幾種常見的三角函數(shù)求值方法的總結(jié)*

?？谑协偵饺A僑中學(xué) 李 武

三角函數(shù)求值是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，高考中經(jīng)?？疾槿呛瘮?shù)求值問題.在近幾年的高考命題中，三角函數(shù)的求值一般是以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，而學(xué)生在解決此類問題時(shí)常常不能快速針對(duì)題目特點(diǎn)選擇相應(yīng)的解題方法.為了便于學(xué)生復(fù)習(xí)三角函數(shù)求值問題，本文將三角函數(shù)中常見的幾種問題給出相應(yīng)的解題方法.

一、三角函數(shù)定義求值法

在三角函數(shù)求值問題中最基本的一種求值是已知tanα、sinα、cosα中的某一個(gè)三角函數(shù)值，求另外一個(gè)三角函數(shù)值，可選用定義法解題.

分析：由已知條件可知，解決此問題可以直接通過定義法或者利用三角函數(shù)的基本公式進(jìn)行解題.

注意：當(dāng)遇到一些特殊角的三角函數(shù)值時(shí)，可以先根據(jù)題意得到角再求值而不需要用定義法求值.

二、未知角由已知角表示求值法

定義1：若題目中要對(duì)某個(gè)角求三角函數(shù)值，則稱該角為未知角.

定義2：將題目中已給出的某個(gè)角的函數(shù)值，以及能得到函數(shù)值的特殊角統(tǒng)稱為已知角.

類型1：已知條件只給出一個(gè)角的三角函數(shù)值，當(dāng)未知角和已知角消去參量α后得到一個(gè)特殊角則可用此法.

分析：因?yàn)?α-2（α-π）=2π，所以2α=2π+2（α-π）.而2π是個(gè)特殊角，所以可用此法.

解：cos2α=cos［2π+2（α-π）］=cos2（α-π）=1-

類型2：若條件給出兩個(gè)角的三角函數(shù)值，則未知角通常可由已知角線性表示.

三、構(gòu)造tan型求值法

定義3：三角函數(shù)分式指的是分子分母中都含有三角函數(shù).

定義4：三角函數(shù)整式指的是式子中分母不能含有三角函數(shù).

類型1：已知條件給出tanα的值或者給出一個(gè)三角函數(shù)分式的值，求tanα的值或是求三角函數(shù)分式的值時(shí)，則可考慮用構(gòu)造tan型，但要注意三角函數(shù)分式中的分子和分母每一項(xiàng)必須要同次冪.

類型2：已知條件給出一個(gè)三角函數(shù)整式的值，求tanα、三角函數(shù)分式或整式的值則可考慮用構(gòu)造tan型求值，但要注意三角函數(shù)整式要轉(zhuǎn)化成分式并且要求三角函數(shù)分式中的分子和分母每一項(xiàng)必須要同冪.

例6 已知sin2α+3cos2α=2.

（1）求tanα的值；

分析：sin2α+3cos2α=2是個(gè)三角函數(shù)整式方程，所以根據(jù)類型2的條件先將三角函數(shù)整式化為分式并要求分式中分子分母的每一項(xiàng)要同冪.

即tan2α=1，

解得tanα=±1.

（2）由（1）可得tanα=±1.

所以當(dāng)tanα=1時(shí)，原式=0；

當(dāng)tanα=-1時(shí)，原式=2.

類型3：已知條件給出一個(gè)三角函數(shù)整式的值但當(dāng)將整式轉(zhuǎn)變?yōu)榉质胶蠓肿臃帜该恳豁?xiàng)不能同冪，此時(shí)就先考慮將已知的整式升冪使得分子分母每項(xiàng)同冪再進(jìn)行解題.

解得tanα=7或tanα=1.

從多個(gè)角度對(duì)三角函數(shù)求值進(jìn)行探索處理，總結(jié)歸納題目特點(diǎn)，巧妙地把此類題目的底蘊(yùn)充分挖掘出來，從多角度出發(fā)，多方面求解，多層次拓展，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)從探索到解決問題的技能.W