基于“問題鏈”的數(shù)學(xué)解題教學(xué)

江蘇省鹽城中學(xué) 喻崢惠

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題，解題教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有舉足輕重的地位與重要的現(xiàn)實意義.長期以來，數(shù)學(xué)解題教學(xué)始終擺脫不了“教師講解例題，學(xué)生練習(xí)強化”的固化模式.不可否認(rèn)，這種做法能夠在短時間內(nèi)快速提升學(xué)生的解題能力，但對于學(xué)生獨立探索與自主學(xué)習(xí)能力的形成卻收效甚微，學(xué)生一旦遇到“不熟悉”的題目就很可能出現(xiàn)“手足無措”的狀況，這也就導(dǎo)致了當(dāng)前的數(shù)學(xué)解題教學(xué)直接陷入“教師擔(dān)心講不到位，學(xué)生擔(dān)心練不全面”的焦慮中.“問題鏈”可以有效彌補當(dāng)前解題教學(xué)存在的這些不足，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中引入問題鏈的設(shè)計理念簡直就是“如虎添翼”.下面筆者以一類“含參函數(shù)的取值范圍”問題為例談?wù)剬Υ说目捶?

例題 已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）在區(qū)間（0，1）上有兩個零點，則a2-2b的取值范圍是______.

這類多參數(shù)問題一直是高考的熱點與難點，尤其是以二次函數(shù)作為載體呈現(xiàn)的含參取值問題更是?？汲Ｐ拢^“無參不成題”，隨著參數(shù)的增加，目標(biāo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)趨于復(fù)雜化，學(xué)生見了更是望而生畏，無從下手.

一、設(shè)計啟發(fā)式問題鏈把握解題方向

對于這類題的教學(xué)，教師不要急于拋出正確的解題思路，而應(yīng)該從宏觀的角度幫助學(xué)生準(zhǔn)確把握解題方向.萬變不離其宗，這類題看似陌生，其實也是基于學(xué)生熟悉的題型改編而來的，也同樣遵循通性通法.因此，設(shè)計啟發(fā)式的問題鏈就顯得尤為重要.啟發(fā)式問題鏈旨在通過精心設(shè)計的問題預(yù)設(shè)喚醒學(xué)生的已有認(rèn)知，引導(dǎo)學(xué)生逐步走出思維的困境，克服畏難的情緒.

問題1-1：以前有沒有做過類似的題目，請舉例說明？

這類問題的原型是“二次函數(shù)的零點分布”：已知函數(shù)f（x）=x2-x+b（b∈R）在區(qū)間（0，1）上有兩個零點，求b的取值范圍.

問題1-2：零點分布問題的解題思路是怎樣的？

零點分布問題的一般處理技巧是利用數(shù)形結(jié)合思想，圍繞著“端點、△、對稱軸”三個角度寫出約束條件，通過約束條件來求參數(shù)的取值范圍.

問題1-3：這個問題與零點分布問題有什么區(qū)別？

與一般的零點分布問題相比包含了多個參數(shù)，而且最后要求的并非是某個參數(shù)的取值范圍，而是一個“式子”，即目標(biāo)函數(shù)的取值范圍.

問題1-4：這個問題能否套用零點分布的解題思路？

問題1-5：看到這組約束條件，你認(rèn)為存在什么困難？

主要困難有兩個：一是目標(biāo)函數(shù)中出現(xiàn)的非線性關(guān)系“a2＞4b”究竟表示什么幾何意義？二是如何建立約束條件與目標(biāo)函數(shù)“z=a2-2b”的聯(lián)系？

問題1-6：如果分別用x，y替換a，b，那么上述兩個式子分別表示什么？

圖1

x2＞4y?y＜表示的是拋物線下方的區(qū)域；，z表示的是拋物線與可行域有交點時，在y軸上的截距的-2倍.

因此，如圖1所示，z=a2-2b∈（0，2）.

啟發(fā)式問題鏈的最大優(yōu)點是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，經(jīng)歷了一種抽絲剝繭式的思考過程，進而使學(xué)生自然地發(fā)現(xiàn)解題思路，避免了教師“唱獨角戲”的尷尬.

二、設(shè)計遞進式問題鏈明確解題思路

遞進式問題鏈，是根據(jù)事物之間的必然聯(lián)系，利用正向或逆向的思維方式提出一連串的由淺入深的問題組.相比啟發(fā)式問題鏈的“啟發(fā)、誘導(dǎo)”功能，遞進式問題鏈所起的作用就是“推進、驅(qū)動”.教師把問題分成若干個不同的層次，然后由淺入深地設(shè)計問題，通過一環(huán)扣一環(huán)、一層進一層的遞進式提問，在消除學(xué)生思維障礙的同時進一步拓展學(xué)生思維的深度與廣度，使學(xué)生掌握解這一類題的通性通法.

問題2-1：函數(shù)的零點與方程的根、圖像的交點有什么聯(lián)系？

函數(shù)零點、方程根、圖像交點本質(zhì)是相同的，它們可以相互轉(zhuǎn)化，思考的視角不同引發(fā)了名稱上的差異.問題2-2：嘗試?yán)梅匠谈囊暯菍}進行分析.問題2-2-1：系數(shù)a、b與方程的根有什么聯(lián)系？能否用方程的根來表示系數(shù).

韋達(dá)定理是溝通根與系數(shù)關(guān)系的橋梁，設(shè)函數(shù)f（x）在（0，1）上的兩個零點為x1，x2∈（0，1），則所以

問題2-2-2：上述解題思路的核心是什么？

本質(zhì)上是換元思想，用根來表示系數(shù)，使目標(biāo)函數(shù)的形式發(fā)生變化，變得容易求值.一般情況下，我們習(xí)慣上用系數(shù)來表示根，但現(xiàn)在也可以嘗試用根來表示系數(shù).

問題2-3：嘗試從圖像交點的視角對例題進行分析.

問題2-3-1：能否把函數(shù)f（x）=x2+ax+b的零點問題轉(zhuǎn)化為圖像的交點問題？

f（x）=x2+ax+b=0?-x2=ax+b，零點問題就轉(zhuǎn)化為拋物線與直線的交點問題.

問題2-3-1能否用圖像的交點視角解決例題？

由于目標(biāo)函數(shù)a2-2b很難直接與“圖像交點”聯(lián)系起來，所以此方法不是很有效.

問題2-4：提煉此類問題的解題策略.

關(guān)鍵是要對零點、方程的根、圖像交點進行靈活轉(zhuǎn)換.

問題3：已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）在區(qū)間（0，1）上有兩個零點，則3a+b的取值范圍是______.

問題3-1：嘗試用零點、方程的根、圖像交點三種視角解決此題.

圖2

方法1：零點視角

結(jié)合圖2容易得3a+b∈（-5，0）.

方法2：方程根視角

方法3：圖像交點視角

f（x）=x2+ax+b=0?-x2=ax+b，令f1（x）=-x2，f2（x）=ax+b，則問題轉(zhuǎn)化為f1（x）與f2（x）有兩個交點時，求f2（3）的取值范圍.如圖2所示，兩個臨界位置為當(dāng)直線f2（x）=ax+b與f1（x）=-x2相切于原點和點（1，-1）.當(dāng)相切于點（1，-1）時，容易求得a=-2，b=1，則f2（x）=-2x+1，所以f2（3）=3a+b∈（-5，0）.

意圖：使學(xué)生能夠熟練應(yīng)用三種視角解決問題，掌握等價轉(zhuǎn)化的技巧，明確解題的入手點.

問題4：已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）在區(qū)間［0，1］上有零點，則ab的最大值是______.

問題4-1：嘗試用最簡便的方法解決這道題.

此題與例題和問題3比較存在著細(xì)微的差異，那就是“有零點”，而不是“有兩個零點”，這就意味著“零點”的不確定性.那么在零點與方程根的視角下考慮就需要分類討論，過程會比較煩瑣.因此，轉(zhuǎn)化為圖像交點問題是不錯的選擇.

意圖：讓學(xué)生更加關(guān)注問題的細(xì)節(jié)，關(guān)注深度思考，實現(xiàn)從一題多解到方法抉擇的跨越.

三、設(shè)計遷移式問題鏈拓展解題視野

數(shù)學(xué)解題教學(xué)的目的不僅僅是讓學(xué)生掌握一道題或者一類題的解法，而是在于深入挖掘隱藏在解法背后的數(shù)學(xué)思想，從而把一類解法推廣應(yīng)用到其他類型的題目上.因此，問題鏈設(shè)計還應(yīng)考慮問題的可遷移性，一個具有遷移性的問題能夠從橫向或縱向蘊含其他重要問題的解決方案.

問題5-1：回顧上述解題過程，思考方程根視角與圖像交點視角解題，目標(biāo)函數(shù)的最值（取值范圍）在什么時候取到？

不難發(fā)現(xiàn)，在用方程根視角解題時，目標(biāo)函數(shù)往往在“端點處”取到最值；在用圖像交點視角解題時，目標(biāo)函數(shù)一般在“切線”處取到最值.

問題5-2：上述兩種思想方法背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么？

方程根視角蘊含著“以值代參”的思想方法，即用確定的值來替換參數(shù)的取值，這叫“以靜制動”；圖像交點視角蘊含著“以直代曲”的思想方法，即用切線來刻畫曲線的趨勢，從而使復(fù)雜的運動變化得以簡化.

問題6：已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），且a≠0，記M（a，b，c）為｜f（x）｜在區(qū)間［0，1］上的最大值，則的最大值是______.

問題6-1：此題能否用“以值代參”的數(shù)學(xué)思想解決？

解析：a+b+2c=f（1）+f（0）≤2M（a，b，c），即≤2，因為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值顯然可以在端點處取到，所以的最大值是2.

問題7：已知函數(shù)f（x）=ln（ax+b）+x2（a≠0），若f（x）≤x2+x恒成立，則ab的最大值是______.

問題7-1：此題能否用“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想解決？

解析：f（x）≤x2+x?ln（ax+b）≤x?ex≥ax+b.要使曲線恒在直線上方，即直線為曲線的切線，設(shè)切點為（x0，ex0），則k=a=ex0，b=ex0（1-x0），所以ab=e2x0（1-x0）；令g（x0）=e2x0（1-x0），則g′（x0）=e2x0（1-2x0），所以g（x0）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以

意圖：解題需要“套路”，但“過死”的套路有時反而會成為解題的障礙.通過對上述兩個問題的解決，解題思想方法明顯變得“活絡(luò)”，學(xué)生充分感受到“以不變的思想方法應(yīng)對千變?nèi)f化的題目”的解題理念.

以上介紹了三種數(shù)學(xué)問題鏈的設(shè)計案例，當(dāng)然問題鏈的種類遠(yuǎn)不止這三種，我們可以根據(jù)解題教學(xué)的實際需求設(shè)計更多類型的問題鏈，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平在發(fā)現(xiàn)問題——解決問題——再發(fā)現(xiàn)問題的不斷往復(fù)循環(huán)的過程中得到發(fā)展與提升.