西南聯(lián)大數(shù)學(xué)名師許寶騄的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)①

劉冰楠

(云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 650500)

在西南聯(lián)大這片熱土上，曾出現(xiàn)過很多辛勤職教的老前輩，他們揮灑汗水，在極度艱苦的條件下，為我國培育出眾多英才，許寶騄便是其中一位.許先生對我國概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的學(xué)科發(fā)展做出了突出貢獻(xiàn)，是我國概率統(tǒng)計(jì)研究的現(xiàn)代學(xué)者中達(dá)到世界先進(jìn)水平并有廣泛國際影響的第一人，在矩陣論和積分變換方面也有精深的研究.許先生才華出眾，與華羅庚、陳省身兩位先生共被譽(yù)為“西南聯(lián)大數(shù)學(xué)三杰”，他所追求的最高學(xué)術(shù)標(biāo)準(zhǔn)的科學(xué)精神，值得當(dāng)今學(xué)者繼承和發(fā)揚(yáng).2019年恰逢西南聯(lián)合大學(xué)在昆明建校八十一周年，我們懷著無比崇敬的心情，緬懷其學(xué)術(shù)業(yè)績、學(xué)習(xí)其治學(xué)風(fēng)范.僅以此文紀(jì)念曾在這片園地辛勤耕耘的先人，激勵(lì)后輩，發(fā)揚(yáng)西南聯(lián)大精神.

1 生平簡介

許寶騄(Pao-Lu Hsu，1910.9.1—1970.12.18)，字閑若，筆名班成，我國著名數(shù)學(xué)家，數(shù)理統(tǒng)計(jì)、概率論奠基人，中國科學(xué)院院士，曾任第四屆全國政協(xié)委員.許寶騄出身于杭州的名門世家，祖父許祐身曾任蘇州府知府，父親許引之曾任兩浙鹽運(yùn)使，兄弟姐妹七人，排行第七，兩位兄長許寶駒、許寶骙均學(xué)有所長，頗多建樹.許先生1910年9月1日生于北京，兩歲隨父遷至天津，8歲舉家遷回杭州.幼年時(shí)期，其父聘請家庭教師為其講授《四書》、《五經(jīng)》、歷史及古典文學(xué)，為其奠定了深厚的文學(xué)基礎(chǔ).1924年，其父病逝，全家遷回天津，翌年移居北京，考入北京匯文中學(xué)學(xué)習(xí).中學(xué)期間，常與其表姐夫徐傳元(畢業(yè)于美國麻省理工學(xué)院)探討數(shù)學(xué)問題，并得到啟迪.中學(xué)時(shí)期即可用法語書寫短文.1928年考入燕京大學(xué)化學(xué)系，1930年轉(zhuǎn)入清華大學(xué)數(shù)學(xué)系，1933年獲理學(xué)學(xué)士學(xué)位.畢業(yè)后被錄取赴英國留學(xué)，但由于體重太輕不合格未能出國，調(diào)養(yǎng)一年后，正值美國哈佛大學(xué)教授W.F.Osgood在北京大學(xué)講學(xué)，故許寶騄到北京大學(xué)數(shù)學(xué)系為其當(dāng)助教.在其講學(xué)的兩年中，許寶騄一直是他的助教，奧斯古德在他后來出版的書中，還提到許寶騄對他的諸多幫助，流露了其對許先生的贊賞與深厚的友情.1935年，許寶騄與江澤涵合作發(fā)表了關(guān)于“臨界點(diǎn)”的論文，初步顯露了他的數(shù)學(xué)才能.

1936年，許寶騄再次考取了赴英留學(xué)的機(jī)會，被派往University College London，在高爾頓實(shí)驗(yàn)室和統(tǒng)計(jì)系學(xué)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計(jì).當(dāng)時(shí)的統(tǒng)計(jì)系人才濟(jì)濟(jì)，由R.A.Fisher接替K.Pearson任實(shí)驗(yàn)室主任，美國多元分析專家H.Hotelling，S.S.Wiks，頻率曲線專家C.C.Craig，概率專家W.Feller等都在該系學(xué)習(xí)工作過，并對許寶騄的學(xué)術(shù)思想和研究方向產(chǎn)生了一定的影響.在此學(xué)習(xí)的四年間，許先生以他堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與能力，結(jié)合英國先進(jìn)的統(tǒng)計(jì)思想，迅速發(fā)表了一系列重要論文.1938年獲得哲學(xué)博士學(xué)位，1940年獲科學(xué)博士學(xué)位.1940年年底，許先生在抗日戰(zhàn)爭的烽火中毅然回國，任國立西南聯(lián)合大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，講授概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)等課程.1945年應(yīng)邀赴美國加利福尼亞大學(xué)伯克利分校、哥倫比亞大學(xué)和北卡羅萊納大學(xué)講學(xué).許先生在美國教了兩年左右的書，給人留下了深刻的印象，現(xiàn)在伯克利大學(xué)、斯坦福大學(xué)的統(tǒng)計(jì)系，都掛有許先生的相片以示紀(jì)念[1].1947年夏，許先生返回北京，自此一直在北京大學(xué)任教.1948年當(dāng)選中央研究院首批院士，1955年當(dāng)選中國科學(xué)院首批學(xué)部委員.1950年以后，許先生長期患病，但仍以頑強(qiáng)的毅力堅(jiān)持帶領(lǐng)青年學(xué)者開展科研工作.1970年12月18日病逝于北京大學(xué)住所，享年60歲.

1979年，為紀(jì)念許先生誕辰70周年，著名的《The Annals of Statistics》約請三位世界著名的專家撰文介紹其生平及在學(xué)術(shù)上的重要貢獻(xiàn).1981年，中國科學(xué)出版社出版了《許寶騄文集》，由中國科學(xué)院院士江澤涵和段學(xué)復(fù)為此文集作序，高度評價(jià)了許先生的一生，文集中收錄許先生的論文19篇.1983年1月，《許寶騄全集》英文版《PAO-LU HSU COLLETED PAPERS》由K.L.Chung負(fù)責(zé)編輯，西德Springer-Verlag出版發(fā)行，該英文版共589頁，收集數(shù)學(xué)論文41篇(40篇正文，1篇附錄)，其中解放后發(fā)表的中文論文均被翻譯成英文.能在Springer出版社出版論文集的中國數(shù)學(xué)家，至今屈指可數(shù).1997年，美國出版了《Leading Personalities in Statistical Science from the Seventeenth Century to the Present》一書，該書介紹了包括牛頓、高斯、拉普拉斯、費(fèi)雪爾、奈曼、柯爾莫果洛夫等著名科學(xué)家在內(nèi)的114位重要人物的傳記，而許寶騄先生是唯一入選的中國學(xué)者.

2 許寶騄的數(shù)學(xué)教育思想

2.1 著述立說，傳播現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識

許先生具備典型的中國學(xué)者的風(fēng)度，一貫以高標(biāo)準(zhǔn)嚴(yán)格要求自己，是為青年學(xué)者學(xué)術(shù)風(fēng)范之楷模，更給國際同行留下了深刻的印象.許先生在學(xué)術(shù)上十分注重論文的質(zhì)量，他曾說：“一篇文章的價(jià)值不是在它發(fā)表時(shí)得到了承認(rèn)，而是在后來不斷被別人引用的時(shí)候才得到了證實(shí).”“我不希望自己的文章登在有名的雜志上因而出了名；我希望一本雜志因?yàn)榭橇宋业奈恼露隽嗣?”[2]正是因?yàn)樵S先生對學(xué)術(shù)追求的高質(zhì)量，使得他發(fā)表的許多論文在其特定的領(lǐng)域內(nèi)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.

在多元統(tǒng)計(jì)分析和統(tǒng)計(jì)推導(dǎo)方面，許先生發(fā)展了矩陣變換的技巧，推導(dǎo)樣本協(xié)方差矩陣的分布與某些行列式方程的根的分布，推進(jìn)了矩陣論在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用.他對Gauss-Markov模型中的方差的最優(yōu)估計(jì)的研究是后人關(guān)于方差分量和方差的最佳二次估計(jì)的眾多研究的起點(diǎn).他揭示了線性假設(shè)的似然比檢驗(yàn)的第一個(gè)優(yōu)良性質(zhì)，推動(dòng)了人們對所有相似檢驗(yàn)進(jìn)行研究.在概率論方面，得到了樣本方差的分布的漸近展開以及中心極限定理中誤差大小的階的精確估計(jì).與H.Robbins合作提出的“完全收斂”則是強(qiáng)大數(shù)律的有趣加強(qiáng)，是后來一系列有關(guān)強(qiáng)收斂速度的研究的起點(diǎn).許先生在矩陣偶于某些變換下的分類、馬氏過程轉(zhuǎn)移函數(shù)的可微性、次序統(tǒng)計(jì)量的極限分布及部分平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)等方面均有出色的工作[3].

許先生主持翻譯、校閱了辛欽的《數(shù)學(xué)分析簡明教程》、史捷班諾夫的《微分方程教程》和格涅堅(jiān)科的《概率論教程》等俄文教材，幫助教師學(xué)習(xí)俄語，精讀俄文原版《數(shù)學(xué)分析八講》等教材，這些工作對解放初期中國數(shù)學(xué)教材建設(shè)及人才培養(yǎng)具有重要意義.

許先生發(fā)表學(xué)術(shù)論文40篇[4]，其中“變敘的項(xiàng)的極限分布”和“部分平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)”這兩篇文章，是許寶騄先生所主持的討論班的成果，以其筆名“班成”的名義發(fā)表.許先生1970年逝世后，后人在其主持的討論班(1964年冬至1965年春)上得到大部分結(jié)果，發(fā)表了“隨機(jī)矩陣的重合性質(zhì)”一文；1990年，許寶騄先生逝世20周年，《應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)》刊載了其研究成果“有限狀態(tài)馬爾可夫鏈的某些研究”.

許先生關(guān)于數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的第一篇論文發(fā)表于1938年，文中討論了所謂的Behrens-Fisher問題.其中，對于σ1，σ2不一定相等的情況，給出了相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量，找到了統(tǒng)計(jì)量的密度函數(shù)的級數(shù)展開式，并用它研究否定域的功效.此項(xiàng)工作被著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家H.Scheffe(1970)稱為“數(shù)學(xué)嚴(yán)格的典范”.這種方法被學(xué)者們稱為“許方法”，時(shí)至今日，仍是解決這一問題的最實(shí)用的方法.此后，許先生發(fā)表了多篇多元統(tǒng)計(jì)分析理論發(fā)展的前沿論文，并得到同行的認(rèn)可.

2.2 主持討論班，重視學(xué)科發(fā)展

許先生不僅具有高深的學(xué)術(shù)造詣和杰出的學(xué)術(shù)成就，而且為建設(shè)和發(fā)展中國的概率統(tǒng)計(jì)學(xué)科做出了卓越貢獻(xiàn).他所從事的概率統(tǒng)計(jì)，在我國第一個(gè)科學(xué)規(guī)劃中被列為數(shù)學(xué)學(xué)科的重點(diǎn)方向之一[5].許先生作為全國公認(rèn)的概率統(tǒng)計(jì)學(xué)科帶頭人，為了推動(dòng)理論聯(lián)系實(shí)際的工作，于1956年在北京大學(xué)成立了全國第一個(gè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教研室，并擔(dān)任教研室主任.他主持制定了概率統(tǒng)計(jì)專門化的培養(yǎng)計(jì)劃和教學(xué)大綱，充分體現(xiàn)了重視基本知識、加強(qiáng)基礎(chǔ)訓(xùn)練、著重基本能力培養(yǎng)的精神，至今仍具有指導(dǎo)意義[6].

1956年在教育部的統(tǒng)一安排下，許多高校的教師和學(xué)生云集北大，在許先生的主持下從事概率統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)與研究.此時(shí)的教師團(tuán)隊(duì)除北大原有的教師外，從中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所、中山大學(xué)等高校調(diào)集了一批教師，加強(qiáng)專門課程的教學(xué)力量，這一舉措，對我國概率統(tǒng)計(jì)隊(duì)伍的建設(shè)和發(fā)展起到了奠基性的作用.培養(yǎng)的這批學(xué)生成為國內(nèi)第一屆概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)專門化的學(xué)生，他們中的許多人長期活躍在教學(xué)科研第一線，成為概率統(tǒng)計(jì)學(xué)科的骨干力量.在許先生的倡議下，當(dāng)時(shí)從蘇聯(lián)、東歐邀請了一些概率統(tǒng)計(jì)專家來華進(jìn)行學(xué)術(shù)交流，同時(shí)選派一些優(yōu)秀青年學(xué)者去國外學(xué)習(xí)，以此加強(qiáng)國內(nèi)外學(xué)術(shù)交流，促進(jìn)我國概率統(tǒng)計(jì)學(xué)科的發(fā)展.為了促進(jìn)學(xué)術(shù)交流，許先生爭取為青年學(xué)者提供發(fā)表文章的機(jī)會，曾發(fā)起籌辦全國性的概率統(tǒng)計(jì)學(xué)術(shù)期刊，并表示愿意資助一部分經(jīng)費(fèi)，但由于種種原因當(dāng)時(shí)未能實(shí)現(xiàn)，直至1983年后才逐步實(shí)現(xiàn).

許先生特別重視青年教師及學(xué)生的獨(dú)立科研能力的培養(yǎng)，并通過討論班的形式進(jìn)行科研能手的培養(yǎng).他主持了富氏變換、極限定理、馬氏過程、試驗(yàn)設(shè)計(jì)、次序統(tǒng)計(jì)量等討論班，討論班的成員不僅有北大的教師和學(xué)生，還有其他各院校的師生以及中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所的同志.其中，馬氏過程討論班的內(nèi)容涉及極限定理、馬氏過程、多元分析、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、次序統(tǒng)計(jì)量、過程統(tǒng)計(jì)、判決函數(shù)和組合數(shù)學(xué)等多個(gè)專題[7].在討論班上，“他常有精彩的插話，介紹所討論專題的歷史、現(xiàn)狀，指出難點(diǎn)，使青年受益不小.”[8]當(dāng)一個(gè)專題報(bào)告結(jié)束之后，成員間進(jìn)行討論交流，報(bào)告人根據(jù)反饋將報(bào)告內(nèi)容進(jìn)行重新整理，提出新的方法和進(jìn)一步研究的方向.通過討論班的學(xué)習(xí)，學(xué)生都能在不同程度上較自己原有水平有所提高.許先生循循善誘地鼓勵(lì)青年學(xué)者敢于發(fā)表自己的意見，并激勵(lì)其進(jìn)行科學(xué)實(shí)踐，告誡學(xué)生不要眼高手低最終導(dǎo)致一事無成.許先生把大批青年學(xué)者引向科學(xué)研究的前線，成為其科研引路人.

江澤涵先生回憶西南聯(lián)大時(shí)期寫道：“好多位杰出有為的年輕數(shù)學(xué)教授從國外返回，如陳省身1937年從法國返回、華羅庚1938年和許寶騄1940年從英國返回.各種討論班在數(shù)學(xué)系建立.聯(lián)大培養(yǎng)數(shù)學(xué)人才方面的成績歷來都有好評，我認(rèn)為上述的交流確是獲得成績的一個(gè)不可忽視的原因.因?yàn)橛辛私涣?，才打破了近親繁殖、因循守舊，才鼓勵(lì)了獨(dú)立思考、創(chuàng)新精神，因而使基礎(chǔ)知識扎實(shí)、寬廣.我自己也受了這些交流的好處.”[9]可見，討論班對西南聯(lián)大人才的培養(yǎng)起到了重要的作用.

2.3 主張“良工示人以樸”

“許先生在教學(xué)中特別強(qiáng)調(diào)要直觀地理解數(shù)學(xué)，主張要把數(shù)學(xué)定理及其證明的‘原始思想’告知學(xué)生，使學(xué)生認(rèn)識到追求簡單規(guī)律的重要性，并以此作為研究數(shù)學(xué)的目標(biāo)和興趣出發(fā)點(diǎn).”[10]許先生主張的“良工示人以樸”的教學(xué)觀點(diǎn)，至今仍有重要的現(xiàn)實(shí)意義，即Mathematics is for simplicity——數(shù)學(xué)教學(xué)要追求簡易，重視直觀.

“直觀”原指借助于視覺器官直接觀察，以此獲得感性經(jīng)驗(yàn).數(shù)學(xué)直觀不同于一般教育學(xué)加上數(shù)學(xué)例子的問題，也不局限于教學(xué)的直觀性，而是數(shù)學(xué)教學(xué)所特有的.數(shù)學(xué)教師對所教內(nèi)容進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈淖终Z言描述，簡明的符號語言表達(dá)，形象的圖形語言呈現(xiàn)，建立數(shù)學(xué)內(nèi)部與外部聯(lián)系的類比等，都是數(shù)學(xué)直觀的體現(xiàn).1988年7月27日—8月3日在匈牙利首都布達(dá)佩斯舉行的“第六屆國際數(shù)學(xué)教育會議”將“數(shù)學(xué)直觀”作為分組課題之一進(jìn)行深入探討.使學(xué)生學(xué)會用直觀、聯(lián)想的方法理解數(shù)學(xué)，從直觀上領(lǐng)悟數(shù)學(xué)命題的來龍去脈，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題，達(dá)到真正領(lǐng)會，在一定程度上有助于學(xué)生創(chuàng)造力的培養(yǎng).美學(xué)專家認(rèn)為，簡單性是美的標(biāo)志，數(shù)學(xué)的簡單性意味著“規(guī)律性、協(xié)調(diào)性和形式上的統(tǒng)一性.阿達(dá)瑪發(fā)展了龐加萊的數(shù)學(xué)發(fā)明心理學(xué)，闡明了美的意識與人腦創(chuàng)造性思維活動(dòng)的深刻聯(lián)系.追求簡單性的意愿有利于激發(fā)創(chuàng)造發(fā)明的心智能力.”[10]“數(shù)學(xué)中的美是數(shù)學(xué)真理的光輝，對美的追求是科學(xué)創(chuàng)造的內(nèi)驅(qū)力之一.”[11]徐利治先生回憶起西南聯(lián)大求學(xué)歲月時(shí)講道，許先生開設(shè)微分幾何課程，“第一次上課就對我們說，微分幾何不過是微積分的一種應(yīng)用而已，而主要工具是泰勒級數(shù)展開，再用一點(diǎn)兒初級代數(shù)計(jì)算.”[10]體現(xiàn)了許先生“良工示人以樸”的教學(xué)觀點(diǎn).許先生的課堂，將思想與形式完美地結(jié)合，每每吸引眾多學(xué)子.他的學(xué)生回憶說：“許先生堅(jiān)持深入淺出，毫不回避困難.沉著、明確而又默默地獻(xiàn)身于學(xué)術(shù)的最高目標(biāo)和最高水平，這種精神吸引了我們.”[12]

在證明方法上，許先生追求初等的證明，他認(rèn)為初等的方法比艱深的方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中更有意義.故在選擇證明方法時(shí)，力求簡潔，將問題剖析清楚后(分析問題時(shí)，強(qiáng)調(diào)要有一種“內(nèi)視”的能力)，問題解決便水到渠成.同時(shí)重視特例分析、數(shù)學(xué)概括和抽象方法，以此培養(yǎng)學(xué)生“不怕計(jì)算”和“樂于計(jì)算”的習(xí)慣，從計(jì)算中發(fā)現(xiàn)規(guī)律并提煉一般性公式，使學(xué)生學(xué)會從特殊到一般的方法.

在教學(xué)和科研中，許先生十分注重對青年學(xué)者進(jìn)行抽象的訓(xùn)練.他說：“數(shù)學(xué)中的抽象能力是重要的，一些問題經(jīng)過抽象之后，不僅問題簡單明了，而且它的實(shí)質(zhì)也更清楚了.”[13]表面上看起來毫不相干的內(nèi)容，經(jīng)過抽象后得到本質(zhì)是一樣的.回顧歐拉、高斯、龐加萊等大數(shù)學(xué)家的工作，他們都一致重視抽象、計(jì)算、觀察、歸納和分析等的重要作用.數(shù)學(xué)所研究的對象是形式化了的思想材料，顯示出某種程度的抽象性，數(shù)學(xué)中的概念、原理、方法、規(guī)律等也都是抽象的結(jié)果.抽象的知識對以形象思維為主、抽象思維較弱的學(xué)生來講，帶來了較大的挑戰(zhàn)，如何在具體內(nèi)容與抽象之間架設(shè)一座橋梁，成為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié).數(shù)學(xué)直觀可以很好地解決這一問題.鑒于“數(shù)學(xué)是由于現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際需要而形成的，只有密切聯(lián)系實(shí)際的數(shù)學(xué)才能使學(xué)生將所學(xué)的知識與現(xiàn)實(shí)結(jié)合，數(shù)學(xué)教育一旦脫離了豐富多彩而又錯(cuò)綜復(fù)雜的背景材料，就將成為無源之水，無本之木.”[14]學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容的認(rèn)識、理解及抽象概括其本質(zhì)，是抽象思維的出發(fā)點(diǎn)，從此出發(fā)，而后離開它，擺脫它.再一次體現(xiàn)“良工示人以樸”在教學(xué)中起到的重要作用.

3 許寶騄與西南聯(lián)大

1940年的中國正經(jīng)歷劫難，人民處于水深火熱之中，為了民族解放許先生毅然回國，到“白晝則群蠅密集，黃昏則一燈如豆”的昆明鄉(xiāng)下西南聯(lián)大數(shù)學(xué)系任教.當(dāng)時(shí)的他雖然很年輕，但卻已經(jīng)很有名氣，并努力為數(shù)學(xué)新生代的成長儲備力量.許先生在西南聯(lián)大任教時(shí)期，不僅生活艱苦，資料也很貧乏.“他吃著‘滲泥砂而煮不熟的黑米飯’和‘無油的清水茶’，偶爾‘打牙祭’，沒有鍋釜，用臉盆代替，盛了雞豚煮食，算是珍饈，許先生喜稱‘吃臉盆’.白天要‘跑空襲’，晚上在斗室的油燈下從事科研工作.”[15]就是在如此惡劣的環(huán)境下，許先生仍堅(jiān)持完成其科學(xué)論著，并于1941年在英美等國的學(xué)術(shù)刊物上一連發(fā)表5篇數(shù)學(xué)研究論文，令人肅然起敬.

數(shù)學(xué)系當(dāng)時(shí)資料的匱乏程度，從楊武之先生的描述中可見一般：“九年之間連英美各方贈送者在內(nèi)，不過兩百本耳，其中且多不適用者，雜志則英美出版者較多，1940年以后便難續(xù)到.”[16]鑒于條件的限制，許先生曾手抄過E.C.Titchmarsh的整本《函數(shù)論》，授課則大多自編講義，課程講義大多以討論班上的講稿為藍(lán)本整理而成，其講稿對當(dāng)今數(shù)學(xué)教學(xué)工作仍有很大的參考價(jià)值.如《馬氏過程》、《點(diǎn)集拓?fù)洹?、《多元分析》和《抽樣論》等都是?jīng)過精心選材整理而成，并具有鮮明的特點(diǎn).其中，《抽樣論》經(jīng)孫山澤的整理，由北京大學(xué)出版社于1982年出版，并榮獲國家教委優(yōu)秀教材獎(jiǎng).許先生憑借頑強(qiáng)的毅力進(jìn)行科學(xué)研究及教學(xué)工作.

許先生工作嚴(yán)謹(jǐn)，備課極為認(rèn)真，講授條理清晰.在西南聯(lián)大理學(xué)院算學(xué)系工作的五年間，為大學(xué)生開設(shè)了諸多專業(yè)課程，包括專業(yè)必修課程和專業(yè)選修課程.其課表如表1所示：

表1 許寶騄在西南聯(lián)大理學(xué)院算學(xué)系的課表

注：該課程表根據(jù)《國立西南聯(lián)合大學(xué)校史——1937至1946年的北大、清華、南開》(北京大學(xué)出版社，1996年)等文獻(xiàn)整理而成. 高等微積分甲組為工學(xué)院設(shè)，乙組為理學(xué)院設(shè). 數(shù)理統(tǒng)計(jì)甲乙課程必須同選，其預(yù)修課程為高等微積分.

由表1可見，許先生在西南聯(lián)大所講授的必修課有初等微積分Ⅲ、近世代數(shù)、微分幾何等.其中，初等微積分所用教材一般選用W. F. Osgood的Introduction to the Calculus(1922)，Smith、Granville&Lonely的Differential and Integral Calculus或R.Courant的Differential and Integral Calculus.近世代數(shù)所用教科書一般選用B.L.vander Waerden的Moderne Algebra.微分幾何選用Graustein的Differential Geometry或V.Veblen and J.H.C.Whitehead的The Foundation of Differential Geometry.許先生為本科生和研究生開設(shè)的選修課程，包括數(shù)理統(tǒng)計(jì)、傅立葉級數(shù)與積分、微積分Ⅳ、高級算論等.其中，為分析學(xué)方向本科四年級與研究生開設(shè)的選修課程有傅立葉級數(shù)與積分；為概率論方向三、四年級學(xué)生及研究生開設(shè)的選修課有數(shù)理統(tǒng)計(jì)(甲乙)，且其先修課程為高等微積分(必修課)，也由許先生講授.“許先生開設(shè)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程，國內(nèi)尚屬首次系統(tǒng)講授.”[17]

許先生很關(guān)心新一代學(xué)者的成長，每當(dāng)青年學(xué)者取得科研成果時(shí)，他總是十分高興并認(rèn)真指導(dǎo)，連標(biāo)點(diǎn)符號也不放過，努力把青年學(xué)者帶到科研前線，在戰(zhàn)亂中譜寫教書育人的動(dòng)人樂章.他的學(xué)生中有鐘開萊、冷生明、王壽仁(1)改革開放后，王壽仁先生招收了第一批碩士研究生(3人)，馬志明院士便是其中一位.許寶騄先生開創(chuàng)了中國的概率統(tǒng)計(jì)學(xué)科，并為概率統(tǒng)計(jì)的傳承做出奠基性工作.等，都在各自的領(lǐng)域發(fā)揮了重要作用.許先生在西南聯(lián)大時(shí)期，在統(tǒng)計(jì)學(xué)多元分析數(shù)學(xué)理論方面做出了若干處于世界前沿的工作.在1941—1945年教育部舉辦的第五屆學(xué)術(shù)評議活動(dòng)中，許先生的數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究榮獲教育部二等獎(jiǎng).1942年6月3日，當(dāng)時(shí)的新中國數(shù)學(xué)會舉行茶會，慶祝西南聯(lián)大理學(xué)院教授華羅庚、許寶騄榮獲自然科學(xué)類學(xué)術(shù)獎(jiǎng)金.

老舍1941年來昆明時(shí)曾見到許先生，并給他留下了深刻印象，說他“年輕，瘦瘦的，絕頂聰明.”[18]徐利治先生回憶起1941—1945年在西南聯(lián)大數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí)的歲月，恰逢“數(shù)學(xué)三杰”在此工作，名師們對其數(shù)學(xué)治學(xué)經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生了重要影響，徐先生總結(jié)為六點(diǎn)：“一是培養(yǎng)興趣，二是追求簡易，三是重視直觀，四是學(xué)會抽象，五是不怕計(jì)算，六是喜愛文學(xué).”[10]這些經(jīng)驗(yàn)，正是西南聯(lián)大數(shù)學(xué)名師留給后輩的寶貴財(cái)富.

4 結(jié)語

許寶騄一生心系教學(xué)與科研，嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)，誨人不倦，在艱苦條件下仍能堅(jiān)持不懈地追求科學(xué)，為中華民族人才的培養(yǎng)做出了卓越貢獻(xiàn).許先生的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)屬于世界級的，為表彰許先生為數(shù)學(xué)發(fā)展做出的卓越貢獻(xiàn)，1984年以他的名字設(shè)立了統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)獎(jiǎng)(注：該獎(jiǎng)于1984年由國內(nèi)外學(xué)者鐘開萊、鄭清水、徐利治發(fā)起，鼓勵(lì)不超過35歲的青年數(shù)學(xué)工作者，為推進(jìn)統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了貢獻(xiàn).作為Neyman最杰出的一位中國學(xué)生，許先生得

到其高度贊賞，在Neyman眼中，“許先生和Wald是在同一個(gè)水平上——他們是新成長一代中兩位卓越的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)家.”[1]許先生為人謙和，談吐高雅，淡泊名利，敬業(yè)教書，對學(xué)術(shù)高標(biāo)準(zhǔn)、嚴(yán)要求的科研精神感染了一代學(xué)子.他十分關(guān)心數(shù)學(xué)的普及工作，《數(shù)學(xué)通報(bào)》中的一些題目常引起他很大的興趣.許先生終生未娶，把一生全部獻(xiàn)給祖國的科研和教育事業(yè)，為祖國的科學(xué)發(fā)展奮斗到生命最后一息.這種獻(xiàn)身祖國、獻(xiàn)身科學(xué)的精神值得后輩學(xué)者永遠(yuǎn)學(xué)習(xí).2019年恰逢西南聯(lián)大在昆明建校81周年，僅以此文表示對他的深切緬懷.