高考中關(guān)聯(lián)數(shù)表的數(shù)列問題的研究與創(chuàng)新

劉胡良 宋寶和

(山東省教育招生考試院 250013)

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)之一，是刻畫離散現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，與高等數(shù)學(xué)中的極限、級數(shù)等內(nèi)容聯(lián)系緊密，是與高等數(shù)學(xué)銜接的重要內(nèi)容，因此在高考中也是重點(diǎn)考查的內(nèi)容.數(shù)列在高考中的考查形式多樣，其中既有注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能“雙基”的基礎(chǔ)題目考查，也有突出“能力立意”，與其他知識(shí)相結(jié)合，注重考查能力和數(shù)學(xué)思想方法的難度比較大的題目.2017年高考數(shù)學(xué)中對于數(shù)列知識(shí)的考查，嚴(yán)格遵循了考試大綱的要求，基礎(chǔ)性與創(chuàng)新性相結(jié)合，體現(xiàn)了育人與選拔相結(jié)合的命題理念.其中全國卷I理科數(shù)學(xué)中的一道數(shù)列題(第12題)是其中具有代表性的題目，題目創(chuàng)新性亮點(diǎn)突出，以基礎(chǔ)知識(shí)為載體，注重考查數(shù)學(xué)思想方法與能力，實(shí)際上，歷年高考中也不乏類似的經(jīng)典數(shù)列考題，在此希望從這道經(jīng)典考題入手進(jìn)行深入探究.

1 一道經(jīng)典試題

例1(2017理科數(shù)學(xué)全國卷I，12)幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來的兩項(xiàng)是20，21，再接下來的三項(xiàng)是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是( )

A.440 B.330 C.220 D.110

從給出的數(shù)列前幾項(xiàng)分析，所給數(shù)列不是簡單的等比或等差數(shù)列，具有一定的規(guī)律性，題目中需要求解數(shù)列的前N項(xiàng)和，需要首先找出數(shù)列的排列規(guī)律.

由題意，不難發(fā)現(xiàn)該數(shù)列是等比數(shù)列20,21,22,23...部分的組合，可將該數(shù)列看成如下形式：

第一組：20，

第二組：20,21，

第三組：20,21,22，

……

第n組：20,21,22…2n-1，

每一組都是公比為2的等比數(shù)列，第n組的和為2n-1 ，則前n組的和Sn=21-1+22-1+…2n-1=21+22+…2n-n=2n+1-2-n.

不妨設(shè)所求的N在第n+1組第k個(gè)，則該項(xiàng)為2k-1， 1≤k≤n+1 ,

解法一因題目是選擇題，不妨將所給選項(xiàng)代入SN驗(yàn)證,

再驗(yàn)證比440更小的選項(xiàng)B、C、D是否滿足前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪即可：

SN=226+25-25-3=226+4，不是2的整數(shù)冪；

解法二要求解的N>100 ,所以n≥13 ，即N至少在第14組中，

SN=2n+1+2k-n-3<2n+1+2n+1=2n+2，

由n≥13可得 2n>n+3 ,

所以SN=2n+1+2k-n-3>2n+1+2k-2n>2n+1-2n=2n,

所以要使SN為2的整數(shù)冪，必有SN=2n+1；

因此2k-n-3=0,

當(dāng)n=13時(shí)，k=4 ，則N=95<100 ,不滿足題意；

令k=5，則n=29,N=440,即是所求的最小的N.

這道題目是選擇題的最后一題，俗稱選擇題的“壓軸題”，試題以日常生活中的軟件激活碼為背景，考查等比數(shù)列、等差數(shù)列相關(guān)知識(shí)，命制方式新穎，數(shù)列之中包含數(shù)列，跳出了數(shù)列通項(xiàng)公式的常用解題思路，對考生的創(chuàng)造性及對知識(shí)的靈活運(yùn)用提出了更高的要求，但題中運(yùn)用的等差數(shù)列、等比數(shù)列求和等知識(shí)點(diǎn)又是數(shù)列中最基本的內(nèi)容，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性與創(chuàng)新性相結(jié)合的命題理念，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法，對考生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)等都提出了更高層次的要求.

從解法中分析，發(fā)現(xiàn)數(shù)列按組排列的規(guī)律是解答的關(guān)鍵之一，將數(shù)列按組排列，即將原數(shù)列由“一維”變?yōu)椤岸S”形式，這種二維形式被稱之為“數(shù)表”，所謂數(shù)表就是滿足一定條件的數(shù)，按一定的規(guī)律排列成一個(gè)表，如著名的楊輝三角就是典型的數(shù)表問題.數(shù)表問題題型靈活、解法巧妙，在考查數(shù)列知識(shí)的基礎(chǔ)上，對考生的數(shù)學(xué)思維及知識(shí)的靈活運(yùn)用提出了更高的要求.數(shù)表問題在高考中并非首次出現(xiàn)，歷年高考中多次出現(xiàn)利用數(shù)表考查數(shù)列知識(shí)的題目，下面通過幾個(gè)比較有代表性的題目進(jìn)一步探索這類數(shù)表問題的奧妙.

2 關(guān)聯(lián)數(shù)表的數(shù)列典型試題

2.1 部分關(guān)聯(lián)數(shù)表的數(shù)列高考試題解析

例2(2003年全國卷22)(Ⅰ)設(shè){an} 是集合{2t+2s|0≤s

a1=3,a2=5,a3=6,a4=9,a5=10,a6=12…，

將數(shù)列{an}各項(xiàng)按照上小下大、左小右大的原則寫成三角形數(shù)表(如表1)

表1

(1)寫出這個(gè)數(shù)表的第4、5行各數(shù)；

(2)求a100.

解析數(shù)表中的每一項(xiàng)均是{2t+2s|0≤s

可發(fā)現(xiàn)數(shù)表中的第n行的數(shù)值滿足2n+2s,0≤s

例3(2008年江蘇卷10)將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)表：

按照以上排列的規(guī)律,第n行從左向右的第3個(gè)數(shù)為________.

例4(2008年山東卷理科19)將數(shù)列{an} 中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表：

a1

a2,a3

a4,a5,a6

……

2.2 關(guān)聯(lián)數(shù)表的數(shù)列試題命制分析

2017年高考試題中的例1與上述例2，例3，例4既有一定的聯(lián)系，又存在一定差異.下面將從知識(shí)點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力考查等方面，對于這類關(guān)聯(lián)數(shù)表的數(shù)列問題命題特點(diǎn)進(jìn)行研究分析.

(1)關(guān)于知識(shí)點(diǎn)的考查.上述數(shù)表問題考查的實(shí)質(zhì)是數(shù)列形式的變形，數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能仍然是考查的重點(diǎn)，例2、例3中都考查了等差數(shù)列的求和，例1、例4考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)及等比數(shù)列、等差數(shù)列的求和，例1考查數(shù)列知識(shí)的同時(shí)，結(jié)合數(shù)冪及不等式的知識(shí)進(jìn)行了考查，具有一定的綜合性.上述數(shù)表問題在考查形式上，主要涉及的設(shè)問方式包括：求數(shù)表中的某項(xiàng)元素和數(shù)表求和.

(2)關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法的考查.數(shù)表問題重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，例如例2中將集合表達(dá)式的形式轉(zhuǎn)換為數(shù)表的形式；例3中要求解第n行第3個(gè)數(shù)，可以將數(shù)表轉(zhuǎn)化為數(shù)列的形式，則所求問題一目了然；例4中解題的關(guān)鍵是要將數(shù)列項(xiàng)a81轉(zhuǎn)換為其在數(shù)表中的位置；例1的試題設(shè)計(jì)中，將轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想放到了更加突出的地位，例1與其他3道題目考查的都是關(guān)聯(lián)數(shù)表的數(shù)列問題，在其他3道題目中數(shù)表的形式已經(jīng)給出，而例1需要考生根據(jù)所給數(shù)列的特點(diǎn)將其轉(zhuǎn)化為數(shù)表的形式，轉(zhuǎn)化的思想是解題的關(guān)鍵.另外，與其他數(shù)表問題相比，例1考查了從特殊到一般的思想，在例2、例4中都考查了數(shù)表中的某一具體項(xiàng)的求值，而例1中需要求解的是任意第N項(xiàng)的表達(dá)式.

(3)關(guān)于數(shù)學(xué)能力的考查.在高考數(shù)學(xué)命題中，堅(jiān)持“能力立意”，能力考查的原則是，以思維能力為核心，全面考查各種能力.數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，主要考查抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).在上述數(shù)表問題的考查中，運(yùn)算求解能力是基礎(chǔ)，重點(diǎn)考查抽象概括能力和推理論證能力，對考生的創(chuàng)新意識(shí)也提出了較高要求.以例1為例，解答中涉及3個(gè)關(guān)鍵步驟，首先要將數(shù)列轉(zhuǎn)化為數(shù)表形式，找出數(shù)列的規(guī)律，其次要求出前N項(xiàng)和SN的表達(dá)式，還要找出SN為2的整數(shù)冪的成立條件.第一步，找出數(shù)列的規(guī)律重點(diǎn)考查抽象概括能力和創(chuàng)新意識(shí)，第二步，求解SN的表達(dá)式考查了推理論證能力和運(yùn)算求解能力，最后求證SN為2的整數(shù)冪的成立條件則對推理論證能力提出了更高層次的要求.

3 試題的創(chuàng)新命制探析

2017年理科數(shù)學(xué)全國卷I第12題中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，對考生的數(shù)學(xué)能力及學(xué)科素養(yǎng)都進(jìn)行了深度考查，是一道優(yōu)秀的高考試題.另一方面，從考生答題來看，試題具有較大難度，要答對這道選擇題，并不容易，5分的分值蘊(yùn)含了大量的思維過程.從應(yīng)試的角度，對于大部分考生，為一道選擇題壓軸題占用大量的精力和時(shí)間，是得不償失的，放棄解答隨機(jī)選擇一個(gè)答案也許是相當(dāng)一部分考生的應(yīng)對，這樣對于精心命制的優(yōu)秀題目無疑是一種浪費(fèi).因此我們希望將這道試題進(jìn)行一定改編與創(chuàng)新嘗試，以更好地突出其考查效果.

3.1 不同題型的功能分析

從不同題型在試卷中的作用來看，選擇題、解答題均是數(shù)學(xué)試卷中的主要題型，同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)對于不同題型的選擇能夠直接影響試題的信度、效度及區(qū)分度.

從高考的歷史看，解答題的歷史更為悠久，上世紀(jì)80年代隨著教育測量學(xué)、教育統(tǒng)計(jì)學(xué)等的發(fā)展，我國開始研究實(shí)施以客觀性試題為代表的標(biāo)準(zhǔn)化考試.從高考數(shù)學(xué)的歷史看，1983年之前的高考數(shù)學(xué)是沒有選擇題這種題型的.選擇題這種考查方式與解答題相比，具有自身的優(yōu)點(diǎn)：如有利于擴(kuò)大試卷容量，提高知識(shí)考查的覆蓋廣度；題意清楚，評分標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、準(zhǔn)確，不受評卷者主觀因素的影響，有利于提高考試的公平性、信度和效度；有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性等；但選擇題也存在著許多的考查局限性，例如不利于區(qū)分不同層次考生的差異；不能反映考生解題的思維過程，評分不一定能反映考生真實(shí)水平；不利于培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力等.因此在數(shù)學(xué)試卷中采用選擇題與解答題相結(jié)合的考查形式，能夠有效地形成互補(bǔ)，更加全面、有效地進(jìn)行考查知識(shí)與能力.

3.2 試題改編分析

從例1的解答來看，試題的難點(diǎn)體現(xiàn)在數(shù)列與數(shù)表的轉(zhuǎn)換、SN的表達(dá)式求解、尋找SN與2的整數(shù)冪的關(guān)系.而作為選擇題的考查，完全可以通過恰當(dāng)?shù)募记膳c處理方式避開后兩個(gè)難點(diǎn)，正如方法一，代入驗(yàn)證是選擇題解答的常用方法，能夠提高選擇題解答的效率，將具體的N代入后求SN,只要能夠?qū)?shù)列轉(zhuǎn)化為數(shù)表，并歸納出規(guī)律，根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列知識(shí)不難求出具體的SN的值，也容易得出是否為2的整數(shù)冪，體現(xiàn)的是將抽象問題具體化的處理辦法.這樣的處理方式，解答思維量降低，但是試題的計(jì)算量有所增加，對考生的計(jì)算能力同樣要求較高.同時(shí)，該題作為選擇題壓軸題，難度較大，根據(jù)對于選擇題解答的研究，當(dāng)選擇題較容易時(shí)，就有較多的學(xué)生完成直接求解，特例法和猜測法都較少用，當(dāng)題目較難時(shí)學(xué)生直接求解有困難，就更傾向于用特例法和猜測法，題目越難猜測成分越高，難度過高的選擇題往往在區(qū)分度方面并不理想.解答題的優(yōu)點(diǎn)恰好在于能夠更好地體現(xiàn)考生的思維過程、區(qū)分不同層次考生.下面將該題改編成一道解答題.據(jù)此，該題可改編如下：

已知數(shù)列{an}={1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…}，其中第一項(xiàng)是20，接下來的兩項(xiàng)是20，21，再接下來的三項(xiàng)是20，21，22，依此類推.

(Ⅰ)分別求a21，a110的值；

(Ⅱ)求數(shù)列前110項(xiàng)的和S110；

(Ⅲ)求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.

改編為解答題后，為了降低試題難道，提高區(qū)分度，在原來問題的基礎(chǔ)上設(shè)置了具有一定梯度和啟發(fā)性的前2個(gè)問題.第Ⅰ問設(shè)置的是求特殊項(xiàng)的值，目的在于讓考生通過數(shù)列特殊項(xiàng)的求值，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律，將其轉(zhuǎn)換為數(shù)表形式，其中a21，a110兩項(xiàng)的設(shè)計(jì)考慮所求項(xiàng)具有一定的特殊性，a21恰好是第6組的最后一個(gè)，更有利于考生發(fā)現(xiàn)數(shù)列分組的規(guī)律，考生即使暫時(shí)沒發(fā)現(xiàn)數(shù)表規(guī)律，通過逐一列舉也不難找出，對于a110考生必須發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律后才能通過計(jì)算得出其所在數(shù)表中的位置，進(jìn)而求得其值，且a110在第15組第5個(gè)，與a21所處的位置相比更具有一般性，更有利于引導(dǎo)考生在求解(Ⅲ)時(shí)，做出對N所在位置的恰當(dāng)假設(shè).第Ⅱ問，需要考生直接利用通過(Ⅰ)發(fā)現(xiàn)的數(shù)表規(guī)律求具體的前N項(xiàng)和，直接考查等比數(shù)列、等差數(shù)列知識(shí)的運(yùn)用，為最終求解(Ⅲ)更進(jìn)一步.(Ⅲ)由選擇題轉(zhuǎn)換為解答題后，將數(shù)列與不等式進(jìn)行結(jié)合，對考生思維的嚴(yán)密性及邏輯推理能力提出了更高的要求.

題目的改編理念體現(xiàn)的是由特殊到一般的思想，最終求解的問題具有較大的難度，希望通過做鋪墊、“架梯子”的方式為考生引路，同時(shí)也使不同層次考生均能夠得到展現(xiàn)的機(jī)會(huì).

4 結(jié)語

關(guān)聯(lián)數(shù)表的數(shù)列問題是數(shù)列考查的一種重要形式，歷年高考中也多次出現(xiàn)，2017年再次出現(xiàn)，題目的形式和考查重點(diǎn)都具有了一定的創(chuàng)新性，充分體現(xiàn)了高考題目“重基礎(chǔ)、重能力、重創(chuàng)新”的特點(diǎn)，在日常的教學(xué)研究中，要善于捕捉、吃透這樣的“好題”，在課堂教學(xué)中以好題為抓手開展探究性學(xué)習(xí)，注重一題多解、多題一解，舉一反三，注重通性與通法，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透和學(xué)科能力的培養(yǎng)，使這樣的好題真正成為寶貴的財(cái)富.當(dāng)然，有效解決這些題目的基礎(chǔ)是以基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法為基礎(chǔ)的有效教學(xué)，而并非題海戰(zhàn)術(shù)和機(jī)械訓(xùn)練，能力立意的創(chuàng)新是這類題目設(shè)計(jì)的不變主題.