凸透鏡成像球差的模擬與測(cè)量

余昌愷, 岑 剡

(復(fù)旦大學(xué) 物理學(xué)系，上海 200433)

高性能光學(xué)成像系統(tǒng)在軍事、科研、醫(yī)學(xué)、民用上有大量應(yīng)用，如導(dǎo)彈的導(dǎo)引頭、光電系統(tǒng)中的熱成像裝置、天文望遠(yuǎn)鏡、攝像機(jī)鏡頭等[1]. 對(duì)幾何成像系統(tǒng)，像差是衡量成像質(zhì)量的重要指標(biāo). 對(duì)像差進(jìn)行測(cè)量，可以審核成像系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和制造質(zhì)量[2]. 在物理教學(xué)中，像差相關(guān)內(nèi)容較少，學(xué)生對(duì)這方面問題缺乏理解. 因而有必要設(shè)計(jì)合適的像差實(shí)驗(yàn)，加深學(xué)生對(duì)像差的理解，形成正確的物理圖像.

常見的球差測(cè)量方法包括焦面測(cè)量法、刀口陰影測(cè)量法、哈特曼測(cè)量法[3]和剪切干涉法[4-5]等. 焦面測(cè)量法是基于2組干涉條紋的重合獲得各環(huán)帶光束焦點(diǎn)的位置，在測(cè)量時(shí)需利用光的干涉現(xiàn)象反復(fù)移動(dòng)CCD，測(cè)量過程反復(fù)，距離測(cè)量精度對(duì)結(jié)果影響極大. 刀口陰影測(cè)量法是利用刀口遮擋光束，基于遮擋位置與陰影圖的關(guān)系進(jìn)行球差測(cè)量，其中刀口位置與陰影亮暗交替條紋的寬度間定量關(guān)系復(fù)雜，不便于數(shù)值計(jì)算. 哈特曼測(cè)量法是二次截面測(cè)量法，巧妙地對(duì)光線追跡圖進(jìn)行模擬并進(jìn)行球差的測(cè)量，其操作繁復(fù)，測(cè)量工作繁重，不利于實(shí)驗(yàn)的開展[1]. 剪切測(cè)量法是通過玻璃平行平板形成橫向剪切干涉儀來觀察單薄透鏡形成的準(zhǔn)直光束的剪切干涉條紋，并由干涉條紋分布求出對(duì)應(yīng)的幾何像差[4]，其數(shù)學(xué)計(jì)算過程過于復(fù)雜繁瑣.

如何在有限時(shí)間內(nèi)完成具有一定測(cè)量精度的物理教學(xué)實(shí)驗(yàn)具有一定挑戰(zhàn)性，而上文所述的常見測(cè)量方法不能滿足實(shí)驗(yàn)教學(xué). 本文基于球差的模型及數(shù)值計(jì)算方法，利用CCD圖像傳感技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)，設(shè)計(jì)了球差的快速定量測(cè)量方法.

1 凸透鏡球差的數(shù)值計(jì)算

1.1 球差

球面像差簡稱球差，指透鏡成像中入射高度不同的光線不會(huì)聚于一點(diǎn)，而分布在透鏡焦點(diǎn)附近區(qū)域內(nèi)的現(xiàn)象，如圖1所示. 球差與透鏡、入射光孔徑角以及入射光與透鏡交點(diǎn)到光軸的距離h相關(guān)，可用軸向球差定量描述.

圖1 球差示意圖

設(shè)入射光與透鏡的交點(diǎn)到光軸的距離為h，由h入射的光經(jīng)透鏡會(huì)聚于Qh，理想成像點(diǎn)Q0. 軸向球差定義為[6]

δSh=Qh-Q0.

(1)

球差的影響因素較多且解析求解困難. 數(shù)值計(jì)算軟件的發(fā)展為球差計(jì)算提供了有效途徑[7].

1.2 球差的數(shù)值計(jì)算

球差是由于透鏡對(duì)傍軸光線與非傍軸光線會(huì)聚能力不同造成的. 基于軸向球差的定義，可通過分別計(jì)算傍軸及非傍軸光線通過透鏡后的會(huì)聚位置得到球差.

1.2.1 單個(gè)折射面的折射

考慮一般情況，先分析任意光線經(jīng)過單個(gè)折射球面時(shí)的參量變化. 設(shè)體系光源為點(diǎn)光源.

對(duì)單個(gè)折射面，如圖2所示，設(shè)折射面曲率半徑r，物空間、像空間折射率分別為n和n′. 設(shè)光源到折射面距離l，入射光孔徑角為u，入射角i；像到折射面距離l′，出射光孔徑角為u′，折射角i′. 參量之間的關(guān)系為[8]

(2)

初始條件l和u確定后，由方程組(2)可得光線會(huì)聚位置l′和孔徑角u′.

圖2 單折射面光路示意圖

1.2.2 透鏡及透鏡組的折射

對(duì)2個(gè)及以上折射面的情況，同樣利用方程組(2)進(jìn)行計(jì)算. 對(duì)后續(xù)的折射面，其初始條件l2及u2為[8]

(3)

其中,l1′及u1′為上一折射面的出射參量，d1為上一折射面與該折射面之間的距離. 將轉(zhuǎn)換后的初始條件代入式(2)，即可得到光經(jīng)過該折射面后的出射位置及相應(yīng)孔徑角. 通過連續(xù)的迭代，以上公式即可應(yīng)用于透鏡組、膠合透鏡等幾何光學(xué)成像體系.

1.2.3 基于Matlab的薄透鏡球差數(shù)值計(jì)算

對(duì)于薄透鏡，透鏡參量已知. 將入射光初始條件代入式(3)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，即可得到其出射光的會(huì)聚位置. 分別計(jì)算傍軸光線與非傍軸光線的會(huì)聚位置，即可求得透鏡球差.

由上述分析可知，對(duì)于單個(gè)薄透鏡，出射光的會(huì)聚位置L′是入射光位置l、孔徑角u及透鏡參量的函數(shù)，即

L′=L′(u,l,r1,r2,n,n′),

(4)

入射光與透鏡的交點(diǎn)到光軸的距離h與孔徑角u的關(guān)系為

(5)

則可以將L′改寫為l，h及透鏡參量的函數(shù)，即

L′=L′(h,l,r1,r2,n,n′).

(6)

當(dāng)入射光為平行光時(shí)，其會(huì)聚位置為光源位于無窮遠(yuǎn)處時(shí)L′的極限為

(7)

對(duì)平行光中的傍軸光線，取Qh的h趨向于零時(shí)的極限為

(8)

將初始條件式(6)～(8)，并根據(jù)式(1)，即可進(jìn)行球差的數(shù)值計(jì)算. 在Matlab中進(jìn)行球差的數(shù)值計(jì)算，體系參量如表1所示.

表1 球差數(shù)值計(jì)算體系參量表

圖3 Matlab球差數(shù)值計(jì)算

計(jì)算結(jié)果如圖3所示，可以看到，球差隨著h的增大而增大.

2 球差測(cè)量

2.1 球差測(cè)量方法

凸透鏡成像的光線追跡如圖4所示. 透鏡位于圖中左側(cè)縱軸處. 為了排除孔徑角對(duì)球差的影響，實(shí)驗(yàn)使用平行光入射. 要對(duì)球差進(jìn)行測(cè)量，只需測(cè)量Qh和Q0，二者相減得δsh.

圖4 凸透鏡成像光線追跡圖

2.1.1Qh測(cè)量方法

如圖4所示，Qh為透鏡邊緣光線在光軸上的會(huì)聚位置. 在靠近焦點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)，由于透鏡外側(cè)光線的會(huì)聚速度較快，與透鏡內(nèi)側(cè)的光線相交，光斑邊緣由內(nèi)側(cè)光線組成；在靠近透鏡的區(qū)域內(nèi)，光斑邊緣仍由透鏡邊緣射出的光線組成，光斑的半徑隨光斑位置線性變化.

基于以上分析，實(shí)驗(yàn)在線性變化區(qū)域內(nèi)，記錄光斑半徑-光斑位置關(guān)系，并進(jìn)行擬合，得到透鏡邊緣光線的直線方程. 利用直線方程算出光與光軸的交點(diǎn)，即可得到Qh. 其中，光斑半徑利用CCD拍攝照片，并利用計(jì)算機(jī)程序?qū)φ掌泄獍哌M(jìn)行擬合得到.

2.1.2Q0測(cè)量方法

如圖4所示，在光斑最小處后，光斑呈現(xiàn)外暗內(nèi)亮. 隨著觀察位置后移，中心光斑逐漸減小. 在焦點(diǎn)之后，光全部開始發(fā)散，中心光斑消失. 反復(fù)測(cè)量中心光斑最小到消失的臨界位置并取平均，即可得到Q0.

2.2 實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)裝置如圖5所示. 準(zhǔn)直管產(chǎn)生的平行光，經(jīng)過透鏡會(huì)聚在CCD處. CCD連接計(jì)算機(jī)，利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行成像的觀察. CCD相機(jī)用支座、一維燕尾平移臺(tái)及寬滑塊安裝在光具座上. 通過轉(zhuǎn)動(dòng)平移臺(tái)鼓輪前后移動(dòng)相機(jī)，觀察成像. 平移臺(tái)鼓輪最小分度0.01 mm，不確定度限值0.004 mm. CCD傳感器尺寸為1/1.8英寸，分辨率為1 280×1 024.

圖5 實(shí)驗(yàn)裝置圖

實(shí)驗(yàn)所用透鏡為BK7玻璃. 準(zhǔn)直管紅光波長為630 mm，對(duì)應(yīng)折射率n′=1.515 2.

圖6為準(zhǔn)直管的結(jié)構(gòu)原理圖. 準(zhǔn)直管由物鏡及置于物鏡焦平面上的帶有小孔的分劃板、光源以及為使分劃板被均勻照亮而設(shè)置的毛玻璃組成. 由于分劃板置于物鏡的焦平面上,因此,當(dāng)光源照亮分劃板后,分劃板上小孔處發(fā)出的光經(jīng)過透鏡后成為平行光. 這樣,對(duì)觀察者來說,分劃板又相當(dāng)于無限遠(yuǎn)距離的目標(biāo).

圖6 準(zhǔn)直管結(jié)構(gòu)原理圖

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及討論

3.1 軸向球差測(cè)量結(jié)果

用上述方法對(duì)軸向球差進(jìn)行多次測(cè)量，記錄Qh和Q0測(cè)量值，求出軸向球差并取平均，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示. 計(jì)算得球差δsh=(1.52±0.07) mm. 在Matlab中用上述原理進(jìn)行計(jì)算，得球差數(shù)值計(jì)算結(jié)果為δsh=1.55 mm. 實(shí)驗(yàn)測(cè)量值相對(duì)偏差為2%. 計(jì)算所得理論值在實(shí)驗(yàn)不確定度范圍內(nèi)，在目前測(cè)量條件下，二者互相吻合，實(shí)驗(yàn)誤差較小.

表2 球差測(cè)量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表

3.2 初級(jí)球差的光斑特征

球差現(xiàn)象對(duì)凸透鏡成像的影響是實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)與核心. 對(duì)球差現(xiàn)象的觀察能有力促進(jìn)學(xué)生對(duì)球差的理解. 在一般的凸透鏡成像實(shí)驗(yàn)中，由于光源亮度過大，肉眼無法直接觀察到光斑內(nèi)部的光強(qiáng)分布. 本實(shí)驗(yàn)通過減弱光源強(qiáng)度并結(jié)合CCD圖像傳感技術(shù)，可在完成具有一定精度測(cè)量的同時(shí)直觀地展示初級(jí)球差的光斑特征，便于學(xué)生形成物理圖像.

球差對(duì)光斑的影響主要體現(xiàn)為：光無法會(huì)聚至一點(diǎn)并形成具有一定面積的光斑；光斑半徑與位置的非線性關(guān)系；光斑內(nèi)部的光強(qiáng)分布及最小光斑前后光強(qiáng)分布的不對(duì)稱性.

在理想情況下，入射平行光被透鏡會(huì)聚于焦點(diǎn)并發(fā)散. 會(huì)聚形成的光斑亮度均勻且關(guān)于焦點(diǎn)對(duì)稱. 在實(shí)際情況下，非傍軸光線被會(huì)聚于透鏡焦點(diǎn)前某處；而傍軸光線被會(huì)聚于焦點(diǎn)處. 由于會(huì)聚位置分布在焦點(diǎn)附近的一片區(qū)域內(nèi).

如圖7所示，A區(qū)域光線分布相對(duì)均勻，光斑亮度相對(duì)均勻；B區(qū)域光線外側(cè)密集，內(nèi)部稀疏，光斑由外部亮圓環(huán)與內(nèi)部較暗的圓組成；C區(qū)域光線內(nèi)部密集外側(cè)稀疏，光斑內(nèi)亮外暗，分為內(nèi)部較亮的圓與外部較暗的圓環(huán)；D區(qū)域光線發(fā)散，光斑亮度從內(nèi)向外遞減.

圖7 光線追跡圖及其分區(qū)

在距離透鏡不同位置利用CCD拍照，圖像及在追跡圖中的對(duì)應(yīng)區(qū)域如圖8所示. 圖8(a)中光斑亮度相對(duì)均勻；圖8(b)中光斑外亮內(nèi)暗；圖8(c)中光斑內(nèi)亮外暗；圖8(d)中光線發(fā)散，亮度從內(nèi)向外遞減. 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象符合預(yù)期.

圖8 凸透鏡成像實(shí)拍圖

3.3 光斑半徑-位置關(guān)系

理想透鏡中，光斑半徑與位置呈線性關(guān)系. 實(shí)際情況中，如圖7所示，由于透鏡邊緣光線會(huì)聚速度快，在B區(qū)與透鏡內(nèi)側(cè)光線相交，光斑半徑與位置呈非線性關(guān)系. 實(shí)驗(yàn)測(cè)得二者關(guān)系如圖9所示.

圖9 光斑半徑-位置關(guān)系圖

由圖9可知，在光斑最小處前，光斑半徑隨位置先線性減小，隨后曲線斜率逐漸減小，二者呈非線性關(guān)系；光斑最小處后，光斑半徑隨位置線性增大. 因此進(jìn)行Qh測(cè)量時(shí)，光斑最小處前方直線的測(cè)量應(yīng)選取距離光斑最小處前較遠(yuǎn)位置，否則測(cè)得球差具有一定誤差.

3.4 曝光時(shí)間的影響

在CCD圖像的獲取中，曝光時(shí)間是影響圖像質(zhì)量的重要因素. 如圖10所示，隨著曝光時(shí)間增加，光斑細(xì)節(jié)更加清晰. 另一方面曝光時(shí)間增加導(dǎo)致過曝光的出現(xiàn)且噪聲、環(huán)境光的影響增大. 過曝光區(qū)域面積隨曝光時(shí)間增大而增大. 觀察及拍照時(shí)應(yīng)選擇合適的曝光時(shí)間以在背景光、噪聲較小的前提下，避免圖像細(xì)節(jié)的丟失.

(a)40 ms (b)60 ms (c)80 ms圖10 不同曝光時(shí)間下的B區(qū)光斑

在Q0測(cè)量中，圖像的中心亮斑觀察與曝光時(shí)間密切相關(guān). 若曝光時(shí)間過長，Q0前后一段區(qū)域內(nèi)圖像均有中心亮斑，且亮斑較大，不利于Q0測(cè)量；另一方面，從Qh處至Q0處，光軸上的光通量逐漸減小，若曝光時(shí)間過短，或觀察不到中心亮斑，導(dǎo)致Q0測(cè)量值偏小.

3.5 Qh測(cè)量誤差及其改進(jìn)

實(shí)驗(yàn)不確定度主要來源于Qh的測(cè)量誤差，Qh貢獻(xiàn)了90%以上的不確定度.Qh的測(cè)量精度受CCD圖像質(zhì)量及圓識(shí)別算法的限制.

實(shí)驗(yàn)采取霍夫變換法對(duì)CCD拍攝圖像進(jìn)行圓識(shí)別. 圓形識(shí)別的精確度受光斑對(duì)比度、邊緣連續(xù)度、噪聲等的影響[9]. 如上文所述，Qh的測(cè)量需要A區(qū)域光斑半徑的測(cè)量. 實(shí)驗(yàn)所取測(cè)量位置的光斑半徑為光斑最小半徑的20～30倍，因而光斑光強(qiáng)、邊緣亮度梯度較小. 實(shí)驗(yàn)采取了改變圖像整體亮度、對(duì)比度的方法增大光斑亮度，但由于原圖像亮度較低，環(huán)境光及噪聲的相對(duì)強(qiáng)度較大，亮度提升的同時(shí)噪聲強(qiáng)度也得到了增強(qiáng)，光斑半徑測(cè)量具有一定誤差.

實(shí)驗(yàn)改進(jìn)應(yīng)主要考慮圖像質(zhì)量的提升以及圖像預(yù)處理方法的改進(jìn). 圖像質(zhì)量上，可通過提升光源亮度、減少背景光的辦法提升原圖像中的光斑對(duì)比度. 圖像預(yù)處理方面，考慮通過改進(jìn)預(yù)處理方法，減少背景光、噪聲對(duì)圓識(shí)別的影響.

4 結(jié) 論

根據(jù)凸透鏡成像的理論模型，設(shè)計(jì)了簡單的球差定量測(cè)量方法. 該方法基于軸向球差的定義，通過分別測(cè)量非傍軸光線以及傍軸光線的會(huì)聚位置測(cè)得透鏡球差，相比于其他測(cè)量方法更易于理解，測(cè)量過程也更加簡便. 根據(jù)模型計(jì)算結(jié)果，推測(cè)凸透鏡成像過程中光斑呈現(xiàn)從亮度均勻到外亮內(nèi)暗，再到外暗內(nèi)亮直至最后完全發(fā)散的現(xiàn)象. 利用CCD圖像傳感技術(shù)觀察光斑內(nèi)部光強(qiáng)分布，實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合預(yù)期. 實(shí)驗(yàn)測(cè)得在平行光入射條件下，待測(cè)透鏡軸向球差δsh=(1.52±0.07) mm，相對(duì)誤差2%.