直擊高考真題，掌握函數(shù)零點(diǎn)

江蘇省宿遷中學(xué) 李志中

函數(shù)零點(diǎn)是函數(shù)與方程部分的重要內(nèi)容之一，涉及眾多的數(shù)學(xué)思想方法，是高考中的熱點(diǎn)與重點(diǎn)內(nèi)容之一.函數(shù)零點(diǎn)不僅是高中數(shù)學(xué)思想方法的重要體現(xiàn)，而且有效體現(xiàn)了動(dòng)靜結(jié)合的辯證思維.結(jié)合近年來(lái)高考對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的考查情況分析，函數(shù)零點(diǎn)不再以簡(jiǎn)單的形式來(lái)考查，往往以復(fù)雜的形式（分段函數(shù)、抽象函數(shù)、超越函數(shù)和交匯知識(shí)等）為載體，綜合函數(shù)的相關(guān)概念與基本性質(zhì)，通過(guò)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定、參數(shù)求值、參數(shù)的取值范圍、綜合問(wèn)題及開(kāi)放性問(wèn)題等形式出現(xiàn).

一、零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定

對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定問(wèn)題，往往把對(duì)應(yīng)的函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，利用方程的情況來(lái)確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)；或把對(duì)應(yīng)的函數(shù)借助方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本初等函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖像的交點(diǎn)情況來(lái)確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).

例1 （2019年全國(guó)卷Ⅲ文5）函數(shù)f（x）=2sinx-sin2x在［0，2π］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）.

A.2 B.3 C.4 D.5

分析：通過(guò)三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變形與轉(zhuǎn)化，進(jìn)行因式分解，結(jié)合方程的求解以及條件的應(yīng)用來(lái)確定方程的根的情況，從而得以確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解：因?yàn)閒（x）=2sinx-sin2x=2sinx-2sinxcosx=2sinx（1-cosx）.

令f（x）=0，得sinx=0或1-cosx=0，即sinx=0或cosx=1.

因?yàn)閤∈［0，2π］，所有符合f（x）=0的x=0，π，2π，即函數(shù)的零點(diǎn)有3個(gè).

故選擇答案：B.

點(diǎn)評(píng)：判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常見(jiàn)方法有：（1）解方程法；（2）零點(diǎn)存在性定理法；（3）數(shù)形結(jié)合法.借助方程的根、函數(shù)的性質(zhì)或函數(shù)的圖像等來(lái)合理轉(zhuǎn)化，從而得以確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.

二、參數(shù)取值的求解

涉及由函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)確定相關(guān)參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，往往結(jié)合相應(yīng)已知函數(shù)的圖像，通過(guò)零點(diǎn)個(gè)數(shù)利用數(shù)形結(jié)合來(lái)確定參數(shù)的取值范圍.

例2 （2019年江蘇卷14）設(shè)f（x），g（x）是定義在R上的兩個(gè)周期函數(shù)，f（x）的周期為4，g（x）的周期為2，且f（x）是奇函數(shù).當(dāng)x∈（0，2］時(shí)，f（x）=其中k＞0.若在區(qū)間（0，9］上，關(guān)于x的方程f（x）=g（x）有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是______.

分析：結(jié)合題目條件加以合理的轉(zhuǎn)化，通過(guò)分類(lèi)討論，結(jié)合圓的方程與直線的方程所對(duì)應(yīng)的圖形加以數(shù)形結(jié)合，進(jìn)而得以確定參數(shù)的取值范圍.

圖1

點(diǎn)評(píng)：涉及函數(shù)有零點(diǎn)或方程有實(shí)根條件下相關(guān)參數(shù)的取值問(wèn)題，破解的常見(jiàn)策略主要有：（1）直接處理法；（2）分離參數(shù)法；（3）數(shù)形結(jié)合法.合理轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)有零點(diǎn)或方程有實(shí)根的條件加以等價(jià)轉(zhuǎn)化，借助相關(guān)的技巧策略來(lái)破解.

三、綜合問(wèn)題的應(yīng)用

對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的綜合應(yīng)用問(wèn)題，往往與集合、函數(shù)、不等式、數(shù)列、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等相關(guān)知識(shí)加以綜合，結(jié)合相關(guān)的知識(shí)加以綜合應(yīng)用，達(dá)到知識(shí)交匯、能力拓展的目的.

例3 （2018年江蘇卷11）若函數(shù)f（x）=2x3-ax2+1（a∈R）在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則f（x）在［-1，1］上的最大值與最小值的和為_(kāi)_____.

分析：結(jié)合條件進(jìn)行分離參數(shù)，通過(guò)均值不等式的應(yīng)用確定函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)參數(shù)a的值，在此條件下確定函數(shù)f（x）在給定區(qū)間上的最大值與最小值，從而得以確定其和.

解：由題可知方程f（x）=2x3-ax2+1=0（a∈R）在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個(gè)解，即在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個(gè)解.

所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a=3，此時(shí)f（x）=2x3-3x2+1，則有f′（x）=6x2-6x，令f′（x）=0，解得x=0或x=1，

列表如下：

從上表可知，在［-1，1］上，f（x）max=f（0）=1，f（x）min=f（-1）=-4.

所以f（x）在［-1，1］上的最大值與最小值的和為f（x）max+f（x）min=1-4=-3.

故填答案：-3.

點(diǎn)評(píng)：本題還可以借助分類(lèi)討論法、函數(shù)圖像法等思維方法來(lái)處理.借助分離參數(shù)法，可以很快確定參數(shù)的值，并借助此時(shí)所確定的函數(shù)來(lái)求解其最值問(wèn)題，簡(jiǎn)單易操作.涉及零點(diǎn)的綜合應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是要進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，采取合適的方法來(lái)破解.

四、開(kāi)放性問(wèn)題的處理

函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題也是處理一些函數(shù)開(kāi)放性問(wèn)題的理想場(chǎng)所，其有效交匯分段函數(shù)、周期函數(shù)、抽象函數(shù)等問(wèn)題，可以用來(lái)確定參數(shù)的取值情況、零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論、函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)等開(kāi)放性問(wèn)題.

例4 （2019年浙江卷9）已知a，b∈R，函數(shù)f（x）=若函數(shù)y=f（x）-ax-b恰有三個(gè)零點(diǎn)，則（ ）.

A.a＜-1，b＜0 B.a＜-1，b＞0

C.a＞-1，b＜0 D.a＞-1，b＞0

分析：把函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)問(wèn)題結(jié)合分段函數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合不同條件下函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)加以有機(jī)取舍，從而得以分類(lèi)討論，利用排除法來(lái)解決.

解：函數(shù)y=f（x）-ax-b恰有三個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于y=f（x）與y=ax+b的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)x≥0時(shí)，由f（x）=可得f ′（x）=x2-（a+1）x+a=（x-a）（x-1），而f（0）=0，f′（0）=a，則當(dāng)a≤-1時(shí)，y=f（x）與y=ax+b的圖像不可能有三個(gè)交點(diǎn)，排除選項(xiàng)A，B；

故選擇答案：C.

點(diǎn)評(píng)：破解此類(lèi)函數(shù)的零點(diǎn)的開(kāi)放性問(wèn)題的常規(guī)思維方式是：（1）將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合思維來(lái)處理；（2）直接利用原函數(shù)的圖像及零點(diǎn)的存在定理來(lái)處理.

其實(shí)，要注意函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、不等式的解集這三者之間的關(guān)系，合理有效的相互轉(zhuǎn)化是破解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，同時(shí)經(jīng)常加以數(shù)形結(jié)合，結(jié)合函數(shù)的圖像加以直觀解決.涉及函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題還經(jīng)常與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題加以交匯，在一些解答題中出現(xiàn)，以證明零點(diǎn)個(gè)數(shù)、確定參數(shù)的取值范圍等形式出現(xiàn)，也要引起高度重視.W