磁力小火車驅(qū)動原理及速度影響因素分析

張適

(北京市育英學(xué)校 北京 100036)

在第七屆中國大學(xué)生物理學(xué)術(shù)競賽中有這樣一道題目：兩個扁圓柱形磁鐵與一個柱狀的電池兩端相接，當(dāng)這個體系放在銅線圈內(nèi)部且與銅接觸的時(shí)候，它會開始運(yùn)動．解釋這個現(xiàn)象并且研究相關(guān)參量怎么影響火車的速度和功率．

題目中的小實(shí)驗(yàn)材料簡單、制作簡易，效果明顯，充分展現(xiàn)了電磁驅(qū)動現(xiàn)象，引發(fā)了不少學(xué)生和教師的關(guān)注和討論，這道題目也曾作為北京市中學(xué)生物理學(xué)術(shù)競賽的一道題目．筆者觀看了參賽小組對本題目的研究匯報(bào)發(fā)現(xiàn)，在解釋小火車的運(yùn)動原理時(shí)，都引用了“磁力小火車的驅(qū)動原理”一文的分析方法，即將磁鐵的磁性解釋為分子磁矩和等效環(huán)形電流[1]，這種方法有效地解釋了小火車的驅(qū)動原因；在研究相關(guān)參量影響小火車的速度時(shí)，參賽小組應(yīng)用控制變量法，從銅線長度、螺線圈橫截面積、線圈匝數(shù)、電池節(jié)數(shù)、磁鐵數(shù)以及電池連接方式等方面進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)探究，并作了相應(yīng)的解釋，取得了較好的效果．筆者認(rèn)為，在一些實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的分析和原理的解釋中仍有不完善之處，有必要作進(jìn)一步探討．如，磁力小火車的驅(qū)動原理還有什么方法分析？小火車的動力和阻力究竟有哪些，與什么因素有關(guān)？小火車啟動后為什么會達(dá)到一個恒定的速度？小火車的最大速度和功率與哪些因素有關(guān)？本文試圖對以上問題作一些分析，不當(dāng)之處望同行批評指正．

1 驅(qū)動原理分析

通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，磁鐵吸附電池的方式中，只有如圖1中的兩種方式才會使電池運(yùn)動．當(dāng)電池正負(fù)極都與磁鐵N極相連，即正(N)負(fù)(N)型，這種情況下電池向右運(yùn)動；當(dāng)電池正負(fù)極都與磁鐵S極相連，即正(S)負(fù)(S)型，這種情況下電池向左運(yùn)動．如果改變線圈的繞行方式或改變電池的放置方向，能運(yùn)動的仍然是這兩種方式，只不過電池運(yùn)動的方向會發(fā)生改變，這說明螺線管的繞向與電池能否運(yùn)動無關(guān)．小火車的驅(qū)動原理和運(yùn)動方向的原因，也可以通過以下兩種方法解釋．

圖1 磁鐵吸附電池的兩種方式

方法1：以圖1(a)為例，電池在螺線管中某處時(shí)，電池通過左端磁鐵A和右端磁鐵B及它們之間的銅導(dǎo)線圈連成一導(dǎo)電回路，其電流如圖2所示．

圖2 電池通過兩端磁鐵及之間導(dǎo)線圈連成一回路

沿螺線軸線方向取一截面，兩磁鐵在通電導(dǎo)線處產(chǎn)生的磁場如圖3所示.根據(jù)左手定則可判斷出靠近A處的導(dǎo)線所受的安培力方向呈向左發(fā)散狀，如F1，F(xiàn)2，F(xiàn)5，F(xiàn)6其合力向左，靠近B處的導(dǎo)線所受的安培力方向呈向左匯聚狀，如F3，F(xiàn)4，F(xiàn)7，F(xiàn)8其合力也向左，故A，B間的銅線圈所受的合力方向向左．根據(jù)牛頓第三定律知，當(dāng)銅線圈不動時(shí)，磁鐵和電池組合體就會受到向右的動力，當(dāng)動力大于阻力時(shí)就會向右運(yùn)動．

圖3 靠近A,B處導(dǎo)線所受安培力情況

方法2：仍以圖1(a)為例，電池在螺線管中某處時(shí)，兩磁鐵A與B間通電螺線管產(chǎn)生的磁場如圖4所示．

圖4 通電螺線管產(chǎn)生的磁場

由于靠近電池的正極和負(fù)極處的磁場較強(qiáng)，所以靠近電池的磁極所受的力較大，A，B兩磁鐵的N極和S極所受磁力情況如圖5所示.A磁鐵的N極受到向右的磁力FAN大于S極受到向左的磁力FAS，合力向右，B磁鐵的N極受到向右的磁力FBN大于S極向左的磁力FBS，合力也向右，顯然電池和兩磁鐵組合體所受的合力方向向右，當(dāng)這個合力大于組合體所受的阻力時(shí)，就會向右運(yùn)動．

圖5 A，B兩磁鐵N，S極所受磁力情況

2 受力分析

實(shí)驗(yàn)表明，最初小火車由靜止開始做加速運(yùn)動，而后很快就達(dá)到最大速度保持恒定的速度勻速運(yùn)動.從力與運(yùn)動角度分析，加速運(yùn)動過程中，驅(qū)動力大于所受的阻力；達(dá)到最大速度時(shí)，驅(qū)動力等于所受阻力．從加速到勻速，小火車所受的驅(qū)動力和阻力應(yīng)至少有一個發(fā)生變化，才能使合外力逐漸減小至零，那么，是什么力發(fā)生了變化？

2.1 驅(qū)動力分析

驅(qū)動力是銅線圈產(chǎn)生的磁場與A，B磁鐵間的相互作用力，這個力由線圈中的電流大小和A，B磁極的磁場強(qiáng)弱決定．以圖4為例，當(dāng)小火車靜止時(shí)，由于前后兩個磁極相同，它們在A，B段銅線管中的磁通量始終為零，并不產(chǎn)生感應(yīng)電動勢；當(dāng)小火車向右運(yùn)動時(shí)，對A，B段銅線圈而言，A磁鐵進(jìn)入線圈，使線圈向右的磁通量增大，B磁鐵離開線圈，使線圈向左的磁通量減小．由楞次定律可判斷出，在該段線圈中產(chǎn)生與原電流方向相反的感應(yīng)電動勢 (反電動勢)．以圖3為例，若用Bi表某匝線圈處的磁感應(yīng)強(qiáng)強(qiáng)度，θi表示磁感線與該匝線圈平面的夾角，用n和d分別表示A，B段銅線圈的匝數(shù)和橫截面直徑，v表示小火車的速度，則反電動勢可表示為

(1)

若用E，r分別表示電池的電動勢和內(nèi)電阻，R表示A，B段銅線圈的電阻，由閉合電路歐姆定律可得A，B段銅線圈中的電流為

用Fi表示所受的安培力，由如圖6所示可求得A，B段銅線圈所受磁鐵的作用力為

圖6 A，B段銅線圈所受到磁場的作用力

根據(jù)作用力與反作用力，可得小火車所受的驅(qū)動力為

(2)

由式(1)、(2)分析可知，隨著小火車速度的增大，反電動勢增大，電流減小，驅(qū)動力逐漸減小，當(dāng)速度恒定時(shí)，驅(qū)動力也達(dá)到恒定值．

2.2 阻力分析

摩擦阻力.由Ff=μFN知，小火車前進(jìn)時(shí)所受銅線圈的摩擦阻力大小應(yīng)與車重和接觸面處的動摩擦因數(shù)決定，其大小為Ff=μmg，其中μ為磁鐵和電池與銅線圈間的動摩擦因數(shù)，m為磁鐵和電池的總質(zhì)量．當(dāng)銅線圈水平放置且繞制的疏密程度相同時(shí)，組合體的重量不變，摩擦阻力大小基本不變．

空氣阻力.小火車前進(jìn)所受空氣阻力雖然與車速有關(guān)，但小火車的速度又較小，這個阻力是很小的，可以不考慮．

電磁阻尼.以圖4為例，當(dāng)小火車前進(jìn)時(shí)，電池兩端的A磁鐵靠近通電銅線圈產(chǎn)生的磁場，B磁鐵遠(yuǎn)離通電銅線圈產(chǎn)生的磁場，使得穿過A，B磁鐵截面的磁通量發(fā)生變化，從而在A，B截面上產(chǎn)生感應(yīng)電流(渦流)，并受到阻礙運(yùn)動的力．電磁阻尼力無法定量表達(dá)，我們可以進(jìn)行簡化處理，將磁鐵簡化為一等效金屬圓環(huán)，其直徑為dj，等效電阻為Rj，若用Bj表示通電銅線圈在該環(huán)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度，α表示Bj與環(huán)面的夾角，如圖7所示.

圖7 將磁鐵簡化為等效金屬圓環(huán)

當(dāng)小車以v向右運(yùn)動時(shí)，環(huán)切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電動勢為

Ej=Bjπdjvcosα

感應(yīng)電流為

所受的電磁阻力為

(3)

可見，隨著車速的增大，電磁阻力增大．運(yùn)動中，由于磁鐵和通電線圈相對靜止，穿過兩磁鐵的磁通量沒有明顯變化，所以這個電磁阻尼力較小，也可以不考慮．

3 最大加速度和最大速度分析

3.1 啟動條件及最大加速度

若用FD表示驅(qū)動力，F(xiàn)f表示阻力，不考慮空氣阻力和在磁鐵中產(chǎn)生的電磁阻尼力，m,a分別表示小火車的質(zhì)量和加速度，由牛頓第二定律可得

FD-Ff=ma

(4)

由式(4)可知，若要想使小火車啟動時(shí)，須有FD>Ffm，F(xiàn)fm為最大靜摩擦力，通常取Ffm=μ0mg(μ0為靜摩擦因數(shù))；運(yùn)動開始時(shí)，速度v=0，F(xiàn)D最大，由式(1)和式(2)和得最大驅(qū)動力為

啟動的條件為

(5)

實(shí)驗(yàn)表明，對磁鐵、線圈材料、電池都有一定要求，一般取一節(jié)普通的南孚7 號電池、4～10片直徑12 mm圓柱形釹鐵硼超強(qiáng)磁鐵、直徑約1 mm的銅線繞制的螺線管，完能較好地成實(shí)驗(yàn)．

小火車啟動后加速運(yùn)動的加速度可由式(4)求出

小火車剛啟動時(shí)，速度v=0，I最大，由以上各式可得最大加速度為

(6)

3.2 最大速度及影響因素

小火車啟動后，v增大，F(xiàn)D減小，加速度a減??；當(dāng)a=0時(shí)，F(xiàn)D減小到最小值，v達(dá)到最大值，由式(1)、(2)、(4)聯(lián)立可得最大速度為

(7)

由式(7)分析可知，影響小火車運(yùn)動速度的因素有A,B磁鐵的磁性強(qiáng)弱、體積大小、材質(zhì)、質(zhì)量和個數(shù)，電池的電動勢、內(nèi)阻、質(zhì)量，銅線圈的粗細(xì)、銅絲的粗細(xì)、繞制的松緊程度(A,B間的匝數(shù))，A,B磁鐵與銅線圈間的動摩擦因數(shù)等．在這些因素中，動摩擦因素μ越小、電池的電動勢E越大，A,B間銅線圈和電池的內(nèi)電阻越小，磁鐵和電池的總質(zhì)量m越小，小火車的速度越大．對于式中的dBC，則需要分情況討論．

條件下，分析如下：

時(shí)，vm有最大值，為

時(shí)，隨著πdBC的增大，vm減??；

時(shí)，隨著πdBC的增大，vm增大．

其他因素對速度v的影響都是雙重的，如增加磁鐵的對數(shù)時(shí)，磁性增強(qiáng)了，利于增大驅(qū)動力，但在線圈中產(chǎn)生的反電勢也增大了，磁鐵和電池的總質(zhì)量增大，也增大了摩擦力；增加A，B間銅線圈的匝數(shù)時(shí)，也同時(shí)增大了反電動勢，減小了銅絲的橫截面，增大了導(dǎo)線的電阻，同時(shí)增大了磁鐵中產(chǎn)生的渦流．

需要說明的是，以上表達(dá)式，是簡化了的物理模型，只能說明影響速度的相關(guān)因素有哪些，并不能完全反應(yīng)實(shí)際情況，特別是影響速度的某些因素究竟對速度有何影響，必做進(jìn)一步定量測算和分析．

4 功率分析

由式(1)和式(7)兩式可求得：小火車勻速運(yùn)動時(shí)，在銅線圈中產(chǎn)生的反電動勢和回路電流分別為

(8)

電源提供的總功率和回路消耗的熱功率分別為

(9)

小火車的機(jī)械功率為

(10)

P機(jī)最大，為

(11)

此時(shí)電源提供的總功率、回路消耗的熱功率分別為

(12)

可見

IE=IE反+I2(R+r)

由此，可得出如下結(jié)論：

(1)從能的轉(zhuǎn)化和守恒角度說，正是這個反電動勢的存在，才使得電池消耗電能的一部分轉(zhuǎn)化為小火車的機(jī)械能．

(2)小火車的最大機(jī)械功率僅由電源的電動勢和回路總電阻決定，這也是機(jī)械功率的理想最大值．