最值問題求解五法

甘肅省高臺(tái)縣第一中學(xué) 徐德軍

最值問題，歷來是教學(xué)中的重點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，這類問題靈活多變，綜合性極強(qiáng).求解這類問題必須講究方法與策略，否則往往會(huì)感到無從下手.因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)“授之以漁”，教會(huì)學(xué)生最值問題必須掌握的基本方法.結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，筆者歸納了最值問題求解的五個(gè)方法，以供參考.

一、判別式法

對(duì)于函數(shù)y=f（x），利用函數(shù)與方程思想將其變形為a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，把方程中的y看作參數(shù)，當(dāng)a（y）≠0時(shí)，這個(gè)方程必有實(shí)數(shù)解，于是它的判別式Δ=b2（y）-4a（y）c（y）≥0，由此，可求出y的取值范圍，即原函數(shù)的值域.

例1 實(shí)數(shù)x，y滿足4x2-5xy+4y2=5，設(shè)s=x2+y2，則的值為______.

又x2+y2=s，所以x2，y2是方程的兩個(gè)實(shí)根.

點(diǎn)評(píng)：判別式法是方程思想在最值問題中的應(yīng)用，利用這種方法解題的關(guān)鍵是構(gòu)造關(guān)于某個(gè)變量的二次方程.本題從韋達(dá)定理的逆向運(yùn)用出發(fā)，構(gòu)造了一個(gè)以t為主元，s為參數(shù)的二次方程，從而通過判別式大于等于零求得參數(shù)的最值，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)新性.

二、函數(shù)的單調(diào)性法

利用函數(shù)的單調(diào)性，往往可以求出較為復(fù)雜的函數(shù)的值域.在某個(gè)區(qū)間上，如果可以判斷函數(shù)單調(diào)，那么它的值域就是由兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值構(gòu)成的區(qū)間，如果在某個(gè)區(qū)間上不單調(diào)，我們可以借助導(dǎo)數(shù)，先確定它的單調(diào)區(qū)間，再求每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上函數(shù)的最值，通過最值大小的比較來確定函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的值域.

點(diǎn)評(píng)：利用函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)最值的關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性，通常有兩種方法，一是直接利用單調(diào)性定義，通過作差法判斷；二是利用導(dǎo)數(shù)來確定函數(shù)的單調(diào)性，這個(gè)方法幾乎適用于任何函數(shù)，但求解過程比較冗長(zhǎng).

三、基本不等式法

如果a1，a2是兩個(gè)正數(shù)，那么必有當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2時(shí)，等號(hào)才成立，這就是基本不等式.基本不等式雖然是求最值的有力工具，但必須滿足三個(gè)必要條件，這三個(gè)條件就是“一正、二定、三等”，它們?nèi)币徊豢?“正”是指各項(xiàng)均為正數(shù)，這是前提條件；“定”是指各項(xiàng)的和或積為定值；“等”是等號(hào)成立的條件.

例3 若n∈N，a，b∈R+，且滿足a+b=2，那么的最小值是______.

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)，上式才能取到等號(hào).

點(diǎn)評(píng)：利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意等號(hào)能否取到，這一點(diǎn)往往被忽視.如果等號(hào)取不到，就應(yīng)回到第二種方法，即研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)最值.

四、換元法

換元法，是數(shù)學(xué)解題最常見的方法之一，此法也可用在函數(shù)的值域問題中.對(duì)于某些函數(shù)式，我們可以把某一個(gè)部分看成一個(gè)整體，再用新元來替換，這樣可以起到化繁為簡(jiǎn)、化生疏為熟悉的目的.最常見的換元方法有兩種，即三角代換和代數(shù)代換，無論哪種換元，都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題中的化歸思想.

（2）實(shí)數(shù)x，y適合條件1≤x2+y2≤2，則函數(shù)s=2x2+3xy+2y2的值域是______.

（2）由已知可設(shè)，x=kcosθ，y=ksinθ，其中1≤k≤，則s=2x2+3xy+2y2=2k2cos2θ+3k2sinθcosθ+2k2sin2θ=2k2+k2sin2θ.

點(diǎn)評(píng)：換元的目的是為了利用熟悉的方法求最值.本例第（1）題的換元是為了利用基本不等式求最值，而本例第（2）題的換元是將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題.利用換元法求最值一定要對(duì)解題過程具有預(yù)見性，即需明確解題目標(biāo)，否則，換元就會(huì)失去作用.

五、幾何法

函數(shù)的表達(dá)式一般產(chǎn)生于實(shí)際問題，有時(shí)也產(chǎn)生于幾何圖形.對(duì)于某些二元函數(shù)，如果我們能挖掘它的幾何意義，那么利用圖形就能直觀地找到解題思路.

圖1

當(dāng)P（x，y）在x2+y2=1（y≥0）上移動(dòng)時(shí)，求A（-2，-1）與P（x，y）兩點(diǎn)連線AP的斜率的最值（如圖1）.從圖中不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)P與B（1，0）兩點(diǎn)重合時(shí)，直線AP的斜率的值最小，這時(shí)kAB=當(dāng)直線AP與x2+y2=1（y≥0）相切時(shí)，直線AP的斜率的值最大.

設(shè)kAP=k，則直線AP的方程為y+1=k（x+2）.

因?yàn)橹本€AP與上半個(gè)單位圓x2+y2=1（y≥0）相切，所以dOP=，解得k=0（舍去）或

點(diǎn)評(píng)：本題代數(shù)式的形式具有斜率公式的特征，于是將其轉(zhuǎn)化為解析幾何中的直線與圓的位置關(guān)系問題.以數(shù)思形，這種解法體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在最值問題中的靈活應(yīng)用.

所謂方法，其實(shí)就是前人解題經(jīng)驗(yàn)的總結(jié).在教學(xué)中，教師應(yīng)該起到承前啟后的作用，不僅要將最值問題的經(jīng)典方法傳授于學(xué)生，同時(shí)也要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新的方法，只有這樣才能后浪推前浪，青出于藍(lán)而勝于藍(lán).W