立足教材 凸顯本質(zhì)
——《對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)》的教學(xué)新設(shè)計(jì)

廣東省佛山市第四中學(xué) 彭曉燕

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 何小亞

為了提高廣東省佛山市高中數(shù)學(xué)教學(xué)水平，佛山市教育局教研室彭海燕副主任邀請(qǐng)我們?yōu)槿珔^(qū)的高中數(shù)學(xué)教師做一個(gè)基于高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)和新教材的教學(xué)設(shè)計(jì)示范案例，并于2019年10月17日上午在佛山市第四中學(xué)面向全區(qū)的高中數(shù)學(xué)學(xué)科組長(zhǎng)和骨干教師上了公開示范課，引發(fā)了大家的熱議.以下是我們根據(jù)追求數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)［1］設(shè)計(jì)的教案和反思，希望廣大讀者批評(píng)指正.

一、教案設(shè)計(jì)

【教材】人教A版（2007年版）普通高中數(shù)學(xué)必修一2.2.2（課時(shí)安排）第1課時(shí).

【教材分析】 將復(fù)雜的函數(shù)問題化歸為簡(jiǎn)單的基本初等函數(shù)問題，是研究函數(shù)的核心思路.對(duì)數(shù)函數(shù)就是一種重要的基本初等函數(shù).本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì)后，進(jìn)一步學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義、圖像、性質(zhì)及初步應(yīng)用.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)的學(xué)習(xí)過程與指數(shù)函數(shù)部分類似，注重學(xué)生參與探究的過程，因此可以類比進(jìn)行教學(xué).

【學(xué)情分析】

（1）認(rèn)知基礎(chǔ)：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)的概念和圖像、對(duì)數(shù)的概念，積累了探究指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn).這些是學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)的概念及其性質(zhì)的基礎(chǔ).

（2）認(rèn)知障礙：函數(shù)概念的本質(zhì)；指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的理解；容易忽略底數(shù)a對(duì)圖像的影響.

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識(shí)與技能

（1）理解對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，深刻認(rèn)識(shí)函數(shù)的本質(zhì)（具體內(nèi)容見問題2之后）；熟悉指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)快慢的差異；知道指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù).

（2）掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會(huì)用其比較對(duì)數(shù)的大小.

2.過程與方法

（1）通過問題2和3的討論過程，提高學(xué)生的函數(shù)素養(yǎng)；

（2）通過問題4的提出、分析、解決過程，進(jìn)一步強(qiáng)化應(yīng)用函數(shù)模型解決特殊問題的一般化思想和問題解決中的化歸思想.

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀

（1）讓學(xué)生喜歡對(duì)數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)；

（2）感受對(duì)數(shù)運(yùn)算強(qiáng)大的簡(jiǎn)化、壓縮功能；

（3）感受指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)快慢的巨大差異.

【教學(xué)重點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的定義和性質(zhì).

【教學(xué)難點(diǎn)】（1）指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)；（2）底數(shù)a的大小與函數(shù)圖像變化.

【關(guān)鍵】利用對(duì)數(shù)和指數(shù)的互逆關(guān)系解釋函數(shù)概念的本質(zhì)突破難點(diǎn)（1）；利用幾何畫板直觀演示底數(shù)a的變化對(duì)函數(shù)圖像的影響來突破難點(diǎn)（2）.

【教學(xué)方法】問題驅(qū)動(dòng)、概念同化、引導(dǎo)探究.教學(xué)手段：PPT、幾何畫板.

【教學(xué)流程設(shè)計(jì)】

【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】

1.問題引入（10分鐘）

問題1：什么叫做指數(shù)函數(shù)，它有什么性質(zhì)？

教師引導(dǎo)學(xué)生回答并顯示表格內(nèi)容.

問題2：什么是函數(shù)，你看清楚函數(shù)的真面目了嗎？

教師指著指數(shù)函數(shù)緊扣其解釋：函數(shù)是兩個(gè)非空數(shù)集之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系；在一個(gè)集合中任意取定一個(gè)數(shù)，總可以在另一個(gè)集合里找到唯一確定的數(shù)與之對(duì)應(yīng)；前面的集合叫定義域，那些被唯一確定的所有數(shù)組成的集合叫做值域；函數(shù)概念的關(guān)鍵是由誰唯一確定了誰；函數(shù)概念與兩個(gè)變量所用的符號(hào)沒有什么關(guān)系，就像人的名字一樣（圓的面積S是半徑r的函數(shù)，這里并沒有x、y）；函數(shù)其實(shí)就是一個(gè)系統(tǒng)，一臺(tái)機(jī)器，它由兩個(gè)變量，兩個(gè)非空數(shù)集，對(duì)應(yīng)法則f（比如乘2加3，平方，表格對(duì)應(yīng)，箭頭對(duì)應(yīng)，……）構(gòu)成，不能把函數(shù)值f（x）當(dāng)成函數(shù)，也不能把對(duì)應(yīng)法則f當(dāng)成函數(shù).我們可以說一個(gè)變量是另一個(gè)變量的函數(shù)，但不能把變量x、y當(dāng)成函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)不是變量，而是一個(gè)系統(tǒng).

問題3：已知指數(shù)函數(shù)y=ax，請(qǐng)問變量x是否是y的函數(shù)？

師生一起驗(yàn)證其符合函數(shù)的定義，x是y的函數(shù)，因?yàn)橛芍笖?shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知，y的每一個(gè)取值，都能找到唯一確定的x與之對(duì)應(yīng).對(duì)應(yīng)關(guān)系是x=logay，y∈（0，+∞）.最后給出對(duì)數(shù)函數(shù)的定義.為了在同一平面直角坐標(biāo)系下研究不同函數(shù)的性質(zhì)，我們通常用x表示自變量，y表示函數(shù)，形如y=logax（a＞0且a≠1）的函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù).定義域?yàn)椋?，+∞）.

【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)函數(shù)的定義的剖析得到對(duì)數(shù)函數(shù)，加深對(duì)函數(shù)定義的理解，也有助于學(xué)生形成系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，體會(huì)知識(shí)的融會(huì)貫通.

2.探究發(fā)現(xiàn)（15分鐘）

問題4：不用查表，不用計(jì)算器，能否知道下列各組數(shù)中哪一個(gè)大？

（1）log0.53.4，log0.58.5.

（2）loga3.4，loga8.5（a＞0且a≠1）.

教師活動(dòng)：第二組數(shù)即使是對(duì)數(shù)表也不能派上用場(chǎng).我們?cè)趯W(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)時(shí)，學(xué)到了一種重要的數(shù)學(xué)思想：一般化！即面對(duì)兩個(gè)具體的數(shù)值大小比較難題，我們把問題一般化，將它們看成是某一函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，利用函數(shù)的單調(diào)性就可以判斷誰大誰??！

要想解決這兩個(gè)難題，我們先來研究對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì).

問題5：請(qǐng)?jiān)谕蛔鴺?biāo)系中畫出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，教師引導(dǎo)學(xué)生分兩組合作，分別畫出y=log2x和log3x和的圖像.

問題6：每一組圖像有什么特點(diǎn)？

展示學(xué)生的成果并觀察圖像，引導(dǎo)學(xué)生得出圖像特點(diǎn)：

①圖像都在y軸右側(cè)；

②都過點(diǎn)（1，0），即loga1=0；

③當(dāng)a＞1時(shí)，圖像沿x軸正向逐步上升；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，圖像沿x軸正向逐步下降.

④y=log2x與的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱.

問題7：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像有哪些典型的類別？

學(xué)生活動(dòng)：思考問題并進(jìn)行猜想.

教師活動(dòng)：肯定學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，并利用幾何畫板，選取底數(shù)a（a＞0，且a≠1）的若干個(gè)不同的值，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出相應(yīng)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，歸納出圖1中兩個(gè)函數(shù)圖像的性質(zhì).

圖1

類比指數(shù)函數(shù)，我們可以根據(jù)圖像特征探究出對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、對(duì)稱性、過定點(diǎn)等性質(zhì)，完善以下表格.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在探究對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的過程中，充分體會(huì)從特殊到一般的過程，從而得到對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，并類比指數(shù)函數(shù)的探究方法，得到對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

3.鞏固應(yīng)用（10分鐘）

例1 求函數(shù)y=loga（4-x）（a＞0且a≠1）的定義域.

根據(jù)真數(shù)大于0，教師引導(dǎo)學(xué)生口答并示范板演.

例2 分別比較大?。?/p>

（1）log0.53.4，log0.58.5；

（2）loga3.4，loga8.5（a＞0且a≠1）.

教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生口答，并由教師示范板演.

（1）因?yàn)閘og0.53.4和log0.58.5可以看成函數(shù)y=log0.5x的兩個(gè)函數(shù)值，而此函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)，且3.4<8.5，所以log0.53.4>log0.58.5.

（2）因?yàn)閘oga3.4和loga8.5可以看成函數(shù)y=logax的兩個(gè)函數(shù)值，當(dāng)a>1時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)y=logax在（0，+∞）上是增函數(shù)，且3.4<8.5，所以loga3.4

當(dāng)0loga8.5.

小結(jié)：比較同底數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)的大小，可利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，要注意底數(shù)的范圍.學(xué)生活動(dòng)：牛刀小試.

（2）已知log0.3m＞log0.3n，比較m，n的大小.

問題8：隨著x的無限增大，三個(gè)函數(shù)y=10x，y=x，y=lgx的函數(shù)值y的大小關(guān)系是什么？

圖2

教師活動(dòng)：（1）幾何畫板顯示圖像，直接指出三個(gè)函數(shù)值的大小順序；

（2）引導(dǎo)學(xué)生口算：當(dāng)x取0.001，0.01，0.1，1，10，100，1000，…，一千萬時(shí)，常用對(duì)數(shù)函數(shù)值分別是-3，-2，-1，0，1，2，3，…，7來說明y=lgx幾乎是貼著x軸增長(zhǎng)到無窮大的.

教師總結(jié)：看到?jīng)]有，一個(gè)如此瘋狂大的數(shù)，一旦被取對(duì)數(shù)后就被壓縮得如此之??！在數(shù)學(xué)家眼里，取對(duì)數(shù)就是一臺(tái)功能強(qiáng)大的壓縮機(jī)！我好喜歡，好寵愛，好膜拜這臺(tái)瘋狂的壓縮機(jī)！同學(xué)們，你呢？

4.歸納總結(jié)（5分鐘）

小結(jié)：

（1）函數(shù)的廬山真面目是什么？

函數(shù)是兩個(gè)非空數(shù)集之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系；在一個(gè)集合中任意取定一個(gè)數(shù)，總可以在另一個(gè)集合里找到唯一確定的數(shù)與之對(duì)應(yīng)；函數(shù)概念中兩個(gè)變量的符號(hào)不是固定的.函數(shù)其實(shí)就是一個(gè)系統(tǒng)，一臺(tái)機(jī)器，它由兩個(gè)變量，兩個(gè)非空數(shù)集，對(duì)應(yīng)法則f構(gòu)成，不能把函數(shù)值f（x）當(dāng)成函數(shù)，也不能把對(duì)應(yīng)法則f當(dāng)成函數(shù).我們可以說一個(gè)變量是另一個(gè)變量的函數(shù)，但不能把變量x、y當(dāng)成函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)不是變量，而是一個(gè)系統(tǒng).

（2）我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)？

指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)都是函數(shù)家族中最簡(jiǎn)單的函數(shù).在數(shù)學(xué)世界和真實(shí)世界中，有許多難題最終要化歸為復(fù)雜的函數(shù)問題，而面對(duì)復(fù)雜的函數(shù)問題，我們必須將其化歸為簡(jiǎn)單的函數(shù)問題，從而使難題獲解.這一思想在例2中得到了充分體現(xiàn).

（3）如何記住指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)？

用幾何畫板顯示（見幾何畫板文件“指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)圖像”），把底數(shù)是a＞1和的指數(shù)函數(shù)的圖像，放在同一坐標(biāo)系中合起來就是一個(gè)無窮酒杯圖，觀察指數(shù)函數(shù)圖像，a越大，酒杯越瘦，a越小，酒杯越肥.

由于對(duì)數(shù)函數(shù)是把指數(shù)函數(shù)中的x和y交換后得出來的，我們就把放在x軸上的酒杯，如此貼著y軸放置，就得到了一只橫放的無窮酒杯，同樣，a越大，酒杯越瘦，由此解釋兩種類型的函數(shù)的圖像和性質(zhì).

圖3

圖4

通過“橫放的無窮酒杯”，可以更直觀地感受對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、函數(shù)值的取值范圍等.

（4）指數(shù)函數(shù)y=ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù).當(dāng)x無限增大時(shí)，三個(gè)函數(shù)y=lgx，y=10x，y=x的函數(shù)值大小關(guān)系是什么？

10x遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于x，同時(shí)x也遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于lgx.而且y=lgx幾乎是貼著x軸增長(zhǎng)到無窮大的，所以取對(duì)數(shù)就是一臺(tái)功能強(qiáng)大的“壓縮機(jī)”！

作業(yè)：

1.課本P74習(xí)題2.2A組第7、8題.

2.分別比較log0.81.3，log0.50.7，log23的大小.

3.課后探究：指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，那么它們的圖像有什么聯(lián)系？

【設(shè)計(jì)意圖】小結(jié)意在鞏固本節(jié)課所學(xué)知識(shí)，回顧探索歷程，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想；并通過“無窮酒杯”的形象和內(nèi)容的深刻編碼，實(shí)現(xiàn)終身記憶指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)中四類函數(shù)的圖像和性質(zhì)之目標(biāo).作業(yè)1意在使學(xué)生進(jìn)一步強(qiáng)化對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像及其性質(zhì)；作業(yè)2意在提高學(xué)生的問題解決能力；作業(yè)3意在掌握結(jié)論：互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

二、設(shè)計(jì)說明

（1）對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的概念是比較抽象的，其教學(xué)必須遵循大道至簡(jiǎn)的原則，不能用煩瑣的、復(fù)雜的死亡生物體內(nèi)碳14元素的測(cè)定案例來引入.我們反對(duì)簡(jiǎn)單問題復(fù)雜化和復(fù)雜問題復(fù)雜化的教材編寫和教學(xué)設(shè)計(jì)！

（2）設(shè)計(jì)時(shí)，我們刪除了判斷諸如函數(shù)y=log2（4-x）是不是對(duì)數(shù)函數(shù)的問題，因?yàn)檫@不是一個(gè)好的數(shù)學(xué)問題.（如果學(xué)生問到此問題，教師可以按照此標(biāo)準(zhǔn)回答：指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義都是形式定義，對(duì)于形式定義的概念，任何突破模型的形式都不是定義本身［2］）再比如，問學(xué)生哪些函數(shù)是相等或相同的問題，也不是好的數(shù)學(xué)問題，因?yàn)檫@一類“是不是”的問題不是數(shù)學(xué)研究的目標(biāo).我們?cè)诖撕粲?，不要再講、再做、再考這類“是不是”的問題，回歸數(shù)學(xué)的本質(zhì)吧！

（3）由于教材砍掉了反函數(shù)的定義，于是學(xué)生理解“指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)”就成了教學(xué)難點(diǎn).無論是舊版的各種版本教材，還是最新的各種版本教材，都是毫無理由地、粗暴地說：指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù).為了減少學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的誤解——想怎么“令”就怎么“令”，想怎么“設(shè)”就怎么“設(shè)”，想怎么“規(guī)定”就怎么“規(guī)定”，我們做了說點(diǎn)理由的設(shè)計(jì).

（4）學(xué)了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)后，我們希望學(xué)生能一輩子記住其中的四類函數(shù)的性質(zhì)，于是設(shè)計(jì)了“無窮酒杯”這一理解模型，以體現(xiàn)華羅庚先生的“由厚到薄”讀書的最高境界.

三、課后反思

（1）畫圖過程時(shí)間稍長(zhǎng)，導(dǎo)致后面的小結(jié)還不夠到位.

（2）在問題8的處理上，通過學(xué)生口算，直觀感受取對(duì)數(shù)的強(qiáng)大壓縮功能，但是在教學(xué)過程中，由于教師并沒有在10000000這一數(shù)據(jù)上，給予學(xué)生更充分的想象，且情緒不夠強(qiáng)烈，不足以帶動(dòng)學(xué)生對(duì)取對(duì)數(shù)這一壓縮功能的形象感知，因此“讓學(xué)生愛上對(duì)數(shù)”這一目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)估計(jì)不充分.

（2）小結(jié)中“無窮酒杯”的解讀還不夠深刻，且未明確點(diǎn)出其優(yōu)越之處：舉一反三.只要記住“無窮酒杯”的特征，就把指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)全部理解掌握了.時(shí)間不夠，可以提出課后思考問題：對(duì)于由底確定的一族對(duì)數(shù)函數(shù)，對(duì)同樣的自變量的取值，函數(shù)值的大小與底的大小有什么關(guān)系？