關(guān)于有序分拆的分部量1的幾個(gè)In-place恒等式

郭育紅,馬蕾

(河西學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 張掖 734000)

1 引言

在經(jīng)典的分拆理論中,對(duì)于分拆恒等式的研究一直是一個(gè)熱點(diǎn)問題[1-3].近年來,文獻(xiàn)[4-12]得到了豐富的研究成果.特別是,文獻(xiàn)[4]建立了下面的恒等式.

定理 1.1[4]正整數(shù)n的無序分拆中偶分部量出現(xiàn)偶數(shù)次的分拆數(shù)等于正整數(shù)n的分部量不是4m+2型的無序分拆數(shù).

開展白花前胡留種技術(shù)研究和優(yōu)質(zhì)種子培育技術(shù)研究從而實(shí)現(xiàn)有效控制早期抽薹率是未來值得重點(diǎn)關(guān)注的研究方向，不但對(duì)中藥資源的開發(fā)利用具有重要意義，而且能為開展優(yōu)良中藥材品種選育研究提供理論支撐。

文獻(xiàn)[13]給出了關(guān)于正整數(shù)的有序分拆的相應(yīng)恒等式.

定理 1.2[13]設(shè)n≥0,則正整數(shù)n的有序分拆中偶分部量出現(xiàn)In-place偶數(shù)次的分拆數(shù)等于正整數(shù)n的分部量不是4m+2型的有序分拆數(shù).

定理 1.3[13]設(shè)n≥0,則正整數(shù)2n的有序分拆中奇分部量出現(xiàn)In-place偶數(shù)次的分拆數(shù)等于正整數(shù)n的每個(gè)奇分部量有兩種形式的有序分拆數(shù).

孕媽媽可以根據(jù)自己的體能和身體狀況安排游泳時(shí)間，通常每周1～2次。對(duì)孕媽媽來說，游泳環(huán)境的清潔和安全尤為重要，選擇水質(zhì)干凈合格的游泳場(chǎng)所，避免病菌感染而影響妊娠結(jié)局。

定理 1.4[13]設(shè)k≥2,l≥2是給定的整數(shù).設(shè)n≥0,則正整數(shù)n的有序分拆中能被k整除的分部量出現(xiàn)In-place次數(shù)是l的倍數(shù)的分拆數(shù)等于正整數(shù)n的分部量不是lkm+ik(其中:1≤i≤l?1)型的有序分拆數(shù).

定理 1.5[13]設(shè)k≥2是給定的整數(shù).設(shè)n≥1,則正整數(shù)kn的有序分拆中不能被k整除的分部量出現(xiàn)In-place次數(shù)是l的倍數(shù)的分拆數(shù)等于正整數(shù)n的不能被k整除的分部量有兩種形式的有序分拆數(shù).

該次數(shù)據(jù)采用SPSS 14.0統(tǒng)計(jì)學(xué)軟件分析，組間計(jì)數(shù)資料[n（%）]和計(jì)量資料（±s）分別行 χ2檢驗(yàn)和 t檢驗(yàn)，P<0.05為差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

2016年,本文作者研究了關(guān)于分部量是1,2的有序分拆的In-place恒等式,給出了下面的結(jié)論.這里把分部量是1,2的有序分拆記為“1-2有序分拆”.

定理 1.6[14]設(shè)n≥1,則正整數(shù)n的1-2有序分拆中分部量2出現(xiàn)In-place偶數(shù)次的分拆數(shù)等于正整數(shù)n+1的分部量不是4m+3型的有序分拆數(shù).

進(jìn)而研究回文的有序分拆的 In-place恒等式.所謂回文的有序分拆[1]是指一個(gè)有序分拆從左邊讀和從右邊讀是相等的.例如,4的回文有序分拆有:(4),(2,2),(1,2,1),(1,1,1,1).關(guān)于回文的有序分拆的In-place恒等式,有以下結(jié)論.

綜合各方面因素,兩種方案比較,方案2較理想，采用變頻發(fā)電技術(shù)，使江都三站電機(jī)效率得以提高,同時(shí)有利于長期抽水運(yùn)行，也可減小電機(jī)體積和重量，節(jié)約投資。

在這段語料中，從賓利先生對(duì)本內(nèi)特太太提議的回答可以看出，賓利先生的話語中存在著明顯的語用模糊現(xiàn)象。賓利先生想要達(dá)西先生和伊麗莎白兩個(gè)人單獨(dú)出門。但是他詢問的卻是伊麗莎白的妹妹 （Kitty）是否覺得路程太遠(yuǎn)了。這種語用模糊的現(xiàn)象，通常使得話語的言外之意的不確定性帶有一定的動(dòng)機(jī)。一方面為達(dá)西先生和伊麗莎白的獨(dú)處創(chuàng)造了條件，另一方面又從禮貌原則出發(fā)保存了伊麗莎白妹妹在對(duì)話中的面子。

上述恒等式是定理2.2及正整數(shù)的沒有限制的有序分拆數(shù)的直接結(jié)果.這里給出一個(gè)組合證明.

自然地,得到下面的恒等式.

西雙版納國家公園的建設(shè)是基于上世紀(jì)八十年代成立國家級(jí)自然保護(hù)區(qū)，九十年代保護(hù)區(qū)也嘗試在小范圍采用“社區(qū)共管”的方式來緩解發(fā)展與保護(hù)的矛盾，但淺嘗輒止。隨著西雙版納大規(guī)模的引入橡膠種植，周邊社區(qū)的經(jīng)濟(jì)收入得到較大改善，對(duì)保護(hù)區(qū)和國家公園的依賴也大大降低，對(duì)資源權(quán)利的訴求較弱，主要是希望國家公園的建設(shè)也能帶動(dòng)本村旅游業(yè)發(fā)展。

本文繼續(xù)沿用學(xué)者們采用的術(shù)語 “In-place”.所謂有序分拆的一個(gè)分部量出現(xiàn)In-placej次是指該分部量出現(xiàn)在連續(xù)的j個(gè)位置上.

例如,有序分拆(2,2,2,2,3,4,5,6,6,2,2,3,1,1)中,每個(gè)偶分部量出現(xiàn)In-place偶數(shù)次,而奇分部量出現(xiàn)的次數(shù)有奇數(shù)次,也有偶數(shù)次.文獻(xiàn)[13]把奇分部量有兩種形式中的一種形式表示為帶“*”號(hào).本文仍然采用這種表示方法.

本文首先給出正整數(shù)的有序分拆中的分部量1有兩種形式的一個(gè)恒等式.其次得到了幾個(gè)關(guān)于正整數(shù)的分部量是1或者2的有序分拆數(shù)以及回文的有序分拆數(shù)的In-place恒等式.

2 幾個(gè)In-place恒等式

首先給出下面關(guān)于分部量1的一個(gè)In-place恒等式.

定理 2.1設(shè)n≥1,則正整數(shù)n的有序分拆中分部量1有兩種形式的分拆數(shù)等于正整數(shù)2n的分部量1出現(xiàn)In-place偶數(shù)次,且不含大于1的奇分部量的有序分拆數(shù).

證明證明類似于文獻(xiàn)[13],對(duì)于正整數(shù)的分部量1有兩種形式的任一個(gè)有序分拆C,作如下的變換:

?把大于1的分部量λ變換成2λ;

?把沒有標(biāo)“*”號(hào)的分部量1變換成2;

《薩蒂鋼琴曲全集（第二版）》，CD6張，商標(biāo)：Warner Classics/Parlophone，唱片號(hào)：B07CQL32G3，發(fā)行日期：2018年8月24日。演奏：阿爾多·齊科里尼。埃里克·薩蒂的鋼琴作品充分體現(xiàn)了他作為創(chuàng)作者的獨(dú)特聲音，包括幽默和模仿神秘主義和宗教色彩。對(duì)于這些神秘的作品，阿爾多·齊科里尼的詮釋是無可替代，他對(duì)薩蒂音樂的善變情緒和幽默感非常敏感，沒有人能像他那樣出色地演繹薩蒂。當(dāng)音樂需要時(shí)，他會(huì)以純潔、細(xì)膩和力量的完美融合來演繹作品。

例 2.1設(shè)n=3,則正整數(shù)3的分部量1有兩種形式的有序分拆有下面13個(gè):

按照上述變換,得到正整數(shù)2n的一個(gè)有序分拆,在該有序分拆中,分部量1總是成對(duì)出現(xiàn),即分部量1出現(xiàn)In-place偶數(shù)次;而且該有序分拆中沒有大于1的奇分部量.

[26][28]哈貝馬斯：《在事實(shí)與規(guī)范之間》，童世駿譯，北京：生活·讀書·新知三聯(lián)書店，2003年，第148、379-380頁。

上述變換顯然是一一的,故結(jié)論成立.證完.

給出一個(gè)例子來說明定理2.1中的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

?把標(biāo)有“*”號(hào)的分部量1變換成1,1.

6的分部量1出現(xiàn)In-place偶數(shù)次,且不含大于1的奇分部量的有序分拆有下面13個(gè):

盡管市場(chǎng)不斷擴(kuò)大、業(yè)務(wù)不斷增長，IoT仍處于技術(shù)發(fā)展的初期，依舊面臨一系列的安全隱患，龐大的數(shù)量和自身的脆弱性使得IoT設(shè)備極易成為黑客的首選目標(biāo)。電影《速度與激情8》中數(shù)以萬計(jì)的智能車輛被“天眼”系統(tǒng)惡意操控，進(jìn)而組成“僵尸車聯(lián)網(wǎng)”圍剿國防部長；再如，2016年下半年，Mirai病毒控制超過30多萬臺(tái)的IoT設(shè)備對(duì)Dyn公司、OVH公司發(fā)動(dòng)大規(guī)模分布式拒絕服務(wù)（DDoS）攻擊，致使164個(gè)國家或地區(qū)受到影響。因此，IoT產(chǎn)業(yè)化的日益加速與技術(shù)的安全可信之間的矛盾成為該領(lǐng)域急需解決的重要問題，也是推動(dòng)新型IoT技術(shù)發(fā)展的重要因素之一。

由定理2.1的證明很容易得到下面關(guān)于1-2有序分拆的In-place恒等式.

定理 2.2正整數(shù)2n的1-2有序分拆中分部量1出現(xiàn)In-place偶數(shù)次的有序分拆數(shù)等于2n.

證明如果在有序分拆中,分部量1有兩種形式,則正整數(shù)n的分部量均為1的有序分拆(1,1,···,1)產(chǎn)生2n個(gè)有序分拆.于是按照定理2.1中的變換,這2n個(gè)有序分拆對(duì)應(yīng)2n的1-2有序分拆,而且分部量1出現(xiàn)偶數(shù)次.證完.

并且,他們將上述恒等式做了推廣,得到了較為一般的結(jié)論.

伴隨企業(yè)的運(yùn)行及發(fā)展，在企業(yè)集團(tuán)運(yùn)行中，戰(zhàn)略性成本管理作為較為重要的內(nèi)容，是企業(yè)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的保障。在企業(yè)運(yùn)行中，若只是依靠短期成本降低是無法滿足企業(yè)發(fā)展需求的。在成本管理中，應(yīng)該結(jié)合成本管理的理念，轉(zhuǎn)變以往的成本核算以及成本經(jīng)營控制機(jī)制，結(jié)合企業(yè)成本管理工作的特點(diǎn)，進(jìn)行成本管理策略的完善，逐漸提高企業(yè)的經(jīng)濟(jì)性，為企業(yè)成本功能、成本質(zhì)量以及成本管理的制度完善提供參考。

定理 2.3正整數(shù)2n的1-2有序分拆中分部量1出現(xiàn)In-place偶數(shù)次的有序分拆數(shù)等于正整數(shù)n+1的有序分拆數(shù).

定理 1.7[14]設(shè)n≥1,則正整數(shù)n的1-2回文有序分拆中分部量2出現(xiàn)In-place偶數(shù)次的分拆數(shù)等于正整數(shù)n+1的分部量不是4m+3型的回文有序分拆數(shù).

對(duì)于(B)中的任意一個(gè)分拆,首先按照從右到左的順序把2和它左邊連續(xù)的分部量1相加得到新的分部量,得到2n的分部量是偶數(shù)的有序分拆.然后,把每個(gè)分部量除以2,就得到n的有序分拆.最后,給得到的n的有序分拆的右端添上分部量1,于是得到n+1的右端分部量是1的有序分拆.

(A)右端的分部量是1;

(B)右端的分部量是2.

對(duì)于時(shí)間要素(見圖2),事件e19和事件e20都是在時(shí)間編號(hào)為t19的時(shí)間段內(nèi)發(fā)生的,這時(shí)就在事件e19的屬性tid中同時(shí)標(biāo)注出t20.

對(duì)于(A)中的任意一個(gè)分拆,首先按照從左到右的順序把連續(xù)的分部量1和它右邊的2相加得到新的分部量,得到2n的分部量是偶數(shù)的有序分拆.然后,把每個(gè)分部量除以2,就得到n的有序分拆.最后,給得到的n的有序分拆的右端分部量加上1,于是得到n+1的右端分部量是大于1的有序分拆.

證明(組合證法)將正整數(shù)2n的1-2有序分拆中分部量1出現(xiàn)In-place偶數(shù)次的有序分拆分為下面兩類:

綜上,可得到n+1的所有有序分拆.反之亦然.證完.

城區(qū)學(xué)校規(guī)模大，師資充足，能夠做到開齊學(xué)科，開足課時(shí)；但市郊農(nóng)村學(xué)校重文化輕素養(yǎng)，認(rèn)識(shí)偏頗,藝術(shù)教師配備情況遠(yuǎn)低于城鎮(zhèn)學(xué)校，師資嚴(yán)重缺乏且多為兼職、專職，專業(yè)的藝術(shù)教師甚少而且人員流動(dòng)大，主課老師兼職情況也比較普遍。具體表現(xiàn)在：

給出一個(gè)例子來說明定理2.3中的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

(1) Research on the teaching function of UltraLab network experiment

例 2.2設(shè)n=3,則6的1-2有序分拆中分部量1出現(xiàn)In-place偶數(shù)次的有序分拆與正整數(shù)4的有序分拆之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下:

當(dāng)然,由定理2.3的證明很容易得到下面的恒等式.

推論 2.1正整數(shù) 2n的 1-2有序分拆中第一個(gè)分部量是 1,且分部量 1出現(xiàn)In-place偶數(shù)次的有序分拆數(shù)等于正整數(shù)n的有序分拆數(shù).

推論 2.2正整數(shù) 2n的 1-2有序分拆中最后一個(gè)分部量是 1,且分部量 1出現(xiàn)In-place偶數(shù)次的有序分拆數(shù)等于正整數(shù)n的有序分拆數(shù).

推論 2.3正整數(shù) 2n的 1-2有序分拆中第一個(gè)分部量是 2,且分部量 1出現(xiàn)In-place偶數(shù)次的有序分拆數(shù)等于正整數(shù)n的有序分拆數(shù).

推論 2.4正整數(shù) 2n的 1-2有序分拆中最后一個(gè)分部量是 2,且分部量 1出現(xiàn)In-place偶數(shù)次的有序分拆數(shù)等于正整數(shù)n的有序分拆數(shù).

接下來,考慮回文的有序分拆,得到下面的恒等式.

定理 2.4正整數(shù)2n的1-2有序分拆中分部量1出現(xiàn)In-place偶數(shù)次的回文有序分拆數(shù)等于正整數(shù)n+1的回文有序分拆數(shù).

定理2.4的證明類似于定理2.3,故略去.這里給出一個(gè)例子來說明定理2.4.

例 2.3設(shè)n=3,則正整數(shù) 6的分部量 1出現(xiàn) In-place偶數(shù)次的有序分拆有下面 4個(gè):(2,2,2),(1,1,1,1,1,1),(1,1,2,1,1),(2,1,1,2).而4的回文有序分拆是:(1,1,1,1),(4),(2,2),(1,2,1).