徐瀝泉,史立新,周公賢
(1.無錫市教科院,無錫214001;2.無錫華羅庚研究會,無錫2140003)
本文系2009 年一道高考全國卷數(shù)學(xué)試題壓軸題所引發(fā)的思考。先看題目的表述:
文獻(xiàn)[1-3],都涉及到對2009 年全國卷I(理)22 題(下稱考題)的研究與評論。題目是這樣的:
設(shè)函數(shù)f(x)=x3+3bx2+3cx 有兩個極值點(diǎn)x1和x2,且x1∈[- 1,0],x2∈[1 ,2]。
(I)求b、c 滿足的約束條件,并在坐標(biāo)平面內(nèi),畫出滿足這些條件的點(diǎn)( b, c )的區(qū)域;
(II)證明:-10 ≤f( x2)≤-1/2。
略解(I)由題意推出b、c 的約束條件為:
滿足這些條件的點(diǎn)( b, c )的區(qū)域?yàn)閳D1 中陰影部分并含其邊界。
由于命題者對(II)的標(biāo)準(zhǔn)答案所給出的證明(此處從略)是“消去了系數(shù)b”而推出的。
結(jié)果;于是就有文獻(xiàn)[1]的質(zhì)疑:“為什么不消去c”?進(jìn)而又有文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[3]等爭鳴與評論。其實(shí),“消b”正是運(yùn)用了關(guān)系式f( x2,b ( c, x2));而“消c”是運(yùn)用了關(guān)系式f( x2,c ( b, x2))。由題設(shè),點(diǎn)( b, c )雖約束在區(qū)域φ( b,c )中,但它們卻可以是其中的任意一個點(diǎn)。實(shí)際上,這個看似關(guān)于要求f( x2)的一元三次多項(xiàng)函數(shù)的極值,卻是一個關(guān)于二元函數(shù)在平面區(qū)域φ( b,c )下的條件極值問題。因?yàn)椋瑇2是f'( x2)=3x22+6bx2+3c 的根,且x2∈[1 ,2],故
圖1
一般說來,對諸如此類條件極值問題的處理,中學(xué)生只能運(yùn)用一些特殊的解法,而大學(xué)生則會自然而然地運(yùn)用一般的方法,即拉氏乘數(shù)法去求解[4]。但作為一個中學(xué)數(shù)學(xué)教師,不僅應(yīng)該通曉初等數(shù)學(xué),而且也應(yīng)該了解其高等數(shù)學(xué)背景。尤其是高考試題中的那些把關(guān)題和壓軸題,都具有明顯的高等數(shù)學(xué)背景,它們對以后進(jìn)一步深造來說是非常必須的,具有較好的選拔功能,同時也具有導(dǎo)學(xué)和導(dǎo)教功能。對這些問題,教師本身在思想上沒有個底,要在平時引導(dǎo)學(xué)生獲得較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是困難的,而要在高考時轉(zhuǎn)化為學(xué)生在考場上的能力更是不可能的。
F.克萊因(Felix Christian Klein,1849~1925)強(qiáng)調(diào)要用近代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來改造傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容,倡導(dǎo)“高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)”意識。在克萊因看來,基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的教師應(yīng)該站在更高的視角(高等數(shù)學(xué))來審視、理解初等數(shù)學(xué)問題,只有觀點(diǎn)高了,事物才能顯得明了而簡單;有許多初等數(shù)學(xué)的現(xiàn)象只有在非初等的理論結(jié)構(gòu)內(nèi)才能深刻地理解。他的名著《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》,對我國從事數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)教育的廣大讀者具有較好的啟示作用[5]。用拉氏乘數(shù)法并借助數(shù)學(xué)軟件Mathematica 來審視這道高考壓軸題,不僅不會有上述的質(zhì)疑和爭鳴,而且還能深刻地理解命題人是如何給出這道考題的題設(shè)條件的。
盡管多元函數(shù)求極值計算量較大,很多情況下手動計算難以實(shí)現(xiàn)。但應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件不僅極大地降低了多元函數(shù)極值問題的求解難度,提高了教學(xué)效率,而且還能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,進(jìn)而提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。
以下介紹使用拉氏乘數(shù)法和Mathematica 對此問題的實(shí)現(xiàn)[6-8]。
先引入一元三次多項(xiàng)式函數(shù)的極值點(diǎn)公式。如所知,關(guān)于x 的一元三次多項(xiàng)式的一般形式為f(x)=ax3+bx2+cx+d,其中a、b、c、d ∈R,是多項(xiàng)式f(x )的系數(shù),確保f(x )是3 次多項(xiàng)式。
證明:我們先考慮形如f(x)=x3+cx 的較為簡單情形。顯然,當(dāng)c ≥0 時,恒有:
f'(x)=3x2+c ≥0,故f(x )在( -∞ , +∞ )上是增函數(shù),無極值點(diǎn);而當(dāng)c<0,且x ∈( 0, +∞)時,
下面,我們考慮一般情形,不妨設(shè):
a=1,f(x)=x3+bx2+cx+d。
否則只要改變項(xiàng)的系數(shù)而已??紤]等價式:
右邊的導(dǎo)函數(shù)為:
對于常系數(shù)的一元三次多項(xiàng)式,它的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)是確定的、固定的,其本身并無極值可言;然而,對變系數(shù)的一元三次多項(xiàng)式,隨著它們的系數(shù)在某一個范圍內(nèi)變化,它的極值點(diǎn)也隨之改變,相對前者而言的常數(shù)已成為變量,因而就有所謂的極值存在。
下面,我們利用數(shù)學(xué)軟件Mathematica 給出那道考題的動態(tài)圖像,指令為:
Manipulate[Plot[x^3+3*b*x^2+3*c*x,{x,-2,2},Plot Range→All],{{b,-1},-1,0},{{c,-2},-2,0}]
它表示f(x )的系數(shù)b、c 可以在區(qū)間b ∈[- 1, 0] 和c ∈[- 2, 0] 上變動,只需滑動圖2 左上方b、c 軸上的小方塊,就可以得到你所需的狀態(tài)圖,圖2 和3 給出的是當(dāng)b、c 都在初始時刻和取中時刻的圖像。
圖2 b,c在初始時刻
圖3 b,c在取中時刻
圖4
圖5 f(x)min=-10
從上面圖像也可以看出,當(dāng)b、c 在給定范圍內(nèi)變化時,f(x )的2 個極值點(diǎn)落入?yún)^(qū)間[- 1, 0] 和[1 , 2]。由此可見,那道高考壓軸題的題設(shè)條件可由此得來。
那么,一般說來,如何求出變系數(shù)一元三次多項(xiàng)式函數(shù)極值點(diǎn)的極值呢?仍以f(x)=x3+3bx2+3cx 為例,請看下文。
由上述定理知,函數(shù):
現(xiàn)要求函數(shù):
簡記為f(b,c)()1。
完全類似地,由二元函數(shù):
簡記為f(b,c)(2)。
我們可以考慮另一個極值點(diǎn)x1的最值f( x1),當(dāng)然也是在區(qū)域Φ( b,c )上。這里在( b,c )∈[- 10 ,10] 時 我們給出它們的圖像,圖6 和圖7,姑且稱之為立方拋物面。
圖6
圖7
圖6 和圖7 的Mathematica 指令分別為:
則:
兩式相減并化簡,得:
兩邊可約去x2并代回它和式(1),得:
化簡后得:
不合題意,故f 在區(qū)域Φ 內(nèi)部無駐點(diǎn),亦即陰影區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)都不可能是駐點(diǎn)。因此,它如果有駐點(diǎn),應(yīng)落在它的4 條邊界線上,現(xiàn)考慮邊界,應(yīng)用多元函數(shù)求條件極值的拉格朗日乘數(shù)法,有形式:
人工計算工作量有點(diǎn)大,我們還是借助Mathematica[9]。通過有效嘗試,先考慮約束條件-4b-c-4 ≤0 和2b-c-1 ≤0,命:
求F 對b, c, δ1,δ2的偏導(dǎo)數(shù),得:
求F 對b, c, δ1,δ2的偏導(dǎo)數(shù)指令:
解下面這個駐點(diǎn)方程組:
求解駐點(diǎn)方程組的指令:
再考慮約束條件2b+c+1 ≤0 和c ≤0,命
求F 對b, c, δ3,δ4的偏導(dǎo)數(shù),得:
令其為零,解下面的方程組:
Mathematica 指令與上類同,此處從略。以上求得的2 個可能極值點(diǎn),恰好就是f 在區(qū)域Φ 的2 個頂點(diǎn)和把它們代入f(b,c)(1) 所得的值,與 另2 個 頂 點(diǎn)A( -1, 0 )、C( 0, -1) 代 入 f(b,c)(1)的值:
比較可知其最小值和最大值為:
同理可求在區(qū)域φ( b,c )上另一個極值點(diǎn)x1的最值,這里只給出結(jié)果(可供讀者練習(xí)):
圖8
圖9
其Mathematica 指令分別為:
注:關(guān)于上述高考試題的最新文獻(xiàn)“二維含參型一元三次函數(shù)極值點(diǎn)的最值”[10],全面解剖了國家考試中心所給出的題設(shè)與標(biāo)準(zhǔn)答案,并在初等數(shù)學(xué)范疇中給出了漂亮的結(jié)果。
綜上所述,我們把2009 年全國高考數(shù)學(xué)卷I(理)22 題第(II)小問的證明:轉(zhuǎn)化為求二元函數(shù)f(b,c)()1:
此外,還給出了它們的直觀圖像,如圖8 和9 所示,從中可以觀察到這2 個二元函數(shù)在區(qū)域φ上是怎么發(fā)展變化的。
上述第2 部分的內(nèi)容與圖示,則是說明了這道高考題的出處,即命題者的依據(jù)所在。
本文從2009 年全國卷I(理)22 題的標(biāo)準(zhǔn)答案所引發(fā)的質(zhì)疑與評論作為出發(fā)點(diǎn),指出了其本質(zhì)上是屬于二元函數(shù)的條件極值問題,把它納入到拉格朗日乘數(shù)法和數(shù)學(xué)軟件Mathematica 的知識結(jié)構(gòu)中,全面實(shí)現(xiàn)了對它的求解與證明。這至少說明了以下兩點(diǎn):
其一,正如F.克萊因所言,只有觀點(diǎn)高了,事物才能顯得明了而簡單,許多初等數(shù)學(xué)的現(xiàn)象只有在非初等的理論結(jié)構(gòu)內(nèi)才能深刻地理解。相對說來掌握了更高一級的一般解題方法之后,就不必耗費(fèi)過多的時間和精力去追求那些特殊的解題技能與技巧了;其二,本來那些靠人工計算和操作難以解決或無法解決的數(shù)學(xué)問題,如今應(yīng)用計算機(jī)編程和專用應(yīng)用軟件就可以如愿以償?shù)氐靡詫?shí)現(xiàn)。