基于李薩如圖形的精確測量初相位差研究

伍泓錦，段 陽，楊浩林，樊代和,2，賈欣燕,2

(1.西南交通大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,四川 成都 610031;

2.物理國家級實驗教學(xué)示范中心(西南交通大學(xué))，四川 成都 611756)

眾所周知，由在互相垂直方向上的2個頻率成簡單整數(shù)比的簡諧振動所合成的規(guī)則的、穩(wěn)定的閉合曲線，稱為李薩如圖形(Lissajous-Figure)[1]. 由于李薩如圖形是2個沿著互相垂直方向的正弦(或余弦)振動的合成軌跡，因此通過對李薩如圖形的分析，即可以得出2個波形的一些參數(shù)信息(如最常見的頻率比等). 在通常的大學(xué)物理實驗項目中，通過將2個正弦信號分別輸入示波器的x通道和y通道，并將示波器設(shè)置為x-y模式，即可在示波器屏幕上顯示出合成的李薩如圖形. 進(jìn)一步，可以通過示波器上顯示的李薩如圖形x方向和y方向邊界的切點(或割點)個數(shù)來確定2個信號的頻率比[2]，同時也可以根據(jù)圖形的長寬比來判斷2個信號的振幅比. 目前，有文獻(xiàn)針對李薩如圖形的性質(zhì)進(jìn)行了相關(guān)的研究. 例如，田芬等人通過理論推導(dǎo)和振幅矢量合成的方法證明了李薩如圖形的重復(fù)周期性[3]. 徐定藩等人給出了李薩如圖形的相同圖形和高度對稱圖形的判定公式[4]. 黃海林等人、孫福玉等人與石涵分別都對李薩如圖形的合成作圖進(jìn)行了計算機(jī)模擬，并簡單解釋了合成圖與2個分振動的關(guān)系[5-7]. 而基于李薩如圖形的基本性質(zhì)也有相關(guān)的應(yīng)用探究:例如，陳京惠等人基于李薩如圖形的可疊加性提出了一種新的光纖分布傳感器系統(tǒng)的時延估計方法[8]. 易其順等人用其基本性質(zhì)來測量音叉的頻率[9]. 王紅理等人利用其立體性質(zhì)來測量較高頻率的信號[10]. 關(guān)于李薩如圖形的其他一些性質(zhì)研究也在文獻(xiàn)[11]中進(jìn)行了簡單的總結(jié). 然而，以上所有已報道的成果均為研究由已知正弦函數(shù)參數(shù)后所合成出的李薩如圖形的性質(zhì)，均屬正向分析過程. 到目前為止，僅鄭俊達(dá)進(jìn)行了由李薩如圖形來逆向分析正弦函數(shù)相關(guān)性質(zhì)的研究[12]，但其也僅僅提供了一種分析2個同頻信號(頻率比為1∶1)之間相位差的方法. 而實際中絕大多數(shù)情況則是合成李薩如圖形的2個信號的頻率是不相同的. 因此，如何通過已知某一合成李薩如圖形，來反向獲取2個正弦信號的參數(shù)，特別是2個正弦信號的初相位差信息的研究，到目前為止還未見報道. 基于此，本文詳細(xì)研究了利用已合成出的李薩如圖形的規(guī)律和性質(zhì)，給出用來合成李薩如圖形的2個任意未知正弦函數(shù)初相位差的方法，因此該方法可最大程度地獲取2個正弦函數(shù)參數(shù)的信息.

1 理論分析

考慮一個由x方向和y方向分別如式(1)所示的正弦函數(shù)合成的李薩如圖形. 假設(shè)其x方向正弦函數(shù)的初相位為0，則y方向正弦函數(shù)的初相位φ即為2者的初相位差.

(1)

式(1)中，t表示時間，x和y函數(shù)的振幅分別為A和B，頻率分別為p和q. 特別地，當(dāng)選擇參數(shù)A=2，B=1，p=2，q=3，φ=π/12時，合成的李薩如圖形可如圖1所示,其中M表示圖形x方向上的長度，N表示圖形y方向上的長度，C表示圖形上最靠右上方的點，a表示C點與圖形右方邊界的距離.

圖1 合成的李薩如圖形

假設(shè)測量出李薩如圖形x方向和y方向的長度分別為M和N，則可以得出

(2)

傳統(tǒng)的大學(xué)物理實驗內(nèi)容，均是已知李薩如圖形以及x方向的正弦函數(shù)頻率p值，來獲取y方向正弦函數(shù)的頻率q的值. 例如，對圖1所示的李薩如圖形，可以得知水平方向的切點數(shù)nx=3以及垂直方向的切點數(shù)ny=2，最后利用

(3)

以及x方向函數(shù)的頻率p=2，得到y(tǒng)方向函數(shù)的頻率q=pnx/ny=3.

與傳統(tǒng)大學(xué)物理實驗內(nèi)容不同的是，本文將重點分析在已知李薩如圖形形狀以及如式(1)所示的x方向函數(shù)的頻率p值情況下，如何獲取y方向和x方向正弦信號的相位差信息φ，特別是在p∶q≠1的情況時.

將式(1)中的時間參量t約去，化成y關(guān)于x的函數(shù)可得：

(4)

事實上式(4)描述的即為在xy平面上的李薩如圖形. 為了方便求解式(4)中φ的值，可以在李薩如圖形上選取一條特定的、平行于x軸的直線，例如，選取y=B=N/2這條直線. 該直線將與李薩如圖形有若干切點(xi,N/2)(i=1,2,3，…). 此時，式(4)就可以化簡為：

(5)

通過式(5)，可以進(jìn)一步得到：

(6)

其中，kl=0,±1,±2,….

當(dāng)李薩如圖形確定時，參數(shù)M,nx,ny為確定值. 此時，從式(6)可以看出，xi的值將只取決于kl和φ的值. 可以將xi的最大值xmax(即李薩如圖形與y=N/2所表示的直線相切的最大值點坐標(biāo)，如圖1中C點所示)帶入式(6)，來獲取φ的信息. 此時，式(6)即可進(jìn)一步改寫為：

(7)

針對具體的李薩如圖形，不妨設(shè)點(xmax,N/2)到圖形右邊界的距離為a(如圖1所示)，此時，根據(jù)幾何關(guān)系xmax=M/2-a，可將式(7)最終寫為：

(8)

2 實驗驗證

示波器上顯示如圖2所示的李薩如圖形，根據(jù)上述提出的方法來獲取y方向上正弦函數(shù)的初相位值，此值也為x方向上和y方向上信號的相位差值.

圖2 實驗產(chǎn)生的李薩如圖形

首先，根據(jù)示波器面板上的格數(shù)尺，可以測量出李薩如圖形x方向和y方向的長度，分別為M=9.6 div和N=6.4 div. 然后，可從圖2進(jìn)一步得知，水平方向和垂直方向的切點數(shù)分別為nx=3和ny=2. 最后，也可以測量出圖2中a的長度為1.7 div. 將上述測量結(jié)果代入式(8)，最終即可得出y方向函數(shù)的初相位值φ為

(9)

考慮到式(9)中arcsin函數(shù)的多值性，進(jìn)一步求解式(9)，可以得出φ的可能值為

(10)

(11)

其中，k2=0,±1,±2,…,分別將k1和k2的可能取值代入式(10)～(11)，最終可以得出如表1和表2所示的φ的取值(-π≤φ≤π).

當(dāng)k1和k2取其他整數(shù)時，得出的φ的值要么與表中得出的結(jié)果一致，要么超出了±π的范圍，因此不在表中列出.

從表1和表2可以看出，對于如圖2所示的實際李薩如圖形，在已知x方向函數(shù)參數(shù)的情況下，同一個李薩如圖形實際上可能對著若干個不同的初相位φ值.

表1 利用(10)式得出的φ的可能值

表2 利用(11)式得出的φ的可能值

實際上，圖2所示的李薩如圖形，是利用雙通道信號發(fā)生器，通過設(shè)置如圖3所示的參量來生成的. 其中CH1通道信號的參量設(shè)置為fx=2 kHz，Ax=2.4 V，φx=0，然后將其連接到示波器的x通道. CH2通道信號的參量設(shè)置為fy=3 kHz，Ay=1.6 V，φy=π/6≈0.167π，將其連接到示波器的y通道，最終合成了李薩如圖形. 此時，φy的值即為所要得出的初相位差值φ.

圖3 信號發(fā)生器參數(shù)設(shè)置圖

從表1得出的結(jié)果可以看出，利用本文提出的分析方法得出的結(jié)果之一(0.164π)，與設(shè)置值(π/6)相比，相對誤差約為1.8%，證明了本文提出方法的適用性.

值得注意的是，從表1和表2的結(jié)果可看出，如圖2所示的李薩如圖形，也可以得出初相位差φ(-π≤φ≤π)的其他可能取值有：-0.836π，-0.664π，0.336π. 因此，在不改變信號發(fā)生器的其他參量下，僅改變CH2通道的相位值φy，在示波器上顯示了合成的李薩如圖形，如圖4所示.

從圖4實際合成的李薩如圖形可以看出，當(dāng)初相位差分別為表1和表2所示的值時，將得出完全相同的李薩如圖形.

(a)φy=-0.836π

(b)φy=-0.664π

(c)φy=0.336π圖4 僅改變φy值時，合成的李薩如圖形

3 結(jié)束語

從李薩如圖形的結(jié)構(gòu)和特點出發(fā)，提出了通過李薩如圖形來獲取合成圖形的2個互相垂直方向正弦信號的初相位差的方法. 當(dāng)已知水平方向(如x方向)正弦函數(shù)的參量時，通過合成的李薩如圖形，提出一種獲得垂直方向(如y方向)正弦函數(shù)的相位信息的方法，進(jìn)而獲取2個垂直方向信號的初相位差信息. 通過研究發(fā)現(xiàn)，對于特定的李薩如圖形，2個互相垂直的信號的初相位差并不唯一，存在多種可能值. 最后對理論分析結(jié)果進(jìn)行驗證，實驗結(jié)果與理論分析基本一致.