基于灰色馬爾科夫鏈模型的CT球管故障間隔期預(yù)測(cè)

邱春冬 楊玉志 王春云

南京大學(xué)醫(yī)學(xué)院附屬鼓樓醫(yī)院 臨床醫(yī)學(xué)工程處，江蘇南京 210008

在實(shí)際維修工作中，CT球管出現(xiàn)的故障次數(shù)較少，是典型的小子樣和貧信息系統(tǒng)，因此考慮選用灰色模型來對(duì)CT球管的故障間隔期進(jìn)行預(yù)測(cè)?；疑獹M(1,1)模型的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)比較平滑，在對(duì)服從指數(shù)分布的序列進(jìn)行預(yù)測(cè)方面具有一定的優(yōu)勢(shì)，但是如果序列數(shù)據(jù)隨機(jī)波動(dòng)比較大，那么用灰色GM(1,1)模型預(yù)測(cè)就不能保證預(yù)測(cè)的可信度[1-3]。因此，本文在灰色GM(1,1)模型的基礎(chǔ)上建立灰色馬爾科夫鏈模型來對(duì)CT球管的故障間隔期進(jìn)行預(yù)測(cè)，灰色馬爾科夫鏈模型對(duì)兼具趨勢(shì)性和波動(dòng)性的非平穩(wěn)隨機(jī)序列具有很好的擬合效果，能更好的表達(dá)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律[4-6]。

1 灰色GM(1,1)模型

灰色GM(1,1)模型是灰色預(yù)測(cè)理論體系中使用最廣泛的灰色預(yù)測(cè)模型，它是關(guān)于數(shù)據(jù)序列預(yù)測(cè)的一個(gè)變量的一階微分灰模型[7-9]。根據(jù)現(xiàn)有的原始數(shù)據(jù)序列，通過時(shí)序累加生成新的數(shù)據(jù)序列，新的序列呈現(xiàn)的規(guī)律可以用一階線性微分方程進(jìn)行擬合，擬合后的數(shù)據(jù)序列可以揭示原始數(shù)據(jù)序列的變化規(guī)律。數(shù)字化放射設(shè)備的故障率數(shù)據(jù)，多數(shù)屬于序列短、信息量少、規(guī)律性不強(qiáng)的數(shù)據(jù)，符合貧信息系統(tǒng)特征，因此可以用灰色GM(1,1)模型對(duì)其故障率進(jìn)行預(yù)測(cè)[10-13]。

灰色GM(1,1)模型預(yù)測(cè)值函數(shù)：

2 灰色馬爾科夫鏈模型

公式(2)稱為Chapman-Kolmogorov方程，簡(jiǎn)稱C-K方程。C-K方程說明對(duì)于步數(shù)較高的轉(zhuǎn)移概率矩陣可以用步數(shù)較低的轉(zhuǎn)移概率矩陣來表示。即可以用k步轉(zhuǎn)移概率矩陣P(k)表示：Pk+l=Pk·Pl。令k=l=1，有Pk+l=P1·P1'=P2，利用數(shù)學(xué)歸納法逐漸遞推可得P(k)=Pk，即k步轉(zhuǎn)移概率矩陣P(k)可以用一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P來表示。

2.1 灰色馬爾科夫鏈模型構(gòu)建過程

2.1.1 狀態(tài)劃分 按照灰色GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)原理，對(duì)已知的原始數(shù)據(jù)序列x(0)求出其預(yù)測(cè)值，由此可得殘差序列[14]：

其中：

誤差：

根據(jù)誤差大小進(jìn)行狀態(tài)劃分，共劃分r個(gè)狀態(tài)，每個(gè)狀態(tài)間隔相等，記為Eij=[Lij,Uij]，j=1,2,…,r，此處Lij，Uij分別為殘差序列的第i步的第j個(gè)上下邊界：

2.1.2 計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為：

式中：Mij為狀態(tài)Ei經(jīng)m步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Ej的原始數(shù)據(jù)樣本數(shù)。根據(jù)誤差大小將殘差序列e劃分為r個(gè)狀態(tài)，構(gòu)成r*r階的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，它反映了原始數(shù)據(jù)序列狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律[15]。

2.1.3 獲取預(yù)測(cè)值 確定系統(tǒng)的一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣后，對(duì)矩陣的行向量進(jìn)行分析，可以得到預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)序列從當(dāng)前狀態(tài)轉(zhuǎn)移到下一狀態(tài)的概率，記為：Ei(t)，i=1,2,…,r，t為轉(zhuǎn)移時(shí)間。區(qū)間的中點(diǎn)被視為每個(gè)區(qū)間可能的預(yù)測(cè)值[16]，則將來狀態(tài)的預(yù)測(cè)值按下式計(jì)算：

這里：

這樣就計(jì)算出下一個(gè)預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)處于何種狀態(tài)，從而可以計(jì)算出預(yù)測(cè)值為

3 實(shí)例分析

x線球管存在其特有的生命周期，以球管的總掃描時(shí)間來衡量，一旦達(dá)到其設(shè)計(jì)壽命上限，球管發(fā)生燈絲斷裂或旋轉(zhuǎn)陽極損壞的概率將大大增加。以某型號(hào)CT球管總使用時(shí)間為例。對(duì)實(shí)際工作中收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行整合分析，得到某型號(hào)CT每一個(gè)球管的發(fā)生故障時(shí)已掃描的時(shí)間，見表1。

表1 某CT球管故障時(shí)掃描時(shí)間（單位：萬秒）

3.1 灰色GM(1,1)預(yù)測(cè)故障間隔期

利用表1中前9次數(shù)據(jù)為原始數(shù)據(jù)序列，對(duì)第10次數(shù)據(jù)做預(yù)測(cè)，得到球管故障間隔期原始序列為：

代入公式，利用Matlab軟件，計(jì)算B和Y的值，并代入公式計(jì)算得到發(fā)展系數(shù)a和灰作用量b的值為：a=0.0729，b=585.7142。灰色GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)值函數(shù)為：

灰色GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)序列：

將預(yù)測(cè)值和實(shí)際值進(jìn)行擬合，如圖1所示。從圖中可以看出CT球管的故障間隔期總體呈下降趨勢(shì)，說明隨著CT使用年限的增加，電子部件的老化以及其他因素的影響，球管發(fā)生故障的間隔期越來越小，比較符合CT設(shè)備運(yùn)行的一般規(guī)律。

圖1 某 CT球管使用時(shí)間實(shí)際值與灰色GM(1,1)模型預(yù)測(cè)值比較

3.2 灰色馬爾科夫鏈模型預(yù)測(cè)故障間隔期

3.2.1 狀態(tài)劃分 表2為球管掃描時(shí)間實(shí)際值和灰色GM（1,1）模型預(yù)測(cè)值的比較，分析相對(duì)誤差狀態(tài)，可劃分為四個(gè)狀態(tài)區(qū)間，狀態(tài)1：E1=(-49，-30]；狀態(tài)2：E2=(-30，-12]；狀態(tài)3：E3=(-12,7]；狀態(tài)4：E4=(7,24]。

表2 某CT球管掃描時(shí)間實(shí)際值和灰色GM（1,1）模型預(yù)測(cè)值比較

由此可計(jì)算每個(gè)狀態(tài)的中間值為M1=-39.5%，M2=-21%，M3=-2.5%，M4=15.5%。

3.2.2 故障間隔期的預(yù)測(cè) 由表2可以得到每次故障所在的狀態(tài)區(qū)間，利用殘差相對(duì)值公式，可得到預(yù)測(cè)值為：

得到灰色馬爾科夫鏈模型的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)序列為：

3.2.3 誤差分析 一個(gè)模型能否用于預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)的效果好壞，需要用模型評(píng)定指標(biāo)來進(jìn)行衡量。在統(tǒng)計(jì)學(xué)預(yù)測(cè)方法中，平均絕對(duì)百分誤差（MAPE）是最常用誤差標(biāo)準(zhǔn)之一，可作為預(yù)測(cè)模型的評(píng)價(jià)指標(biāo)：

其值越小越好，它反映了原始數(shù)據(jù)序列和預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)序列的差異程度，可以為預(yù)測(cè)結(jié)果的可靠性提供客觀的依據(jù)。

灰色GM(1,1)模型與灰色馬爾科夫鏈模型的實(shí)際值與預(yù)測(cè)值的誤差見表3。

表3 兩種模型預(yù)測(cè)誤差分析

分析表3中的數(shù)據(jù)可知，灰色GM(1,1)模型的MAPE為17.118%，灰色馬爾科夫鏈模型的MAPE為5.635%，說明灰色馬爾科夫鏈模型的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)更加契合原始數(shù)據(jù)序列，也表明將灰色GM(1,1)模型與馬爾科夫鏈理論相結(jié)合可以有效地預(yù)測(cè)CT球管的故障間隔期。如圖2為兩種預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際值的比較圖。

圖2 某CT球管故障間隔期原始值與兩種模型預(yù)測(cè)結(jié)果比較圖

3.3 灰色馬爾科夫鏈模型對(duì)下次故障間隔期進(jìn)行預(yù)測(cè)

3.3.1 確定轉(zhuǎn)移概率矩陣 由表3所知，共有CT球管故障間隔期原始數(shù)據(jù)序列具有8個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，由于最后一個(gè)點(diǎn)的轉(zhuǎn)移方向不明，因此只考慮前7個(gè)點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)的情況和狀態(tài)劃分情況，共有3個(gè)點(diǎn)處于第一狀態(tài)，其中有2個(gè)點(diǎn)處于第二狀態(tài)，有2個(gè)點(diǎn)處于第三狀態(tài)，故可以確定一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P1為：

3.3.2 預(yù)測(cè)下次故障間隔期 由預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的狀態(tài)劃分結(jié)果可知，CT球管第9次發(fā)生故障時(shí)，它所處的狀態(tài)為狀態(tài)3，那么CT球管下一次發(fā)生故障時(shí)，它所處的狀態(tài)可以由一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P1確定。因此，可知經(jīng)一步轉(zhuǎn)移后，CT球管第10次發(fā)生故障時(shí)它處于狀態(tài)4的位置。利用公式得到灰色GM(1,1)模型預(yù)測(cè)CT球管第10次發(fā)生故障時(shí)，球管已使用的時(shí)間為：

根據(jù)灰色馬爾科夫鏈模型的預(yù)測(cè)公式，可以計(jì)算得到CT球管第10次發(fā)生故障時(shí)，球管的使用時(shí)間所處的區(qū)間為（23.341,28.562），最終獲得灰色馬爾科夫鏈模型的預(yù)測(cè)值為：

實(shí)際上，第十次更換球管時(shí)，球管的使用時(shí)間為26.335萬秒，在此區(qū)間內(nèi)，與預(yù)測(cè)值的誤差為2.453%。

4 小結(jié)

通過CT球管故障間隔期預(yù)測(cè)的實(shí)例分析，表明在少數(shù)據(jù)，貧信息，不確定的情況下利用該灰色馬爾可夫鏈模型預(yù)測(cè)CT球管故障間隔期的有效性，可綜合體現(xiàn)灰色預(yù)測(cè)和馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)的優(yōu)點(diǎn)，它可以有效降低預(yù)測(cè)誤差，提高預(yù)測(cè)精度。用灰色馬爾可夫鏈模型預(yù)測(cè)CT球管故障間隔期還只是初步探索，期望為設(shè)備管理部門制定預(yù)防性維修間隔期提供依據(jù)，能夠指導(dǎo)設(shè)備使用科室和管理部門做出良好的設(shè)備管理決策，但是由于CT設(shè)備運(yùn)行時(shí)隨機(jī)性和波動(dòng)性很大，該方法還需進(jìn)一步深入研究。