數(shù)學(xué)美在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

趙 良

(安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243002)

一、數(shù)學(xué)美的含義與作用

美是客觀事物的一種自然屬性，數(shù)學(xué)同各門自然學(xué)科一樣, 也有其獨(dú)特的美學(xué)特征。 數(shù)學(xué)家羅素說過，“數(shù)學(xué)，如果正確地看，不但擁有真理，而且具有至高的美?！睌?shù)學(xué)美本質(zhì)上反映的是數(shù)學(xué)對(duì)象蘊(yùn)涵的美學(xué)屬性。數(shù)學(xué)家亞里士多德也認(rèn)為:“雖然數(shù)學(xué)沒有明顯地提到善和美，但善和美也不能和數(shù)學(xué)完全分離。因?yàn)槊赖闹饕问骄褪侵刃颉⒕Q和確定性，這些就是數(shù)學(xué)所要研究的范疇。所以，數(shù)學(xué)和美不是沒有關(guān)系的。”一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)美是通過數(shù)學(xué)的符號(hào)、公式、理論、結(jié)構(gòu)、方法、應(yīng)用等表現(xiàn)出來的，其基本形式有簡(jiǎn)單性、對(duì)稱性、統(tǒng)一性、和諧性、奇異性、思維性等。

數(shù)學(xué)是一門比較抽象的學(xué)科, 特別是大學(xué)數(shù)學(xué)又具有高度的抽象性和信息量大等特點(diǎn)。對(duì)于某些數(shù)學(xué)對(duì)象來講,其內(nèi)在的美只有通過學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)才會(huì)體現(xiàn)。教師在課堂教學(xué)時(shí)如果單純地照搬課本，那么學(xué)生就會(huì)感到枯燥乏味，進(jìn)而會(huì)影響到他們的審美情趣和學(xué)習(xí)態(tài)度。但是，如果教師能在所講內(nèi)容的基礎(chǔ)之上，將數(shù)學(xué)美應(yīng)用到大學(xué)數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中，讓學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)的內(nèi)在美，那么就會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲，并對(duì)所學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣。同時(shí)，學(xué)生也就會(huì)將被動(dòng)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)學(xué)習(xí)，他們的學(xué)習(xí)積極性也會(huì)被極大地調(diào)動(dòng)起來。這就要求教師在課堂教學(xué)中，要不斷培養(yǎng)學(xué)生的審美意識(shí)，不斷增強(qiáng)他們的學(xué)習(xí)興趣，使課堂展現(xiàn)出更強(qiáng)的活力和魅力。

二、數(shù)學(xué)美的分類與應(yīng)用舉例

(一)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美

自從數(shù)學(xué)符號(hào)被引入到數(shù)學(xué)中以來，數(shù)學(xué)公式和結(jié)論的簡(jiǎn)潔性便一直貫穿數(shù)學(xué)的發(fā)展。 數(shù)學(xué)美的簡(jiǎn)潔性是指通過最少的符號(hào)和內(nèi)容，給出一個(gè)盡可能完美的結(jié)論和結(jié)果。在給學(xué)生講授一些數(shù)學(xué)知識(shí)特別是一些比較抽象的數(shù)學(xué)概念時(shí)，結(jié)論和概念的簡(jiǎn)潔性往往有助于學(xué)生理解。當(dāng)然，簡(jiǎn)潔的概念和結(jié)論不一定簡(jiǎn)單，但是當(dāng)把這些向?qū)W生解釋清楚，學(xué)生理解消化后往往給人的感覺又特別奇妙，從而給學(xué)生一種美的享受。 例如，著名的歐拉公式，表達(dá)式簡(jiǎn)潔明了，但包含的意思卻比較廣泛。 簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F及棱數(shù)E間有關(guān)系式：V+F-E=2，這個(gè)公式就叫歐拉公式。

歐拉公式描述了簡(jiǎn)單多面體頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)特有的規(guī)律。 它的意義在于證明的思想方法創(chuàng)新，揭示了圖形從立體圖到拉開圖，雖然各面的形狀、長度、距離、面積等與度量有關(guān)的量發(fā)生了變化，但頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)等不變。

(二)數(shù)學(xué)美的對(duì)稱性

數(shù)學(xué)中的對(duì)稱性, 既是一種思想，又是一種方法, 往往在解決問題時(shí)會(huì)產(chǎn)生出人意料的結(jié)果。它的主要作用在于，對(duì)于處理一些關(guān)于對(duì)稱性的數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們往往可以只考慮其局部的性質(zhì)和結(jié)論，而不必考慮整個(gè)復(fù)雜的整體性質(zhì)，這樣就達(dá)到了化繁為簡(jiǎn)的目的。 具體到教學(xué)中，我們?cè)谥v授一些關(guān)于對(duì)稱性的問題時(shí)，首先要向?qū)W生講明處理這類問題的方法和條件，其次要提醒其注意適用范圍，否則就會(huì)適得其反。 一旦學(xué)生掌握了這類關(guān)于對(duì)稱性的數(shù)學(xué)問題的處理方法后，就會(huì)有一種成就感，就會(huì)增強(qiáng)學(xué)習(xí)積極性。

例如，利用對(duì)稱性可以大大簡(jiǎn)化對(duì)三重積分的計(jì)算。在向?qū)W生講解利用對(duì)稱性計(jì)算三重積分時(shí)，首先要強(qiáng)調(diào)以下兩點(diǎn)，以免張冠李戴：(1)積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱性；(2)被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸的奇偶性。 然后讓學(xué)生計(jì)算三重積分：

其中積分區(qū)域?yàn)椋害?{(x,y,z)|x2+y2+z2≤1|}。通常學(xué)生都會(huì)利用三重積分的常規(guī)方法進(jìn)行計(jì)算，但計(jì)算過程復(fù)雜而且結(jié)果往往有誤。等學(xué)生用常規(guī)方法做完上述三重積分后向?qū)W生提問：有沒有更簡(jiǎn)單的其它方法？鼓勵(lì)學(xué)生積極思考問題，最后分析本題的特征，給出利用對(duì)稱性計(jì)算方法后再給出正確答案為零。

(三)數(shù)學(xué)美的統(tǒng)一性

統(tǒng)一與和諧, 是數(shù)學(xué)美的又一重要特征。數(shù)學(xué)上的好多結(jié)論和公式都可統(tǒng)一為一個(gè)比較簡(jiǎn)單的形式。數(shù)學(xué)家希爾伯特曾經(jīng)指出:“數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)整體, 它的生命力的一個(gè)必要條件是指所有各部分的不可分離的結(jié)合。 數(shù)學(xué)的有機(jī)統(tǒng)一, 是這門科學(xué)固有的特點(diǎn), 因?yàn)樗且磺芯_自然科學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)。”因此，我們可以這樣理解數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性，即統(tǒng)一性是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的重要方法之一。

例如，牛頓—萊布尼茲公式、 格林公式、 高斯公式、 斯托克斯公式這四個(gè)微積分學(xué)中的重要公式, 都是描述了“區(qū)域內(nèi)”的積分與“區(qū)域邊界”上相應(yīng)積分的統(tǒng)一關(guān)系。 通過對(duì)這些統(tǒng)一性的理解與掌握，學(xué)生可以很清楚地理解積分的本質(zhì)：即所有的各種積分都是和式的極限。 同時(shí)，也給出了各種積分之間的聯(lián)系，說明了任何知識(shí)點(diǎn)都不是孤立地單獨(dú)地存在，而是與其它知識(shí)密切相關(guān)的。 這樣，通過總結(jié)學(xué)生就可以站在一定的高度來理解和把握這些內(nèi)容，從而有整體上駕馭和運(yùn)用這些知識(shí)的能力。

(四)數(shù)學(xué)美的奇異性

數(shù)學(xué)的奇異美，是指數(shù)學(xué)結(jié)論或解決問題方法的新穎、奇巧、出乎意料，往往勾起思想上的震動(dòng)，引起人們的贊賞與嘆服。這種方法當(dāng)你不理解時(shí)感覺在意料之外，但當(dāng)你理解了之后感覺又在情理之中，從而一旦有新的奇特的方法發(fā)現(xiàn)可以解決問題時(shí)，往往會(huì)給人以喜出望外的感受。例如，在講正項(xiàng)級(jí)數(shù)：

的收斂性時(shí)，為了調(diào)動(dòng)課堂的氣氛，可以給學(xué)生提一個(gè)相關(guān)的正項(xiàng)級(jí)數(shù)問題：這個(gè)級(jí)數(shù)的特征是什么？答案比較容易，即它的每一項(xiàng)是自相似性，即它的每一項(xiàng)都是自然數(shù)的次方。 然后讓學(xué)生拿出紙和筆，開始和學(xué)生畫一個(gè)有趣的圖形——科赫雪花，而與科赫雪花有關(guān)的周長和面積則得到兩個(gè)相應(yīng)的正項(xiàng)級(jí)數(shù)。

它的構(gòu)造方法如下：(1)任意畫一個(gè)正三角形，并把每一邊三等分；(2)取三等分后的一邊中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉；(3)重復(fù)上述兩步，畫出更小的三角形；(4)一直重復(fù)，直到無窮，所畫出的曲線叫做科赫曲線。 圖1是這一過程前幾步的圖形：

圖1 科赫雪花構(gòu)造

上述結(jié)果表明，科赫雪花圖形的面積是有限的，但周長卻是無窮大的！這個(gè)結(jié)果絕對(duì)出乎學(xué)生的意料，也與我們通常的經(jīng)驗(yàn)相矛盾，這就激發(fā)了學(xué)生的好奇心和求知欲，增加了對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別方法的興趣，學(xué)習(xí)的積極性也會(huì)增強(qiáng)。

(五)數(shù)學(xué)的思維美

我們知道，數(shù)學(xué)的邏輯思維嚴(yán)密，能夠使我們?nèi)婵紤]問題，從而正確地解決問題。 如果在課堂上講授一些內(nèi)容之前，先將這些知識(shí)的背景和來龍去脈講清楚，使學(xué)生能夠充分理解這些知識(shí)的意義，就會(huì)激發(fā)他們積極考慮問題的熱情和興趣，使他們?cè)谇楦猩系玫綌?shù)學(xué)美的感受。這樣既加深了學(xué)生對(duì)知識(shí)的了解，培養(yǎng)了他們的學(xué)習(xí)興趣，又提高了課程的教學(xué)效果。 點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)是一門很抽象的學(xué)科， 是建立在一般的距離空間的基礎(chǔ)之上的，所涉及的內(nèi)容和概念都高度抽象，它推廣了一般距離空間上的諸如連續(xù)、收斂、開集、聚點(diǎn)等的相應(yīng)概念，從而具有更廣泛的適用性和包括性。 為了增加學(xué)生對(duì)該課程的興趣，讓他們了解該課程的由來及發(fā)展，調(diào)動(dòng)他們的學(xué)習(xí)積極性，可以講一下在拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展中重要而有趣的哥尼斯堡七橋問題：18世紀(jì)在哥尼斯堡城(今俄羅斯加里寧格勒)的普萊格爾河上有7座橋，將河中的兩個(gè)島和河岸連結(jié)，如圖2(a)所示。 城中的居民經(jīng)常沿河過橋散步，于是提出了一個(gè)問題：能否一次走遍7座橋，而每座橋只許通過一次，最后仍回到起始地點(diǎn)。

這個(gè)問題看起來似乎不難，但人們始終沒有能找到答案，最后問題提到了大數(shù)學(xué)家歐拉那里,歐拉很快證明了這樣的走法不存在。 歐拉是這樣解決問題的：把圖中被河隔開的陸地看成四個(gè)點(diǎn)，7座橋表示成7條連接這4個(gè)點(diǎn)的線，如圖2(b)所示。

圖2 哥尼斯堡七橋問題

這樣問題可以轉(zhuǎn)化成從四個(gè)點(diǎn)中的任意一個(gè)出發(fā)，每條線只能走一次，最后回到這一點(diǎn)。 所以從每一點(diǎn)出發(fā)的線的條數(shù)只能是偶數(shù)，而圖中每一點(diǎn)處都只有奇數(shù)條線，故不可能。

此時(shí)再向?qū)W生提問：上述問題的本質(zhì)特征是什么？經(jīng)過討論后得出的結(jié)論是：所討論問題與圖形的大小、形狀無關(guān)，只與圖形的連接關(guān)系有關(guān)，這也即是點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的特征。 經(jīng)過這一問題的討論，既增加了學(xué)生對(duì)該課程的興趣，也對(duì)本課程的處理問題的方法和特征有了一定的認(rèn)識(shí)和了解。

(六)數(shù)學(xué)的和諧美

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，對(duì)于某些內(nèi)容，在不同的研究范圍同一個(gè)概念和定理的表達(dá)形式可能不同，但其本質(zhì)上卻是一樣的，即不會(huì)產(chǎn)生矛盾，它們是和諧統(tǒng)一的。和諧性也是數(shù)學(xué)美的特征之一。這就要求我們?cè)谏险n時(shí)，在講解一些比較抽象而且不易懂的內(nèi)容時(shí)，可以通過先講解該抽象概念的特殊形式，讓學(xué)生理解其本質(zhì)。最后，再引入新的概念，把新的知識(shí)與學(xué)生已有的知識(shí)統(tǒng)一起來，達(dá)到既掌握新知識(shí)又復(fù)習(xí)老知識(shí)的目的。

例如，我們已知?dú)W式空間和距離空間都是拓?fù)淇臻g的特例，而且歐式空間和距離空間的連續(xù)性是學(xué)生已經(jīng)熟悉的內(nèi)容。 這些空間的包含關(guān)系如下：

為了講解拓?fù)淇臻g的連續(xù)性這一抽象的概念，我們可以先復(fù)習(xí)歐式空間和距離空間連續(xù)性的定義，然后歸納總結(jié)其本質(zhì)，再給出拓?fù)淇臻g連續(xù)性的定義。 然后分析這三個(gè)定義的本質(zhì)，最后再指出它們本質(zhì)上是一樣的。

三、結(jié)語

在教學(xué)過程中，教學(xué)效果很大程度上取決于學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，因此如何調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性是課堂教學(xué)的重要目標(biāo)之一。在課堂教學(xué)中，教師如果能利用數(shù)學(xué)美來培養(yǎng)學(xué)生的審美能力，讓他們充分地感受和欣賞數(shù)學(xué)中的美，就會(huì)不斷激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。 更重要的是，利用數(shù)學(xué)美還可啟迪學(xué)生思維和開發(fā)他們的創(chuàng)造力，例如統(tǒng)一性可對(duì)命題作出類比、推廣和引伸，奇異性可激發(fā)學(xué)生探索和創(chuàng)新精神?？傊诮虒W(xué)過程中教與學(xué)是兩個(gè)密不可分的過程，如何通過教師的教來調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，是學(xué)生培養(yǎng)過程當(dāng)中非常關(guān)鍵的一環(huán)。 教師若能夠積極挖掘和應(yīng)用教材中的各種美學(xué)因素，使每一節(jié)課的內(nèi)容都豐富多彩并充滿趣味性，就會(huì)極大地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和創(chuàng)造力，并提高他們分析問題和解決問題的能力，這與我們教學(xué)的根本目的是一致的。