淺談高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革

金中秋

(浙江工商大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院)

高等數(shù)學(xué)是高等教育中一門重要的基礎(chǔ)課程。它不僅是一門非常好的數(shù)學(xué)課程，而且是一門非常好的工具學(xué)科，在天文學(xué)、力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)中都有著非常廣泛的應(yīng)用。同時(shí)它在提高學(xué)生的抽象思維能力和嚴(yán)密的邏輯思維能力方面起著重要的作用。

當(dāng)前的高等數(shù)學(xué)教材基本上是一個(gè)嚴(yán)格的演繹體系，總體上是由“概念—公式—范例”組成的純數(shù)學(xué)系統(tǒng)。隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，教師在教學(xué)過(guò)程中的教學(xué)模式變得多樣化。如混合式教學(xué)、慕課、SPOC等。這些教學(xué)模式的引入是為了更好地適應(yīng)時(shí)代的發(fā)展，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)使更好的教學(xué)方式得到推廣。但在教學(xué)過(guò)程中仍然注重知識(shí)的結(jié)論而忽略知識(shí)的探索過(guò)程。在教學(xué)中給學(xué)生灌輸抽象的定理證明及計(jì)算，對(duì)數(shù)學(xué)的創(chuàng)新思維認(rèn)識(shí)不足，弱化了對(duì)學(xué)生應(yīng)用能力的培養(yǎng)。

這門課程主要包含了一元函數(shù)及多元函數(shù)的極限、微分、積分等基本理論及其相關(guān)知識(shí)。知識(shí)點(diǎn)之間具有一定的相關(guān)性。為了能讓學(xué)生不僅熟練地掌握這些基本概念和方法，還能進(jìn)一步理解這些概念的存在意義，并強(qiáng)化學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力，筆者認(rèn)為從看圖說(shuō)話、還原問(wèn)題的形成過(guò)程為線索來(lái)展開(kāi)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容是十分有必要的。

下面筆者通過(guò)具體的實(shí)例來(lái)說(shuō)明基于看圖說(shuō)話、還原問(wèn)題的形成過(guò)程的教學(xué)方法在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用。

一、數(shù)形結(jié)合，貫徹到底，加深對(duì)概念的理解

高等數(shù)學(xué)不同于線性代數(shù)，其中許多概念有相應(yīng)的幾何意義。在教學(xué)過(guò)程中，不能一帶而過(guò)，要充分發(fā)揮這個(gè)優(yōu)勢(shì)。要數(shù)形結(jié)合，看圖說(shuō)話，讓學(xué)生更為直觀地感知到所學(xué)的知識(shí)，從而拉近學(xué)生與數(shù)學(xué)的距離。例如探討函數(shù)的連續(xù)性，對(duì)應(yīng)的直觀圖形是曲線或曲面是連續(xù)不斷的；函數(shù)的可導(dǎo)性，相應(yīng)的直觀圖形是曲線或曲面有切線或切平面存在，給人的直觀感覺(jué)是用手摸上去，曲線或曲面是光滑的，不戳手。故若給定光滑曲線，則其對(duì)應(yīng)的函數(shù)為可導(dǎo)函數(shù)。通過(guò)這樣的講解，學(xué)生更容易理解并接受這些概念。

在給出直觀的定義后，還要用數(shù)學(xué)語(yǔ)言去描述，這就是對(duì)學(xué)生抽象思維、邏輯思維的訓(xùn)練。此時(shí)仍然要在圖形上進(jìn)行探討，看圖說(shuō)話，把探討的每一步轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。通過(guò)這樣的過(guò)程使得抽象的數(shù)學(xué)具體化，使學(xué)生掌握抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，體會(huì)到數(shù)學(xué)不僅具有簡(jiǎn)潔美，還具有實(shí)質(zhì)的內(nèi)涵。

二、每個(gè)概念舉例時(shí)，前后范例之間要有關(guān)聯(lián)，以拓展的形式呈現(xiàn)

大學(xué)里的教學(xué)通常是定義—定理—舉例的過(guò)程。在課堂中，考慮到學(xué)生需要熟悉不同的函數(shù)，故針對(duì)不同的概念選用不同的函數(shù)舉例說(shuō)明。但是對(duì)學(xué)生而言，這些例子是以比較突兀、孤立的形式呈現(xiàn)在他們面前的，不能激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣與積極性，只能被動(dòng)接受。有學(xué)生甚至懷念初中、高中的數(shù)學(xué)課，覺(jué)得那時(shí)候的數(shù)學(xué)課很有意思。此時(shí)我們不僅要考慮到初等知識(shí)的簡(jiǎn)單易學(xué)，而且更要考慮是否有值得我們借鑒、能夠激發(fā)學(xué)生積極性的教學(xué)方法。前后例題之間要有關(guān)聯(lián)性，在變變變中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣就是其中一種教學(xué)方法。比如在原有典型的范例的基礎(chǔ)上加以改進(jìn)，通過(guò)改變函數(shù)系數(shù)甚至部分函數(shù)、增加或減少零因子及互換分子分母等手段，獲得包含新知識(shí)點(diǎn)的新范例，這樣得到的范例更能激發(fā)學(xué)生的解題興趣和探索欲，甚至可以讓學(xué)生通過(guò)模仿，對(duì)新范例進(jìn)行進(jìn)一步拓展，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和求知的渴望。當(dāng)然，這樣的范例變化有一定的局限性，其涉及的函數(shù)類型會(huì)比較單一。為了彌補(bǔ)這個(gè)不足，可以讓學(xué)生課后針對(duì)不同的函數(shù)類型進(jìn)行適當(dāng)?shù)木毩?xí)。

三、講解定理時(shí)還原定理的形成過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究式教學(xué)

通常講解一個(gè)定理或命題時(shí)，要先分析它的條件和結(jié)論，再進(jìn)行證明。學(xué)生會(huì)覺(jué)得很枯燥，覺(jué)得數(shù)學(xué)很抽象很難，即使看了好幾遍還是一知半解的。此時(shí)可以引領(lǐng)學(xué)生看圖說(shuō)話，進(jìn)行探究式教學(xué)。

首先，盡量從圖形出發(fā)，鼓勵(lì)學(xué)生看圖說(shuō)話，大膽猜測(cè)，得出一些直觀的結(jié)論。

其次，引導(dǎo)學(xué)生探討，得出這些結(jié)論所需要滿足的條件。例如若需要圖形連續(xù)不間斷，則添加“函數(shù)連續(xù)”；若需要圖形光滑、曲線的切線存在，就添加“函數(shù)可導(dǎo)”。接著帶領(lǐng)學(xué)生回顧這些條件涉及的相關(guān)概念，根據(jù)它們之間的關(guān)系進(jìn)行整合。比如，函數(shù)可導(dǎo)可以推出函數(shù)連續(xù)，那么具有連續(xù)且可導(dǎo)條件的函數(shù)就可以用可導(dǎo)函數(shù)代替。

再次，讓學(xué)生把這些整合后的條件作為已知條件，將之前由看圖得出的結(jié)論作為定理的結(jié)果，于是一個(gè)定理的形成過(guò)程就很好地呈現(xiàn)在學(xué)生的面前。

最后，對(duì)定理進(jìn)行證明。由于看圖說(shuō)話時(shí)，圖形既具有普遍性又有局限性，是否存在與結(jié)論相違背的特殊情況呢？根據(jù)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，必須對(duì)這個(gè)定理進(jìn)行證明，確保結(jié)論的正確性。此時(shí)面臨兩個(gè)問(wèn)題：①如何證明？②經(jīng)此構(gòu)造出來(lái)的定理是否和教材中的定理的條件、結(jié)論相吻合？針對(duì)第一個(gè)問(wèn)題，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)證明過(guò)程實(shí)質(zhì)上就是前面得出條件的探討過(guò)程，只不過(guò)書(shū)寫(xiě)過(guò)程相反。研究問(wèn)題時(shí)是先有結(jié)論，再得出條件，而證明時(shí)是先有條件，再推出結(jié)論。上述的探究過(guò)程使學(xué)生掌握了一個(gè)定理是如何形成的，并且發(fā)現(xiàn)其證明沒(méi)有想象中困難，但是只會(huì)證明定理是不夠的。若只是看懂定理的證明過(guò)程，看的過(guò)程好像是被人牽著鼻子走，沒(méi)有自己的想法，甚至有的證明方法很特殊，好像是憑空出現(xiàn)的，除了讓人贊嘆此人真聰明，徒增自卑。故要鼓勵(lì)學(xué)生深入思考定理的形成過(guò)程，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力和應(yīng)用能力。對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，若構(gòu)造出的定理與教材里的定理完全相同，則大力贊賞學(xué)生，贈(zèng)予“若你早點(diǎn)出生，那么這個(gè)定理將以你的名字命名!”以此激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和積極性。若構(gòu)造出的定理與教材里的定理有差異，則引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)差異的討論判別自己構(gòu)造的定理與教材里的定理哪個(gè)更好。若教材中的定理更加精確，則讓學(xué)生分析在之前的探討過(guò)程中哪些地方分析不到位，哪些知識(shí)點(diǎn)沒(méi)有掌握。通過(guò)這樣的探究式教學(xué)使學(xué)生溫故而知新，在潛移默化中掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，提高他們對(duì)這門課程的學(xué)習(xí)興趣，提升他們的應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力。

四、結(jié)束語(yǔ)

本文總結(jié)了筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，提出了以看圖說(shuō)話、還原問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)過(guò)程為線索的高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革。希望通過(guò)這種課堂教學(xué)改革，不僅能讓學(xué)生熟練掌握和深入理解有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且可以激發(fā)他們學(xué)習(xí)這門課程的興趣，提高他們的應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力，并用這些能力來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。