一種改進(jìn)的雜波率未知環(huán)境下GM-CPHD濾波算法*

彭 聰,王杰貴,朱克凡

(1 國防科技大學(xué)電子對(duì)抗學(xué)院, 合肥 230037； 2 電子對(duì)抗信息處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 合肥 230037)

0 引言

隨機(jī)有限集(RFS)框架下的多目標(biāo)跟蹤方法[1]是近年來解決多目標(biāo)跟蹤問題的一個(gè)研究熱點(diǎn),這類算法避免了傳統(tǒng)的多目標(biāo)跟蹤算法中的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)環(huán)節(jié),解決了數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)帶來的“組合爆炸”問題[2]。由于RFS框架下的積分為集值積分,通常無法求解,因此近似的濾波方法被提出,例如基于一階統(tǒng)計(jì)矩近似的概率假設(shè)密度(probability hypothesized density,PHD)濾波算法[3]和基于一階統(tǒng)計(jì)矩和勢(shì)近似的勢(shì)概率假設(shè)密度(cardinalized PHD,CPHD)濾波算法[4]。

Mahler在文獻(xiàn)[3]中給出了PHD濾波器的遞推方程。由于PHD濾波算法是對(duì)多目標(biāo)密度的一階矩近似,未考慮高階信息,導(dǎo)致了在低信噪比環(huán)境下對(duì)目標(biāo)數(shù)目估計(jì)不穩(wěn)定；另一方面,PHD濾波器只用一個(gè)參數(shù)來傳播目標(biāo)的勢(shì)信息,并且利用泊松分布來近似未知的勢(shì)分布,因?yàn)椴此煞植嫉木岛蛥f(xié)方差是相等的,所以當(dāng)目標(biāo)數(shù)目較大時(shí),PHD濾波器的目標(biāo)估計(jì)的協(xié)方差將相應(yīng)變大[5]。針對(duì)以上問題,Mahler在文獻(xiàn)[4]中提出了CPHD濾波算法,該算法在傳播多目標(biāo)強(qiáng)度函數(shù)的同時(shí)傳播多目標(biāo)的勢(shì)分布信息,因此CPHD濾波器對(duì)于目標(biāo)數(shù)目有一個(gè)更精準(zhǔn)的估計(jì),并且在假設(shè)條件中,放寬了目標(biāo)數(shù)均值服從泊松分布的要求,使算法的適用范圍更廣。

然而傳統(tǒng)的CPHD濾波算法需要已知雜波的先驗(yàn)知識(shí),當(dāng)雜波的信息和假設(shè)條件不符時(shí),會(huì)嚴(yán)重影響目標(biāo)跟蹤的精度。在現(xiàn)實(shí)情況中,雜波的信息通常是未知的,針對(duì)雜波先驗(yàn)信息未知情況下的CPHD濾波跟蹤,眾多學(xué)者進(jìn)行了大量研究。文獻(xiàn)[6]中提出了一種雜波率未知的CPHD濾波算法,但仍需假設(shè)雜波分布情況；針對(duì)這一問題,文獻(xiàn)[7]在雜波分布服從無限混合模型的前提下,采用狄利克雷過程混合模型(DPMM)的非參數(shù)聚類得到雜波模型,進(jìn)而對(duì)雜波的空間分布進(jìn)行估計(jì)；文獻(xiàn)[8]在量測(cè)似然函數(shù)的基礎(chǔ)上增加了目標(biāo)數(shù)目的估計(jì),提升了CPHD濾波器目標(biāo)數(shù)目的估計(jì)精確度；文獻(xiàn)[9]對(duì)目標(biāo)和雜波分別獨(dú)立建模,采用最優(yōu)高斯估計(jì)對(duì)目標(biāo)強(qiáng)度進(jìn)行預(yù)測(cè),實(shí)現(xiàn)了未知雜波環(huán)境下多機(jī)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤。上述算法在雜波先驗(yàn)信息未知情況下均能實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)的跟蹤,但算法的計(jì)算復(fù)雜度較高,為O(nm3),n為目標(biāo)數(shù),m為觀測(cè)數(shù)。

針對(duì)雜波率未知環(huán)境下的CPHD濾波跟蹤問題,文中做了以下工作：首先提出了雜波率未知環(huán)境下的CPHD濾波算法,然后針對(duì)算法中計(jì)算量過大的問題,引入最大似然自適應(yīng)門限,利用門限內(nèi)的量測(cè)進(jìn)行CPHD濾波算法的更新步驟,從而降低計(jì)算復(fù)雜度。

1 CPHD濾波算法

CPHD濾波算法是在以下假設(shè)條件下進(jìn)行的：

1)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和其生成的量測(cè)相互獨(dú)立；

2)新生目標(biāo)的RFS是獨(dú)立同分布的,并且與存活目標(biāo)的RFS相互獨(dú)立；

3)雜波的RFS是獨(dú)立同分布的,且與目標(biāo)量測(cè)集相互獨(dú)立；

4)預(yù)測(cè)和后驗(yàn)的多目標(biāo)RFS均近似為獨(dú)立同分布的。

基于以上假設(shè)條件,Mahler在文獻(xiàn)[4]中給出了CPHD的數(shù)學(xué)推導(dǎo)：

①預(yù)測(cè)步

假設(shè)k-1時(shí)刻的后驗(yàn)強(qiáng)度為vk-1,后驗(yàn)勢(shì)分布為ρk-1,則預(yù)測(cè)強(qiáng)度vk|k-1和預(yù)測(cè)的勢(shì)分布ρk|k-1可以表示如下：

(1)

(2)

式中：

(3)

式中：pS,k(ζ)表示k時(shí)刻目標(biāo)的生存概率；fk|k-1(·|ζ)為k時(shí)刻單目標(biāo)的概率轉(zhuǎn)移密度函數(shù)；γk(·)是k時(shí)刻新生目標(biāo)的強(qiáng)度；ρΓ,k(·)表示k時(shí)刻新生目標(biāo)的勢(shì)分布[10]。

②更新步

假設(shè)k時(shí)刻的預(yù)測(cè)強(qiáng)度表示為vk|k-1,預(yù)測(cè)勢(shì)分布表示為ρk|k-1,則更新的目標(biāo)強(qiáng)度vk和勢(shì)分布ρk表示如下：

(4)

(5)

式中：

(6)

(7)

Λk(v,Z)={〈v,ψk,z〉∶z∈Zk}

(8)

2 改進(jìn)的GM-CPHD濾波算法

2.1 雜波率未知環(huán)境下的GM-CPHD濾波算法

(9)

k-1時(shí)刻真實(shí)目標(biāo)的后驗(yàn)強(qiáng)度函數(shù)為：

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

則更新的目標(biāo)強(qiáng)度函數(shù),雜波期望數(shù)目和混合勢(shì)分布各自表示如下：

(15)

(16)

(17)

2.2 最大似然自適應(yīng)門限

上述2.1節(jié)中給出了雜波率未知條件下的GM-CPHD濾波器實(shí)現(xiàn)方法,通過對(duì)真實(shí)目標(biāo)和雜波分別獨(dú)立建模,單獨(dú)傳播兩種目標(biāo)類型的強(qiáng)度函數(shù),雜波的期望數(shù)以及混合勢(shì)分布,實(shí)現(xiàn)雜波率未知情況下的CPHD濾波算法。但是CPHD算法本身計(jì)算量巨大,即便是具有封閉形式解的高斯混合實(shí)現(xiàn)方法,計(jì)算復(fù)雜度仍然達(dá)到了O(nm3),n為目標(biāo)數(shù),m為觀測(cè)數(shù)。在雜波較為密集的環(huán)境下,算法運(yùn)行時(shí)間過長,缺乏實(shí)時(shí)性。針對(duì)這個(gè)問題,本節(jié)采用最大似然門限對(duì)觀測(cè)值進(jìn)行處理,利用通過門限的量測(cè)值進(jìn)行算法更新步,從而減小算法計(jì)算量,達(dá)到提高算法實(shí)時(shí)性的效果。

(18)

其殘差協(xié)方差矩陣為：

(19)

(20)

(21)

2.3 改進(jìn)的算法流程

提出的改進(jìn)的未知雜波率條件下的GM-CPHD濾波算法流程總結(jié)如下：

1)對(duì)真實(shí)目標(biāo)的隨機(jī)有限集和雜波的隨機(jī)有限集分別進(jìn)行獨(dú)立建模；

6)對(duì)高斯項(xiàng)進(jìn)行修剪合并,提取目標(biāo)的狀態(tài)信息,詳細(xì)步驟可參考文獻(xiàn)[12]。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

在本次仿真實(shí)驗(yàn)中,共有6個(gè)做線性運(yùn)動(dòng)的目標(biāo),目標(biāo)軌跡圖如圖1(a)所示。進(jìn)行100次蒙特卡洛仿真,仿真中將雜波率已知的GM-CPHD(KC-GM-CPHD),雜波率未知的GM-CPHD(UC-GM-CPHD)和文中提出的改進(jìn)的雜波率未知的GM-CPHD(IUC-GM-CPHD)進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn),以驗(yàn)證算法的可行性與優(yōu)勢(shì)。

3.1 仿真場(chǎng)景設(shè)置

(22)

式中:F表示系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,過程噪聲是均值為0,協(xié)方差為σw=10的高斯白噪聲。

量測(cè)方程為：

(23)

真實(shí)目標(biāo)的存活率pS,t=1,目標(biāo)的檢測(cè)率pD,t=0.98,新生目標(biāo)強(qiáng)度表示為：

(24)

3.2 仿真結(jié)果分析

圖1(a)顯示了目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡圖,共有6個(gè)目標(biāo)做線性運(yùn)動(dòng),目標(biāo)1和目標(biāo)5起始于t=1 s,消亡于t=70 s；目標(biāo)2和目標(biāo)3起始于t=40 s,消失于t=100 s；目標(biāo)4起始于t=60 s,消亡于t=100 s；目標(biāo)6起始于t=1 s,消亡于t=100 s。圖1(b)顯示的是x軸和y軸的目標(biāo)與雜波態(tài)勢(shì)圖。

圖2是3種算法對(duì)目標(biāo)數(shù)目估計(jì)的仿真圖,圖2(a)、圖2(b)、圖2(c)分別為KC-GM-CPHD算法、UC-GM-CPHD算法和IUC-GM-CPHD算法對(duì)目標(biāo)個(gè)數(shù)的估計(jì)圖。從圖中可以看到,在k=7 s,25 s,39 s,40 s,47 s,58 s,59 s,…等12個(gè)時(shí)刻,KC-GM-CPHD算法對(duì)目標(biāo)數(shù)目估計(jì)出現(xiàn)了偏差；在k=15 s,18 s,25 s,26 s,33 s,39～41 s，…等18個(gè)時(shí)刻,UC-GM-CPHD算法對(duì)目標(biāo)個(gè)數(shù)估計(jì)出現(xiàn)了誤差；在k=14 s,18 s,19 s,28 s,32 s,33 s,38 s,39 s,…等16個(gè)時(shí)刻,文中提出的IUC-GM-CPHD算法對(duì)目標(biāo)數(shù)估計(jì)出現(xiàn)了誤差。對(duì)比來看,KC-GM-CPHD算法對(duì)目標(biāo)數(shù)的估計(jì)更準(zhǔn)確,這是因?yàn)樵撍惴ㄖ须s波先驗(yàn)信息已知,而不是在濾波過程中估計(jì)得到,因此對(duì)目標(biāo)數(shù)的估計(jì)更為準(zhǔn)確,但3種算法在目標(biāo)估計(jì)偏差上總體相近,在失去雜波先驗(yàn)知識(shí)的情況下,UC-GM-CPHD算法和IUC-GM-CPHD算法對(duì)目標(biāo)數(shù)的估計(jì)偏差在可接受范圍。

圖1 目標(biāo)軌跡和雜波態(tài)勢(shì)圖

引入最優(yōu)子模式指派(OSPA)距離[13]來評(píng)價(jià)算法跟蹤性能的優(yōu)劣,它是衡量兩個(gè)集合間差異度的誤差距離。圖3給出了3種算法的OSPA距離對(duì)比圖,可以看到,藍(lán)色虛線代表的KC-GM-CPHD算法相較于紅色點(diǎn)劃線代表的UC-GM-CPHD算法與黑色實(shí)線所代表的IUC-GM-CPHD算法來說,波動(dòng)次數(shù)較少,跟蹤性能略優(yōu)。但是曲線的整體變化趨勢(shì)相近,只是在某些時(shí)間點(diǎn),未知雜波背景下的算法跟蹤誤差要比已知雜波背景下的跟蹤誤差略大。從OSPA距離對(duì)比圖可以看出,相較于雜波率已知的KC-GM-CPHD算法,盡管未知雜波率情況下所能利用的環(huán)境信息較少,使得雜波率未知的UC-GM-CPHD算法和IUC-GM-CPHD算法在跟蹤精度上有一定的損失,但仍能夠準(zhǔn)確的進(jìn)行目標(biāo)跟蹤。

圖2 3種算法對(duì)目標(biāo)數(shù)目的估計(jì)圖

圖3 OSPA距離對(duì)比圖

圖4是所提算法的雜波期望個(gè)數(shù)估計(jì)圖,在起始階段和有新生目標(biāo)產(chǎn)生的時(shí)刻,雜波期望個(gè)數(shù)估計(jì)會(huì)出現(xiàn)相對(duì)較大的波動(dòng),這是因?yàn)樗惴▽⒉糠中律繕?biāo)的量測(cè)歸為雜波所致。可以看到,在雜波率未知的環(huán)境下,算法不僅能夠?qū)Χ鄠€(gè)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤,還能估計(jì)出各個(gè)時(shí)刻的雜波期望個(gè)數(shù)。

圖4 雜波期望個(gè)數(shù)估計(jì)

表1給出了文中算法與KC-GM-CPHD算法、UC-GM-CPHD算法進(jìn)行一次蒙特卡洛仿真的平均時(shí)間對(duì)比圖。由于傳統(tǒng)的GM-CPHD的計(jì)算復(fù)雜度與觀測(cè)數(shù)的3次方成正比,因此算法的運(yùn)行時(shí)間較長,尤其在雜波較多的環(huán)境下,計(jì)算復(fù)雜程度將急劇增加,影響算法的跟蹤性能。從表1中可以看出,提出的IUC-GM-CPHD算法在運(yùn)行時(shí)間上遠(yuǎn)小于另外兩種算法,這是由于算法進(jìn)行濾波更新時(shí)所用的量測(cè)數(shù)據(jù)經(jīng)過了最大似然自適應(yīng)門限處理,大大減少了無效量測(cè)進(jìn)入算法更新步,從而使運(yùn)行時(shí)間大幅度減小。

表1 平均運(yùn)行時(shí)間對(duì)比圖

4 結(jié)束語

針對(duì)傳統(tǒng)的CPHD濾波算法在雜波率未知條件下無法對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤,且計(jì)算量繁重的問題,提出了一種改進(jìn)的未知雜波率環(huán)境下的CPHD濾波算法,實(shí)現(xiàn)了未知雜波率環(huán)境下的目標(biāo)跟蹤,并將算法運(yùn)行時(shí)間大幅減少。雖然跟蹤精度上有一定的損失,但仍能夠準(zhǔn)確的進(jìn)行多目標(biāo)的跟蹤。如何進(jìn)一步提升算法的跟蹤精度,是下一步研究的重點(diǎn)。