求解Helmholtz方程，進行了大量的耦合港池數(shù)值實驗。結(jié)果表明，整體上耦合港池相對于單港池有著更大的放大因子和更復(fù)雜的響應(yīng)曲線。Losada等[4]在水槽中做了雙側(cè)矩形港池模型實驗。結(jié)果表明，在能使單個港池產(chǎn)生共振的入射條件下，同時開啟另一個港池，會使原來港池的共振減弱，但減弱程度與另一個港池的長度并沒有明確的關(guān)系。Bellotti[5]通過線性長波方程研究了理想港口在長波作用下的瞬態(tài)響應(yīng)，兩個小口門矩形港池相連情形的數(shù)值結(jié)果表明，外池的存在使內(nèi)池的本征頻率發(fā)生了偏移和個數(shù)的增減，同時使港口變得更加的封閉，一旦發(fā)生共振，能量很難疏散出去。Xing[6]基于緩坡方程探討了花蓮港的共振改善措施，包括港池分割、打斷或新增防波堤、增加消能邊界等，總結(jié)了減弱港灣振蕩的三種思路，第一種是改變港池形狀，使得共振頻率偏移，不與當?shù)夭r和船舶響應(yīng)頻率匹配。第二種是采取減弱長周期波動的措施，但通常很難快速地消減長周期波動。第三種為前兩種的結(jié)合，改變港池形狀使共振峰平移到高頻區(qū)域，再采取對高頻區(qū)域更為有效的消除長周期振蕩的措施。

綜上所述，耦合港池的振蕩十分復(fù)雜，規(guī)律難以探明。耦合港池往往形狀復(fù)雜、可調(diào)參數(shù)較多，因此多港池的研究主要關(guān)注于實際港口，其成果對該港口有很強的依賴性。如何進行多港池的振蕩研究并找到其共性，使成果能較好地應(yīng)用于普遍的多港池港口，是耦合港池研究的重點和難點。矩形港池是最為常見的港池形狀，本文針對多種矩形港池組合展開研究，主要關(guān)注兩個問題，一是新建矩形港池對響應(yīng)曲線和模態(tài)有什么影響；二是港口會變得更安全或更危險。

外海水深依據(jù)不同的實際情形會有巨大差異，在研究中難以選擇具有普適性的水深變化形式。同時，外海變化的水深主要導(dǎo)致波浪的折射和淺化，影響到達港口波浪的波向和波幅，對波長的影響很小。就研究港口的內(nèi)因而言，外海水深的變化形式并不重要。為簡單起見，在多矩形港池耦合振蕩研究的起始階段，港內(nèi)外水深取為常水深。

1 數(shù)值模型及驗證

本文采用 Chamberlain等[7]推導(dǎo)出的拓展型緩坡方程，相對于 Berkhoff[8]推導(dǎo)出的經(jīng)典橢圓形緩坡方程，添加了地形的曲率項和坡度平方項，可改善方程對快變水深的適用性，表達式為：

式中：f1和f2為kh的函數(shù)，k為波數(shù)；C和Cg為波浪相速度和群速度；φ為速度勢函數(shù)；g為重力加速度；?為平面微分算子。

上述緩坡方程屬于橢圓形偏微分方程，非常適合用有限元方法進行求解。有限元方程的導(dǎo)出和數(shù)值求解可參考文獻[9]和[10]。模型的驗證選擇 Wang等[11]基于線性長波方程推導(dǎo)出的斜底細長港解析式。港池布局見圖1(a)，實心圓為波高測點，固邊界為全反射直立壁面。水底坡度為1:40，外海水深0.75 m，內(nèi)墻水深0.25 m，見圖1(b)。港池特征長度為20 m。響應(yīng)曲線對比見圖1(c)，結(jié)果吻合地很好。其中，縱坐標稱為比波高，橫坐標為波數(shù)與特征長度的乘積，與頻率類似，橫坐標越大代表周期越小。比波高隨著橫坐標的變化稱為響應(yīng)曲線，每個極值對應(yīng)一個本征頻率，本征頻率和相應(yīng)的比波高分布稱為本征模態(tài)。

圖1 模型驗證算例布局和結(jié)果對比

2 矩形港池組合

本節(jié)的組合矩形港池見圖 2，固邊界為全反射的直立壁面，波浪都以斜向45°入射，波向示意見圖2(a)，水深皆為10 m。圖中實心圓為測點，港池A的響應(yīng)曲線為三個測點的曲線包絡(luò)線，港池B和C同理。針對本文港池尺度，入射波頻率范圍選為0.00125～0.025 Hz，高于該頻率段的波浪，通常響應(yīng)較小，并有明顯的能量損耗，如底摩阻、渦動損失、邊界部分反射等。低于該頻率段的波浪，只會形成正常駐波。因此該頻率段外的波浪不會造成嚴重的港灣振蕩災(zāi)害。

圖2 港池布局示意(單位：m)

2.1 組合一

響應(yīng)曲線對比見圖3，各本征頻率都用字母標記。本文將圖中特別尖銳的峰稱為極端模態(tài)，根據(jù)Bellotti[5]的研究結(jié)果，這類本征模態(tài)發(fā)展歷時極長，可認為不具備實際的危險性?？紤]前四個模態(tài)，組合一的本征頻率要小于單港池情形。模式(b)在單港池情形為正常模態(tài)，在耦合情形轉(zhuǎn)變?yōu)闃O端模態(tài)。模式(d)在耦合情形下更趨向于極端模態(tài)。在計算頻率范圍內(nèi)，考慮到極端模態(tài)不具備實際的危險性，因此組合一的響應(yīng)要弱于單港池情形。

為考察更全面的規(guī)律，此處另外取 0.025～0.1 Hz的頻率段進行計算，結(jié)果見圖3。兩條曲線幾乎沒有任何相似規(guī)律可循，但對于個別極端模態(tài)，兩個情形的本征頻率是完全一樣的，已在圖中用藍色直線標注出來。選擇極端模態(tài)(1)和(2)的比波高分布見圖 4，不難發(fā)現(xiàn)，這幾個模態(tài)都屬于沿著港池A寬度方向（y向）的極端模態(tài)，對應(yīng)波節(jié)線數(shù)為1、3。極端模態(tài)(3)波節(jié)線數(shù)為4。由于頻率分辨率不足，因此沒有檢索出波節(jié)線為2的模態(tài)。

綜上所述，拓展港池B后，港池A沿長度方向（x向）的模態(tài)會發(fā)生改變，只有沿寬度方向（y向）的模態(tài)是不變的，但這些不變的又屬于極端模態(tài)，實際意義不大。因此，只要拓展了港池，我們需要關(guān)心的模態(tài)都會發(fā)生變化。

圖3 組合一港池A響應(yīng)曲線

圖4 組合一中的極端模態(tài)

2.2 組合二

組合一和組合二可以看作港池B在不同位置的情形，對比圖5，兩者在低頻區(qū)域（0.01 Hz之前）結(jié)果差異很小，本文認為是因為低頻區(qū)域的波長較長。高頻區(qū)域（0.02 Hz之后），共振峰有一定區(qū)別。對于模態(tài)(e)，共振峰減弱了很多（組合二雖然很平緩但仍存在一個極點）。可以初步定性地認為，新建港池在不同位置的影響的區(qū)別主要體現(xiàn)在高頻區(qū)域。

港池 A于組合一和組合二的平均放大因子分別為 0.89和0.95（表1），基本持平。結(jié)合外海波況考慮，如果能量主要集中在本征頻率(d)附近，那么組合一更安全。若集中在本征頻率(e)附近，則組合二更安全。若兩者都不集中，那這兩個組合情形沒有明顯區(qū)別，若將港池B的平均放大因子也考慮進來，此時組合一更安全（僅從內(nèi)因考慮）。

圖5 組合二響應(yīng)曲線

2.3 組合四&組合三

在組合三的基礎(chǔ)上新增港池C，見圖2(d)～(f)，考慮港池C位置的不同對港池A和B的影響。觀察港池A的響應(yīng)曲線（圖6），低頻區(qū)域影響不大，只因為尺度增加而本征頻率左偏，峰的形狀改變了一點。港池A中第三個峰是往右移的，與設(shè)想的不一樣。但同時觀察港池B的響應(yīng)曲線，第三個峰為極端模態(tài)，如果把港池A、B的曲線疊加的話，所有峰仍然是左移的，因此測點取的不夠廣泛便不能全面地反映所有的本征頻率。

觀察圖6(b)中0.017～0.024(Hz)頻率段，添加港池 C后，港池 B的響應(yīng)提升了不少。組合四于0.02 Hz附近的共振峰的周期為50.04 s，在10 m水深下波長約為500 m，正好是BC向長度的一半，按一維封閉水槽理論，港池BC區(qū)域應(yīng)有4根波節(jié)線，恰好與本文計算結(jié)果吻合（圖7），即在這段頻率，區(qū)域BC發(fā)生了明顯的沿BC向的振蕩（圖2e紅線所注），相當一部分能量在B港池和C港池之間循環(huán)。

圖6 組合四&組合三響應(yīng)曲線對比

圖7 組合四比波高分布（T=50.04 s）

2.4 組合五&組合三

此時港池A、B成正對著的聯(lián)通港池，應(yīng)有類似組合四中沿BC方向的振蕩。觀察港池A響應(yīng)（圖8），在 0.02～0.024 Hz頻率段，組合五港池A的響應(yīng)增強，但與組合四有兩點不同，一是響應(yīng)增強的程度較小，二是共振峰周期變?yōu)?45.46 s，波長為449 m，并不是很接近500 m（AC向長度的一半）。本文認為，這是因為組合四中區(qū)域BC與其他區(qū)域只有一條公共邊界（圖2e藍色虛線所注），而組合五中區(qū)域AC與其他區(qū)域有兩條公共邊界（圖2f藍色虛線所注），對封閉性的影響更大。

圖8 組合五&組合三響應(yīng)曲線

港池B（圖8）中0.017～0.024 Hz頻率段響應(yīng)很弱，取周期為52.61 s情形進行計算，波浪斜向和正向入射下的比波高分布見圖 9，幾乎沒有波浪進入當港池B。嘗試使用開邊界條件來判斷哪條直墻的影響最大，選擇4處作為開邊界的組合（圖10），沒被選中則仍為全反射，各種組合及結(jié)果見圖11。當開啟港池B的直墻為開邊界時，對結(jié)果幾乎沒有影響（圖11a），說明波浪始終只有微小的一部分進入了B港池；當開啟AC區(qū)域兩端為開邊界時，結(jié)果有了明顯不同（圖11c），說明恰巧是AC趨于兩端的反射波造成特殊的波浪分布，只有少量波浪得以進入港池B。港口尺度會決定入射波從進入港口到經(jīng)港內(nèi)邊壁反射離開港口的傳播距離，當入射波波長與這一傳播距離達到特定關(guān)系時，就會產(chǎn)生港口共振[2]。波向?qū)θ蹴憫?yīng)頻率結(jié)果的影響很小，可以把其看作港口共振的相反情形。只要入射波波長與港口尺度達到特定關(guān)系，港內(nèi)局部區(qū)域的響應(yīng)就會非常弱。

圖9 弱響應(yīng)頻率相對波高分布（T=52.61 s）

圖10 組合五開邊界位置示意

圖11 不同開邊界段的組合結(jié)果

組合四、五是基于組合三拓展的，從平均放大因子看（0），組合四、五都變得更小。只對比組合四、五，組合四的港池A響應(yīng)強于港池B，組合五則相反。從內(nèi)因上無法分辨哪個更安全，必須結(jié)合當?shù)夭r進行考慮。

表1 斜向入射下平均響應(yīng)

3 總結(jié)

本文基于緩坡方程有限元模型研究了矩形港池組合的振蕩特性，重點探討了新建矩形港池后響應(yīng)曲線和模態(tài)發(fā)生什么變化、港口會變得更安全或更危險等問題，簡要總結(jié)如下：

1）基于組合一的結(jié)果，拓展港池后，響應(yīng)曲線和振蕩模態(tài)都會發(fā)生變化。拓展港池使得港口特征尺度變大，沿著主尺度振蕩的模態(tài)的本征頻率會變?。l域上往左偏移），正常模態(tài)可能會轉(zhuǎn)變?yōu)闃O端模態(tài)，反之亦然。但有少部分極端模態(tài)不會受到影響，因為它們振蕩方向的港池尺度沒有發(fā)生改變；

2）當?shù)夭ɡ艘貙υu估港口共振危險程度有重要作用。由于極端模態(tài)不具備實際危險性，因此新增港池后，正常模態(tài)轉(zhuǎn)化為極端模態(tài)，是有利的影響。反之，極端模態(tài)轉(zhuǎn)化為正常模態(tài)，是不利的影響。響應(yīng)曲線均值可以作為港灣振蕩強度的內(nèi)在指標，但想要合理地評估港灣振蕩的實際危害，必須以加權(quán)形式考慮當?shù)厝肷洳ɡ瞬艿念l率分布；

3）基于組合五和組合三的對比知，與港灣共振類似，弱響應(yīng)頻率（局部區(qū)域響應(yīng)很弱）的出現(xiàn)也是因為入射波波長與港口尺度在數(shù)值上達到了特定關(guān)系。通過調(diào)整布局，使弱響應(yīng)頻率段與當?shù)夭ㄒ叵嗥ヅ洌梢院芎玫馗纳聘蹆?nèi)泊穩(wěn)條件。