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    不確定環(huán)境下車輛配送路徑魯棒優(yōu)化及求解算法*

    2019-12-26 06:11:04夏緒輝曹建華
    組合機床與自動化加工技術 2019年12期
    關鍵詞:魯棒遺傳算法抗體

    趙 瀟,夏緒輝,王 蕾,曹建華

    (1.武漢科技大學 機械傳動與制造工程湖北省重點實驗室,武漢 430081;2.湖北文理學院 機械工程學院,湖北 襄陽 441053)

    0 引言

    車輛配送路徑規(guī)劃是供應鏈及物流、生產制造運作管理領域的基本問題,它對于提高物料流轉效率起著至關重要的作用。因此,自車輛路徑問題提出以來便受到國內外學者的廣泛關注,時至今日仍然是該領域的熱點問題之一[1-3]。其中,難點主要體現(xiàn)在兩個方面。一是由于客觀環(huán)境的不確定性,需求以及交通運輸相關情況往往多變,由此可能導致當前方案的可行性降低,進而造成總體成本的增加或效率的降低;二是車輛路徑規(guī)劃問題一般屬于NP-Hard問題,其求解效率隨著問題規(guī)模的增加呈指數(shù)式驟然下降。配送路徑優(yōu)化是決定整個系統(tǒng)運作效率與成本的關鍵之一[4]。

    目前,針對該類問題的研究已有大量研究成果[5]。但是,在不確定環(huán)境下,多數(shù)研究成果均是在隨機規(guī)劃與動態(tài)規(guī)劃框架下完成[6]。在隨機規(guī)劃下,車輛路徑問題中的隨機因素,如客戶需求或道路通行時間,通常被看作是服從某已知概率分布的隨機事件。但是在現(xiàn)實條件下,不確定因素往往不會嚴格服務某一分布,而且,要準確獲得或求出該概率分布信息基本難以實現(xiàn)。在動態(tài)規(guī)劃框架下,按照配送階段或路徑路段可將運輸問題劃分為多個階段,基于此可構建面向車輛路徑問題的動態(tài)規(guī)劃模型。該方面雖然直觀易懂,但是,動態(tài)規(guī)劃算法由于其天生存在的維數(shù)災難問題使得其難以處理大規(guī)模的優(yōu)化問題。因此,動態(tài)規(guī)劃下的車輛路徑問題其有效性也具有一定局限性。

    針對上述兩個難題,本文將研究在不確定環(huán)境下,特別是當需求信息或運輸時間等不確定因素相關數(shù)據無法完全獲知時,如何合理規(guī)劃車輛配送路徑,以實現(xiàn)運輸成本的最小化這一為基本目標,同時控制配送或回收貨物的延遲率,進而提高配送方案在不確定環(huán)境下的運作效率。

    1 問題描述與模型構建

    1.1 問題描述

    為了模型構建的科學性和有效性,本文做出如下假設:

    (1) 每一個需求點只能被一輛配送車輛所服務;

    (2) 上游具備的庫存總量可以滿足下游所有客戶的需求;

    (3) 不考慮物資在配送中心以及運輸過程中的裝卸貨時間;

    (4) 物資運輸?shù)膯挝毁M用和配送中心的存儲費用都是已知的;

    (5) 產品的生產量都是已知的;

    (6) 從供應商到配送中心以及配送中心到需求點的距離都是已知的。

    假設當前在某一網絡包含{1,…,n}需求點,其組成集合V={1,…,n}。假設任意兩點之間的單位配送費用為cij,通行時間為tij,每個點的配送需求為di,且當前共有K輛具有相同運輸能力C的運輸車輛。在此,對于每一個車輛的配送任務而言,其可允許的總的配送時間上限假設為L,即如果假設每一輛車在初始時刻出發(fā),那么它應在L時間到達最后一個目的地。通過L可反映不同配送需求點在時間上的要求。當車輛到達時間超出L時,還將接受βk的單位懲罰成本。

    在上述背景下,要求完成所有配送需求的總成本最低。為此,涉及到的決策變量如下所示:

    uki:車輛k服務完i點后剩余的物資數(shù)量或搭載能力,

    wki:車輛到達最后需求點的時間。

    1.2 魯棒優(yōu)化模型

    現(xiàn)實條件下,由于外部環(huán)境的復雜性,獲得關鍵參數(shù)(如需求或行程時間)的精確取值或者準確的概率分布往往是極其困難甚至是不可能的。由此可能導致基于傳統(tǒng)模型得到的路徑規(guī)劃方案在現(xiàn)實中的可行性較低,甚至失效,即上述模型得到的方案在不確定環(huán)境下的魯棒性較低。為此,本部分將研究對應的魯棒優(yōu)化模型,以提高在不能得到需求或行程時間準確值時的方案可行性。魯棒優(yōu)化是當前實現(xiàn)上述目標的主要方法之一,基于當前國內外相關研究成果[7-8],本文將構建面向配送車輛路徑規(guī)劃的魯棒優(yōu)化模型。

    假設各個配送點的需求是相互獨立的,當不確定因素未知時,可假定其屬于某一不確定集合。具體地,不確定因素有各配送點需求di和兩點之間行程時間tij(不失一般性,假設任意車輛在任意相同兩點之間的行程時間相同),那么定義不確定集合U={Ud,Ut},以及

    (1)

    (2)

    Y3={y∈Rs|yTQy≤1};

    特別地,當Z滿足以下條件時,不確定集合Ut分別可構成凸包集合、箱型集合及橢圓形集合等。

    Z3={z∈Rs|zTQz≤1}。

    基于上述定義,便可得到在不確定需求或行程時間參數(shù)下的配送車輛路徑規(guī)劃魯棒優(yōu)化模型(Robust Delivery Vehicle Routing Problem,RDVRP)。

    (3)

    (4)

    (5)

    (6)

    (7)

    (8)

    (9)

    ukj-uki+C(1-xkij)≥dj,?k∈K,i,j∈V,d∈Ud

    (10)

    di≤uki≤C,?i∈V,d∈Ud

    (11)

    xkij∈{0,1},?(i,j)∈V,k∈K,

    (12)

    wk,uki≥0,?k∈K

    (13)

    (14)

    (15)

    目標函數(shù)1旨在最小化總成本,包含所有車輛的運輸配送成本以及懲罰成本,其中(wk-L)+={wk-L,0}。約束條件4和5保證每個需求點都被服務一次。約束條件6保證運輸網絡內的流量平衡,即在任意需求點,車輛進出守恒。約束條件7表示每一輛車都從車輛或配送中心出發(fā)。約束條件8表示任意車輛的服務路徑不存在子回路。約束條件9表示當車輛到達時間超出L時,還將接受βk的單位懲罰成本,其中同時時間信息無法準確獲取,但屬于由約束15定義的不確定集合。約束條件10和11保證車輛剩余的貨物或搭載能力必須滿足該需求點的需要,且該需求信息無法準確獲取,但屬于由約束14定義的不確定集合。約束條件12到13是對決策變量的限制。

    基于現(xiàn)有研究成果,模型RDVRP都為0~1混合整數(shù)線性規(guī)劃問題。為保證路徑規(guī)劃方案的魯棒性,可取模型RDVRP的魯棒對應模型,即考慮在最壞情形下的不確定因素取值,此時,約束9以及10和11可改寫為:

    (16)

    (17)

    (18)

    基于此,得到的優(yōu)化模型便可計算在最大配送需求以及最長行程時間下的規(guī)劃方案,因此該方案在不確定環(huán)境下具備較高的魯棒性。

    2 面向大規(guī)模配送問題的免疫遺傳算法

    配送車輛路徑優(yōu)化問題屬于NP-Hard問題,雖然模型RDVRP可通過現(xiàn)有一些軟件直接求解,如Cplex等,但是面對大規(guī)模決策問題時,這些軟件求解效率往往較低[5]。為此,本部分將研究具有較高求解效率的啟發(fā)式算法,以提高魯棒優(yōu)化模型的可行性。

    免疫遺傳算法(Immune genetic algorithm, IGA)是免疫算法和遺傳算法的結合體[9-10]。免疫遺傳算法主要包含7個模塊:抗原識別,初始抗體產生,抗體適應度評估,記憶細胞分化,抗體促進和抑制,抗體生產和種群更新。目標函數(shù)被看著抗原,而候選解被看做抗體。可行解與最優(yōu)解間的近似程度是用抗原和抗體間的相關關系來描述的,抗體差異化的計算是保持種群多樣化的一種基本手段。

    (1)初始抗體編碼

    在基本遺傳算法和免疫遺傳算法中,抗體都需要通過編碼來表示基因型,編碼方法通常包括二進制編碼、實數(shù)編碼等。一般來說,二進制編碼比實數(shù)編碼具有更強的搜索能力,但實數(shù)編碼在變異操作中可以保持更好的種群多樣性,并且不需要解碼,可以有效地提高算法的精度和運算速度。因此,在本文配送車輛路徑優(yōu)化問題研究中,實數(shù)編碼方法將被用來對抗體進行編碼。設置初始變化區(qū)間[m(i),n(i)],φ(i)表示第i個決策變量在區(qū)間[0,1]中對應的實數(shù),g(i)表示基因。初始變化區(qū)間和實數(shù)區(qū)間滿足線性變化關系,

    φ(i)=m(i)+g(i)(n(i)-m(i))。

    通過匹配初始區(qū)間和實數(shù)區(qū)間,可以獲得一系列基因,并且這些基因按順序同問題解決方案(g(1),g(2),g(3),...,g(p))的編碼相關聯(lián)。

    (2)多樣性評估

    為了有效地克服算法過早收斂的弊端,基于近似向量距離的個體選擇概率方法將被運用到本文。抗原、細胞B和抗體分別表示目標函數(shù)、最優(yōu)解ki和候選解。第M個抗體由非空免疫系統(tǒng)集K和抗體在集合K上的距離組成,其中抗體的向量距離:

    (19)

    依據公式(19),抗體密度為:

    (20)

    因此,個體選擇概率可以表達為:

    (21)

    集合K中相似抗體數(shù)量越多,抗體i被選中的可能性越低。反之,集合K中同抗體i基因相似的抗體數(shù)越少,抗體i被選中的可能性越高。這種選擇概率使得具有有效進化基因的低適應性個體能夠獲得生殖(再生)的機會。然而,這種個體選擇的概率只同每一個抗體的適應度相關,沒有考慮個體抗體之間的編碼相似性。因此,歐幾里得距離將被引用以應對這一問題??贵wφ1,φ2,φ3,...,φn和φ1,φ2,φ3,...,φn間的歐幾里得距離可以定義為:

    (22)

    歐幾里得距離越大,2個抗體之間的相似度越低;d=0表示2個抗體是相同的。在引入歐幾里得距離后,抗體密度的選擇概率可以表示為如下:

    (23)

    (3)免疫操作

    在選擇操作過程中,以P值作為選擇概率進行抗體群體的選擇,并且輪盤賭法被用來確保好的個體可以繼承到下一代。

    變異操作是指在一個或多個位點上以一定的概率改變基因的值。變異本身是一種局部隨機搜索機制,與選擇算子相結合的它可以保證免疫遺傳算法的有效性。本文算法將隨機選擇一組個體進行變異操作以產生更好的個體:

    Mi,G=Xi,G+H(Xr1,G-Xr2,G)

    (24)

    其中,Xi,G是從優(yōu)秀個體集里隨機選擇的個體。Xr1,G和Xr2,G是從當前種群中隨機選擇的個體。Mi,G是變異操作后生成的染色體。H是調整因子,其迭代公式如下:

    (25)

    randk,k={1,2},服從[0,1]均勻分布。θ1是一個固定參數(shù),表示調整后的控制參數(shù)的概率。Hu,G和Hl,G都是固定參數(shù),分別代表控制參數(shù)H的上下界。Hi,G和Hi,G+1表示第i個個體變異過程中的調整因子。

    綜上所述,免疫遺傳算法的步驟如圖1所示。

    圖1 算法流程圖

    3 案例分析

    3.1 案例背景

    企業(yè)A是本地的大型連鎖超市,其主要業(yè)務是向本地區(qū)分銷配送某些商品。然而,隨著配送業(yè)務量的擴大,配送成本逐漸增加,延遲配送現(xiàn)象時有發(fā)生。因此,有必要研究配送車輛的配送網絡問題。在假設已知環(huán)境下,配送中心與需求點之間的需求、配送時間、最大配送時間等相關數(shù)據分別如表1、表2、表3所示。該問題中共包含40個分銷點配送需求點,其中有5個需求點,如圖2所示。目前擁有5輛型號一致的配送車輛,每輛車的配送上限為5t。

    圖2 供應鏈空間分布情況

    表1 配送中心/超市到分銷點的平均配送需求量

    表2 配送中心/超市到分銷點的平均運輸時間

    表3 配送中心/超市到分銷點的最大配送時間

    3.2 算法效果分析

    基于上述數(shù)據,本文將通過免疫遺傳算法對選擇模型進行求解。所有的數(shù)值實驗均在Windows 10.0系統(tǒng)MATLAB中完成。種群的最大數(shù)值設置為40,最大迭代次數(shù)設置為500,個體交叉的概率為0.75。

    由圖3、圖4可以看出,GA效率快于IGA。但是,IGA在解的最優(yōu)性上顯然好于GA。如圖5所示,Cplex所使用的精確算法在在迭代約400次后達到收斂狀態(tài),即相對于IGA效率較低。為進一步驗證IGA解的可靠性,如表4所示為當問題規(guī)模為50,90,130時各算法性能差異。通過對比可以發(fā)現(xiàn),IGA在求解時間上的優(yōu)勢非常明顯,解的質量雖然隨著問題規(guī)模的增加下降明顯,但相對于GA來說依然保持著較大優(yōu)勢。

    圖3 免疫遺傳算法的平均及最優(yōu)適應度曲線

    圖4 免疫遺傳算法與遺傳算法目標函數(shù)收斂對比

    圖5 Cplex收斂曲線

    此外,通過改變個體交叉概率(0.5、0.7、0.9),研究其對免疫遺傳算法的影響。圖6表明,在種群規(guī)模為20時,隨著交叉概率的增加,其對應的適應度值和最佳解的質量亦增加。最后,為了驗證不同種群大小對算法表現(xiàn)的影響,本文分別計算了種群數(shù)量為20、30、40、50、60下算法的適應度值,具體見圖7。從圖7可以發(fā)現(xiàn),當種群規(guī)模是40時,效果是最好的。

    圖6 不同交叉概率下免疫遺傳算法的適應度曲線

    圖7 不同種群大小下免疫遺傳算法的適應度曲線

    3.3 方案效果分析

    為驗證魯棒路徑優(yōu)化方案效果,本部分將通過對比一般隨機優(yōu)化模型下得到的方案加以分析。

    如圖8、圖9、表4、表5所示,傳統(tǒng)配送路徑方案和魯棒配送路徑方案在局部存在一定差別。特別是如圖中橢圓標注區(qū)域中距離配送中心較遠地帶。在魯棒優(yōu)化中,這些需求點在保證配送成本盡可能低的前提下,相對均為地分配給了配送中心,以保證配送的及時性。而傳統(tǒng)模型對配送及時性未做考慮,因此導致橢圓區(qū)域內的需求點以配送總距離最短分布,此時有些配送中心服務對象較多,有些較少。如圖10、圖11所示,通過對比配送延誤比發(fā)現(xiàn),魯棒優(yōu)化模型在各個問題規(guī)模下相對傳統(tǒng)模型均較低,且低幅隨著問題規(guī)模的增加而增大。這表明在本問題中,魯棒優(yōu)化模型可以較好的保證各個需求點配送的及時性,能更好的滿足各個點的配送需求。

    表4 算法效果對比

    表5 模型結果對比

    圖8 魯棒優(yōu)化模型所得方案

    圖9 傳統(tǒng)風險中性模型所得方案

    圖10 不同規(guī)模下配送成本對比

    圖11 不同規(guī)模下配送延誤對比

    4 結論

    本文提出了不確定環(huán)境下隨機因素數(shù)據不完全時的車輛配送路徑魯棒優(yōu)化模型以及求解算法。構建了基于魯棒優(yōu)化的車輛配送路徑規(guī)劃模型以及確定型的魯棒對等式。同時,為了提高該模型在大規(guī)模問題下的可行性,提出了基于免疫遺傳算法的求解算法。通過算例分析發(fā)現(xiàn),魯棒優(yōu)化模型可顯著提升在不確定環(huán)境下的配送及時率,相比一般隨機優(yōu)化方法,配送延誤可降低28.6%。提出的免疫遺傳算法在算法效率上顯著優(yōu)于一般遺傳算法,且對比CPLEX等精確求解方法具有明顯優(yōu)勢。

    然而,路徑規(guī)劃問題屬于典型NP-Hard問題,隨著問題規(guī)模的增加,其求解難度急劇增大,因此,研究面向大規(guī)模問題的魯棒路徑優(yōu)化問題將是下一步的主要工作。

    DOI:10.1016/j.ejor.2018.07.039.

    DOI:10.1016/j.cor.2018.02.006.

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