關(guān)于一元多項(xiàng)式的Casas-Alvero猜想一類情況研究

楊環(huán)瑜

（湛江幼兒師范?？茖W(xué)校，數(shù)學(xué)系，廣東 湛江 524084）

一、引言

（一）本文背景

自1998 年Casas-Alvero（巴塞羅那大學(xué)數(shù)學(xué)系教授）提出Casas-Alvero 猜想以來[1]，該猜想一直受到了數(shù)學(xué)界人士的青睞，該猜想在拓?fù)鋵W(xué)中有極其廣泛的應(yīng)用。Casas-Alvero教授和多位數(shù)學(xué)家致力于證明該猜想的正確性，希望能證明這一點(diǎn)。因此，至今這個(gè)問題仍然沒有解決，現(xiàn)在被稱為Casas-Alvero猜想。本文將運(yùn)用高等代數(shù)知識討論有關(guān)復(fù)系數(shù)一元多項(xiàng)式的Casas-Alvero猜想。

（二）國內(nèi)外研究現(xiàn)狀

近年來，研究人員對Casas-Alvero 多項(xiàng)式的研究是數(shù)學(xué)界熱門的話題之一。2005 年，Diaz-Toca G.M.和Gonalez-Vega L.能夠證明的猜想度最高到8（公布到7），使用了重計(jì)算方法[2]。

隨后，Von Bothmer H.-C.G.，Labs O.，Schicho J.和van der Woestijne C，證明這一猜想的度是素?cái)?shù)冪以及其他一些相關(guān)情況［3］。

Draisma J.和De Jong J.P.給出了當(dāng)前問題的不同證明和一個(gè)不錯(cuò)的關(guān)于猜想的介紹，使用了估值理論去證明而不是代數(shù)幾何方法［4］。

（三）本文主要內(nèi)容及其意義

設(shè)f(x)是形如

的首項(xiàng)系數(shù)等于1的n（n ＞1）次復(fù)系數(shù)一元多項(xiàng)式,又設(shè)f(k)(x)(k=1,···,n-1)是f(x)的k階導(dǎo)數(shù)，如果存在復(fù)數(shù)α1,···,αn-1可使

則稱f(x)是n次Casas-Alvero多項(xiàng)式。2001年，E.Casas-Alvero[1]在研究平面曲線的拓?fù)湫再|(zhì)時(shí)定義了此類多項(xiàng)式，并且提出以下猜想：

猜想A如果f(x)是n次Casas-Alvero多項(xiàng)式，則必有：

其中α是復(fù)數(shù)。

上述的猜想A稱為Casas-Alvero 猜想，這是一個(gè)迄今尚未解決的難題，目前只證實(shí)了一些極特殊的情況［2］-［4］。例如，當(dāng)多項(xiàng)式f(x)的次數(shù)n＜12 時(shí)猜想A成立，但是現(xiàn)在還不知道該猜想在n=12時(shí)是否成立［3］。

由復(fù)系數(shù)一元多項(xiàng)式的因式分解定理可知:如果f(x)適合(3)，則f(x)僅有根x=α；反之，任何有不同根的多項(xiàng)式都不能表成（3）之形［5］。因此，猜想A可等價(jià)地表述為：

猜想B如果f(x)有不同的根,則f(x)不是Casas-Alvero多項(xiàng)式。

由此可知：若能證明任何有不同根的多項(xiàng)式都不是Casas-Alvero多項(xiàng)式，則即可斷定Casas-Alvero猜想成立。根據(jù)以上思路，本文解決了Casas-Alvero猜想的一類基本情況，即證明了以下定理。

主要結(jié)果：

定理如果f(x)恰有2個(gè)不同的根，則f(x)不是Casas-Alvero多項(xiàng)式。

上述定理的證明要用到一元多項(xiàng)式的下列性質(zhì)。

二、一些引理

引理1［5］如果重根的個(gè)數(shù)按重?cái)?shù)計(jì)算，則n 次復(fù)系數(shù)一元多項(xiàng)式恰有n個(gè)根。

引理2［5］當(dāng)n 次多項(xiàng)式f(x)可表成（1）時(shí)，如果α1,…,αn是f(x)的n個(gè)根，則。

引理3［5］x0是f(x)的k 重根的充分必要條件是f(x0)=f'(x0)=…=f(k-1)(x0)=0，而f(k)(x0)≠0。

引理4［8］如果是形如（1）的多項(xiàng)式的所有不同的根，分別是它們的重?cái)?shù)，則

引理5［9］對于形如（1）的多項(xiàng)式f(x)，設(shè)未定元y與x適合

引理6［5］復(fù)系數(shù)n(≥1)次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上都可唯一地分解成一次因式的乘積。

三、定理的證明

（一）思路的來源

該猜想涉及多項(xiàng)式的根、多項(xiàng)式理論以及多項(xiàng)式的n階導(dǎo)數(shù)；通過查詢資料，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有的相關(guān)研究極其有限，所以只能從多項(xiàng)式的基本特征入手，靈活運(yùn)用“高等代數(shù)”等專業(yè)課程知識。非常幸運(yùn)的是，引理3與該猜想的相關(guān)條件非常相似，故本人選擇從引理3 尋找突破口，獲得方法去證明該猜想的正確性。

（二）定理的證明

設(shè)f(x)是形如（1）的n次復(fù)系數(shù)一元多項(xiàng)式，又設(shè)f(x)恰有2個(gè)不同的根α和β，它們的重?cái)?shù)分別是n1和n2，此時(shí)，α和β是適合

的復(fù)數(shù)；根據(jù)引理1可知n1和n2是適合

的正整數(shù);又從引理2可知

根據(jù)一元多項(xiàng)式的求導(dǎo)法則（參見文［5］），可知f(x)的n-1階導(dǎo)數(shù)是

如果f(x)是Casas-Alvero多項(xiàng)式，則從此類多項(xiàng)式的定義（2）可知：存在復(fù)數(shù)αn-1適合

從（9）可得

（10）代入（8）可知

或者

當(dāng)（12）成立時(shí)，從（6）可得

結(jié)合（5）和（14）可得

由于n2是正整數(shù)，所以從（15）可得α=β 這一與（4）矛盾的結(jié)果。

同理可證：當(dāng)（13）成立時(shí)，亦可得α=β 這一矛盾。

綜上所述可知：當(dāng)f(x)恰有2個(gè)不同的根時(shí),f(x)不是Casas-Alvero 多項(xiàng)式，定理證完。

（三）定理的應(yīng)用

解法1（矩陣的初等行變換法）：

顯然，f(x)恰好有兩個(gè)根-1 和4，故由上述定理直接可以判斷，f(x)不是Casas-Alvero多項(xiàng)式。

解法2（行列式法）：

利用行列式的性質(zhì)，通過降階和提取公因式的方法進(jìn)行因式分解[7]。

顯然，f(x)恰好有兩個(gè)根-1 和4，同理由定理直接可得：f(x)不是Casas-Alvero多項(xiàng)式。